Bloque II * Tema 060

1. Bloque II * Tema 060 MÓDULO Y ARGUMENTO Matemáticas Acceso a CFGS

2. OPERACIONES CON VECTORES • SUMA DE VECTORES • Sea el vector v= (x,y) y el vector u= (x’,y’) • La suma será: S = v+u = (x,y)+(x’,y’) = (x+x’, y+y’) • EJEMPLO_1 • Sea el vector v= (3, 4) y el vector u= (2, 7) • La suma será: S = (3+2, 4+7) = (5, 9) • EJEMPLO_2 • Sea el vector v =(- 3, 2) y el vector u =(5, - 7) • La suma será: S = (-3+5, 2 - 7) = (2, - 5) • PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR • Sea el vector v= (x,y) y el número real k • K.u = k(x, y) = (kx, ky) • EJEMPLO_1 • Sea el vector v= (2, - 4) y k = 3 • k.v = 3.(2, - 4) = (6, - 12 Matemáticas Acceso a CFGS

3. NOMENCLATURA • El conjunto de todos los puntos del plano es R2 • El conjunto de todos los vectores fijos del plano es F2 • El conjunto de todos los vectores libres del plano es V2 • V2 es un subconjunto de F2 • BASE CANÓNICA • Base canónica de V2 es el conjunto formado por dos vectores perpendiculares de módulo la unidad, que representamos por B=(i, j), es decir i=(1, 0), j=(0, 1) • COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE • Sea B=(i, j) una base canónica del plano y u un vector cualquiera de V2 , se llaman coordenadas cartesianas del vector u al par de números (x, y) tales que permiten expresar al vector u como combinación lineal de los vectores de la base de forma: • u=xi+yj Matemáticas Acceso a CFGS

4. Coordenadas cartesianas • Un sistema de coordenadas cartesianas en V2 está formado por: • Dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. • Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. • El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas. • El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX. • El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY. • La unidad del eje de abscisas es el vector i. • La unidad del eje de ordenadas es el vector j. • La coordenada x, medida en el eje horizontal, es la abscisa del vector. • La coordenada y, medida en el eje vertical, es la ordenada del vector. y u j i x u = xi + yj Matemáticas Acceso a CFGS

5. Sumas con coordenadas y+y’ u = xi + yj y y’ v = x’i + y’j j i x x’ x+x’ Matemáticas Acceso a CFGS

6. Suma geométrica de tres vectores • Se lleva a continuación de uno cualquiera otro, y a continuación del segundo el tercer vector, de forma que la suma es el vector que tiene: • Como principio o punto de aplicación, el del primer vector. • Como final o extremo, el final o extremo del último vector. u =(3, 0) w =(-2, -2) v =(5, 3) S=(6, 1) u =(3, 0) w =(-2,- 2) S = (5, 3)+(3, 0)+(-2,-2)=(5+3-2, 3+0-2)=(6, 1) Matemáticas Acceso a CFGS

7. v = 5i + 3j  v = (5,3) • ¿Qué vale la suma de todos ellos? w = 2j  w = (0, 2) t = - 4i+j  t = (- 4, 1) u = 5i  u = (5, 0) z = 2i – 3j  z = ( 2, -3) Matemáticas Acceso a CFGS

8. ¿Qué vale la suma de todos ellos? v =(4, 3)  v = 4i + 3j u =(–2 , 2)  v = – 2i + 2j z =(3, 0)  z = 3i w =(-4, -1)  w = – 4i – j Matemáticas Acceso a CFGS

9. MÓDULO Y ARGUMENTO • MÓDULO • Módulo de un vector u , |u|, es su longitud. • |u|=√(x2+y2) • ARGUMENTO • Argumento de un vector u, α, es el menor de los ángulos que forma con el eje positivo de abscisas. • arg(u) = α = arctg (y/x) u yj |u|=√(x2+y2) α = arctg (y/x) j i xi Matemáticas Acceso a CFGS

10. VECTOR UNITARIO • VECTOR UNITARIO • Un vector es unitario si su módulo es la unidad. • Si queremos conseguir un vector unitario, v, con el mismo sentido y dirección de otro, u, basta dividir las coordenadas de u entre su módulo. • x y • v = ( ------------ , ----------- ) • √(x2+y2) √(x2+y2) • EJEMPLOS • Hallar el vector unitario de los siguientes vectores: • u=(3, -4) • v=((3/5), (-4/5)) • u=(1, 1) • v =((1/√2), (1/√2))=((√2/2), (√2/2)) • u=(-5, 12) • v=((-5/13), (12/13)) • u=(-4, 4) • v=((-4/ 4√2), (4/ 4√2)) =((-√2/2), (√2/2)) Matemáticas Acceso a CFGS