Metody analizy obwodów elektrycznych

1. Metody analizy obwodów elektrycznych Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

2. Na tym wykładzie Cel: poznanie podstawowych metod analizy obwodów elektrycznych. Zakres: • Metoda równań Kirchhoffa • Metoda prądów oczkowych • Metoda potencjałów węzłowych

3. Przypomnienie 1 gałąź węzeł oczko elementy Liczba oczek, gałęzi i węzłów • Pomiędzy liczbą oczek, gałęzi i węzłów zachodzi zależność g − liczba gałęzi, o – liczba oczek, w − liczba węzłów. • W przykładowym obwodzie pokazanym obok g = 6, o = 3, w = 4.

4. Przypomnienie R I U Prawo Ohma • Natężenie prądu płynącego przez przewodnik w stałej temperaturze jest wprost proporcjonalne do napięcia występującego na przewodniku i odwrotnie proporcjonalne do rezystancji tego przewodnika.

5. Przypomnienie I1 I2 I5 I3 I4 I prawo Kirchhoffa (prądowe) • Suma algebraiczna prądów w gałęziach schodzących się w węźle jest równa zeru • Alternatywnie Suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów z niego wypływających

6. Przypomnienie U2 U3 E1 U1 U4 E2 II prawo Kirchhoffa (napięciowe) • Suma algebraiczna wszystkich napięć w oczku jest równa zeru • Przy sumowaniu napięć przyjmujemy pewien kierunek obiegu oczka i napięcia zastrzałkowane zgodnie z tym kierunkiem bierzemy ze znakiem plus, a napięcia zastrzałkowane przeciwnie bierzemy ze znakiem minus.

7. Metoda równań Kirchhoffa 2 Metoda równań Kirchhoffa • Metoda równań Kirchhoffa wywodzi się bezpośrednio z praw Kirchhoffa i w związku z tym jest fundamentalną metodą rozwiązywania obwodów elektrycznych. • Ponieważ poszukujemy prądów gałęziowych, których jest g, należy ułożyć właśnie tyle niezależnych równań. • Z zależności g = (w − 1) + o wynika, że możemy do tego celu wykorzystać w – 1 równań ułożonych dla w – 1 węzłów wg pierwszego prawa Kirchhoffa oraz o równań ułożonych dla wszystkich oczek wg drugiego prawa Kirchhoffa.

8. Metoda równań Kirchhoffa E1 I1 I2 R2 I3 UJ5 R1 R3 I4 I5 I6 E4 J5 R6 E6 Tok postępowania • Strzałkujemy dowolnie prądy gałęziowe. • Strzałkujemy napięcia na rezystorach przeciwnie do prądu. • Strzałkujemy napięcia na źródłach prądowych (najlepiej zgodnie z prądem).

9. Metoda równań Kirchhoffa E1 I1 I2 R2 I3 UJ5 R1 R3 I4 I5 I6 E4 J5 R6 E6 Tok postępowania – c.d. • Pomijając jeden dowolnie obrany węzeł, układamy dla pozostałych równania wg pierwszego prawa Kirchhoffa. Uwaga: jeżeli w obwodzie występują źródła prądu, to prąd gałęziowy jest znany i można od razu zamiast niego używać prądu źródłowego.

10. Metoda równań Kirchhoffa E1 I1 I2 R2 I3 UJ5 R1 R3 I4 I5 I6 E4 J5 R6 E6 Tok postępowania – c.d. • Dla wszystkich oczek układamy równania wg drugiego prawa Kirchhoffa.

11. Metoda równań Kirchhoffa Tok postępowania – c.d. • Powstały układ równań rozwiązujemy ze względu na niewiadome (prądy gałęziowe i napięcia na źródłach prądowych).

12. Metoda równań Kirchhoffa 1 Ω 2 Ω 18 V 2 A 3 Ω Przykład • Wyznaczyć rozpływ prądów metodą równań Kirchhoffa.

13. Metoda równań Kirchhoffa 1 Ω 2 Ω I1 I2 I3 UJ 18 V 2 A 3 Ω Przykład – c.d. (układanie równań)

14. Metoda równań Kirchhoffa 1 Ω 2 Ω I1 I2 I3 UJ 18 V 2 A 3 Ω Przykład – c.d. (rozwiązywanie)

15. Metoda prądów oczkowych 3 I1=II I2=III III II I3=II−III I4=II−IIII I5=III−IIII IIII I6=IIII Prądy oczkowe i gałęziowe • Prądem oczkowym nazywamy umyślony prąd zamykający się w obrębie oczka. • Prąd gałęziowy jest wypadkową prądów oczkowych płynących w danej gałęzi. • Prądy oczkowe numerujemy indeksami rzymskimi I, II, III, IV, …, a prądy gałęziowe – arabskimi 1, 2, 3, .... • W metodzie oczkowej równania układa się tylko dla oczek, a niewiadomymi są prądy oczkowe.

16. Metoda prądów oczkowych R2 R3 IIV IIII IV III II E1 R1 R4 E2 Strzałkowanie prądów oczkowych • Prądy oczkowe można strzałkować dowolnie, ale wtedy układanie równań niepotrzebnie się komplikuje. • Ponieważ prądy oczkowe są tworami fikcyjnymi, mającymi jedynie znaczenie pomocnicze, najlepiej jest zastrzałkować je jednakowo w całym obwodzie (wszystkie albo w prawo, albo w lewo). • Jednakowe zastrzałkowanie ułatwia układanie równań.

17. Metoda prądów oczkowych R2 R3 IIV IIII IV III II E1 R1 R4 E2 Rezystancja własna i wspólna • Rezystancją własną Rk,koczkak nazywamy sumę rezystancji w oczku, np. • Rezystancję wspólnąRk,loczekk i l nazywamy sumę rezystancji w gałęzi dzielącej oczka k i l, np.

18. Metoda prądów oczkowych R2 R3 IIV IIII IV III II E1 R1 R4 E2 Napięcie źródłowe oczka • Napięcie źródłowe oczkak oznaczamy Ek i nazywamy sumę algebraiczną napięć źródłowych w oczku. • W sumie tej poszczególne napięcia bierzemy ze znakiem plus, jeżeli są zastrzałkowane zgodnie ze zwrotem prądu oczkowego, a ze znakiem minus, gdy przeciwnie, np.

19. Metoda prądów oczkowych R2 R3 IIV IIII IV III II E1 R1 R4 E2 Równanie oczkowe • Przy założeniu, że wszystkie prądy oczkowe zastrzałkowano jednakowo, równanie dla k-tego oczka ma postać

20. Metoda prądów oczkowych I2 R2 R3 E1 IIV IIII IV III II I3 I1 R1 R4 I4 E2 Wyprowadzenie równania oczkowego • Zastrzałkujmy dowolnie prądy gałęziowe i ułóżmy dla oczka równanie wg drugiego prawa Kirchhoffa: • Prądy gałęziowe wyrażamy przez oczkowe: • Po podstawieniu i uporządkowaniu

21. Metoda prądów oczkowych E1 R2 UJ5 R1 R3 IIII III II E4 J5 R6 E6 Tok postępowania • Strzałkujemy jednakowo wszystkie prądy oczkowe. • Dla każdego oczka układamy równanie oczkowe. Uwaga: w napięciu źródłowym oczek uwzględniamy również źródła prądowe, przy czym napięcia na nich są na razie niewiadome.

22. Metoda prądów oczkowych E1 R2 UJ5 R1 R3 IIII III II E4 J5 R6 E6 Tok postępowania – c.d. • Dla każdego źródła prądowego (jeżeli takie są w obwodzie) układamy równanie wiążące prąd źródłowy z prądami oczkowymi.

23. Metoda prądów oczkowych E1 R2 UJ5 R1 R3 IIII III II E4 J5 R6 E6 Tok postępowania – c.d. • Powstały układ równań rozwiązujemy ze względu na prądy oczkowe i napięcia na źródłach prądowych.

24. Metoda prądów oczkowych E1 I1 I2 R2 I3 UJ5 R1 R3 IIII III II I4 I5 I6 E4 J5 R6 E6 Tok postępowania – c.d. • Wyznaczamy prądy gałęziowe.

25. Metoda prądów oczkowych 1 Ω 2 Ω 18 V 2 A 3 Ω Przykład • Wyznaczyć rozpływ prądów metodą oczkową.

26. Metoda prądów oczkowych 1 Ω 2 Ω I1 I2 I3 UJ 18 V 2 A 3 Ω III II Przykład – c.d. (układanie równań)

27. Metoda prądów oczkowych 1 Ω 2 Ω I1 I2 I3 UJ 18 V 2 A 3 Ω III II Przykład – c.d. (rozwiązywanie)

28. Metoda prądów oczkowych 1 Ω 2 Ω I1 I2 I3 UJ 18 V 2 A 3 Ω III II Przykład – c.d. (prądy gałęziowe)

29. Metoda potencjałów węzłowych 4 A C D B Potencjały węzłowe • Przypomnienie: napięcie UAB między dwoma punktami A i B jest różnicą ich potencjałów • Każdy punkt w obwodzie ma pewien potencjał, a w szczególności – każdy węzeł ma pewien potencjał. • Węzły numerujemy wielkimi literami łacińskimi A, B, C, … . • W metodzie potencjałów węzłowych równania układa się tylko dla węzłów, a niewiadomymi są potencjały węzłowe.

30. Metoda potencjałów węzłowych A A C C 1020 V 20 V D D B B 1030 V 30 V 1010 V 10 V 1000 V 0 V Potencjały a rozpływ prądów • Rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie elektrycznym nie zależy od bezwzględnej wartości potencjałów, lecz jedynie od ich różnic.

31. Metoda potencjałów węzłowych A B D C Węzeł odniesienia • WNIOSEK: Jednemu dowolnie obranemu punktowi obwodu można przypisać zupełnie dowolny potencjał (potencjały pozostałych węzłów i punktów będą określone przez napięcia na elementach). • Węzeł taki nazywamy węzłem odniesienia. • Potencjał węzła odniesienia najwygodniej jest przyjąć równy zeru, gdyż uproszcza to równania. • Na schemacie węzeł odniesienia oznacza się symbolem uziemienia.

32. Metoda potencjałów węzłowych B R1 R2 J5 R3 A D C E4 R4 E Konduktancja gałęzi • Przypomnienie: rezystancja wewnętrzna idealnego źródła napięciowego wynosi zero, a idealnego źródła prądowego – nieskończoność. • Konduktancją GK,L gałęzi łączącej węzły K i L nazywamy konduktancję tej gałęzi po odłączeniu jej od innych gałęzi oraz po zastąpieniu źródeł ich rezystancjami wewnętrznymi, np.

33. Metoda potencjałów węzłowych B R1 R2 J5 R3 A D C E4 R4 E Prąd źródłowy węzła • Prądem źródłowym węzła nazywać będziemy wyrażenie gdzie EK,L oznacza napięcie źródłowe źródła napięciowego w gałęzi K-L, a JK,L oznacza prąd źródłowy źródła prądowego w gałęzi K-L. • Wielkości te bierzemy ze znakiem plus, gdy są strzałka EK,L lub JK,L zwrócona jest do węzła, a minus – w przeciwnym razie, np.

34. Metoda potencjałów węzłowych B R1 R2 J5 R3 A D C E4 R4 E Równanie potencjałów węzłowych • Równanie węzłowe dla węzła K ma postać

35. Metoda potencjałów węzłowych B R1 U12=UBC R2 J5 R3 I1 A D I3 C U3=UCA I4 E4 UEC U4 R4 E Wyprowadzenie równania węzłowego • Strzałkujemy prądy gałęziowe i układamy dla węzła C równanie wg I prawa Kirchhoffa • Z prawa Ohma prądy wyrażamy przez napięcia, a te przez różnice potencjałów • Po wstawieniu i uporządkowaniu

36. Metoda potencjałów węzłowych E1 A R2 R1 R3 B C D I4 E4 J5 R6 E6 Tok postępowania • Oznaczamy wszystkie węzły. • Jeden z węzłów obieramy za węzeł odniesienia i przypisujemy mu potencjał 0 V. • Dla każdego z pozostałych węzłów układamy równanie węzłowe. Uwaga: w prądzie źródłowym węzła uwzględniamy również źródła napięcia, przy czym prądy przez nie płynące są na razie niewiadome.

37. Metoda potencjałów węzłowych E1 A R2 R1 R3 B C D I4 E4 J5 R6 E6 Tok postępowania – c.d. • Jeżeli istnieją gałęzie o zerowej rezystancji (zawierające tylko idealne źródła napięcia), to układamy dla nich równania wiążące potencjały ich końców.

38. Metoda potencjałów węzłowych E1 A R2 R1 R3 B C D I4 E4 J5 R6 E6 Tok postępowania – c.d. • Układ równań rozwiązujemy ze względu na potencjały węzłowe oraz prądy w gałęziach o zerowej konduktancji.

39. Metoda potencjałów węzłowych E1 I1 A I2 R2 I3 R1 R3 B I5 C D I4 E4 J5 R6 E6 I6 Tok postępowania – c.d. • Strzałkujemy i wyznaczamy prądy gałęziowe

40. Metoda potencjałów węzłowych 1 Ω 2 Ω 18 V 2 A 3 Ω Przykład • Wyznaczyć rozpływ prądów metodą potencjałów węzłowych.

41. Metoda potencjałów węzłowych 1 Ω 2 Ω I1 I2 A I3 18 V UJ 2 A 3 Ω B Przykład – c.d. (układanie równań)

42. Metoda potencjałów węzłowych 1 Ω 2 Ω I1 I2 A I3 18 V UJ 2 A 3 Ω B Przykład – c.d. (rozwiązywanie)

43. Metoda potencjałów węzłowych 1 Ω 2 Ω I1 I2 A I3 18 V UJ 2 A 3 Ω B Przykład – c.d. (prądy)

44. Porównanie 5 Cechy charakterystyczne • Metoda równań Kirchhoffa wykorzystuje bezpośrednio prawa Kirchhoffa i jest fundamentalną metodą rozwiązywania obwodów dowolnego rodzaju. • W metodzie oczkowej równania układa się tylko dla oczek, gdyż równania węzłowe eliminuje się przez wprowadzenie fikcyjnych prądów oczkowych. • W metodzie potencjałów równania układa się tylko dla węzłów, gdyż równania oczkowe eliminuje się przez zastosowanie potencjałów węzłowych. • Metoda oczkowa jak i metoda potencjałów węzłowych zawsze generują mniejszy układ równań niż metoda równań Kirchhoffa.

45. Porównanie metod Kiedy stosować daną metodę? • Stosowanie tej czy innej metody jest kwestią drugorzędną, gdyż wszystkie trzy metody są równoważne i prowadzą do takich samych wyników. • Nakład obliczeń jest najmniejszy, jeżeli układ równań jest najmniejszy, czyli o wyborze metody może decydować to, czy w danym obwodzie jest mniej oczek (wtedy wybieramy metodę oczkową), czy węzłów (wtedy wybieramy metodę potencjałów węzłowych).

46. Bilans mocy 6 Bilans mocy • Poprawność obliczeń można sprawdzić, przeprowadzając bilans mocy. • Przypomnienie: • Suma mocy oddawanych przez źródła musi być równa sumie mocy pobieranych przez rezystancje. • Moc źródła napięcia: P = EI (lub −EI). • Moc źródła prądu: P = UJ (lub –UJ). • Moc rezystora: P = RI2 = U2/R.

47. Bilans mocy 1 Ω 2 Ω I1 I2 I3 UJ 18 V 2 A 3 Ω Przykład – bilans mocy • Wykorzystując wcześniejsze wyniki, przeprowadzić bilans mocy.

48. Podsumowanie Czego się nauczyliśmy? • Wiemy, jak znaleźć prądy w dowolnym obwodzie elektrycznym prądu stałego zawierającym źródła napięcia, źródła prądu i rezystory. • Poznaliśmy trzy główne metody rozwiązywania obwodów elektrycznych. • Dowiedzieliśmy się co to są prądy oczkowe i potencjały węzłowe i jak z nich skorzystać. • Wiemy, że poprawność obliczeń możemy sprawdzić przeprowadzając bilans mocy.