1 / 20

6. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI

6. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI. 6.1. DEFINICIJE VJEROJATNOSTI. pokus je djelatnost (definiran proces, postupak mjerenja, opažanja, ...) iz koje izvire neki rezultat rezultat pokusa naziva se ishodom

clovis
Download Presentation

6. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 6. OSNOVNI POJMOVI VJEROJATNOSTI

  2. 6.1. DEFINICIJE VJEROJATNOSTI • pokusje djelatnost (definiran proces, postupak mjerenja, opažanja, ...) iz koje izvire neki rezultat • rezultat pokusa naziva se ishodom • pokusje slučajan ako se u definiranim uvjetima može ponavljati, ako postoje barem 2 različita ishoda te ako se ishodi ne mogu predvidjeti sa sigurnošću • prostor elementarnih događajaSje skup svih mogućih različitih ishoda slučajnog pokusa • događajje elementaranako se ne može rastaviti u jednostavnije događaje

  3. slučajni događaj A je podskup skupa svih elementarnih događaja • Neka su A i B slučajni događaji definirani na skupu S • unija skupovaA i B, oznaka AB, je događaj koji nastane ako nastane događaj Aili događaj B, ilioba • presjek skupova A i B, oznaka AB, je događaj koji nastane ako nastane događaj Ai događaj B • razlika događaja A i B,oznaka A\B, je događaj koji nastane ako nastane događaj A, a ne nastane događaj B • komplement događaja A,oznaka A, je događaj koji sadrži sve elementarne događaje skupa S koji ne čine događaj A

  4. Vrijedi: • događaj S je siguran događaj ako obuhvaća sve elementarne događaje • događaj A je nemoguć događaj ako je A = Ø • događaji A i B su međusobno isključivi ako ne mogu nastati istodobno, tj. ako je AB= Ø • dva slučajna događaja ili više njih su međusobno isključivi ako je presjek svakog para događaja prazan skup • Događaji A i Bneovisni su ako u jednom pokusu mogu nastati istodobno, tj. ako je ABØ

  5. Klasična definicija vjerojatnosti (vjerojatnost a priori) Ako su ishodi slučajnog pokusa jednako mogući, tada je vjerojatnost nastupa događaja A, oznaka P(A), jednaka omjeru broja za njega povoljnih ishoda m i ukupnog broja ishoda n • Statistička definicija vjerojatnosti(vjerojatnost a posteriori) Ako se broj ponavljanja pokusa izvedenih u istim uvjetima povećava u beskonačnost, tada je vjerojatnost nastupa događaja A granična vrijednost relativne frekvencije povoljnog ishoda događaja A

  6. Svojstva vjerojatnosti: (1) P(A)  0 (2) vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka je nuli (P(Ø) = 0), a vjerojatnost sigurnog događaja jednaka je jedan (P(S) = 1), tj. 0  P(A)  1 (3) vjerojatnost da neće nastupiti događaj A jednaka je , tj.

  7. (4) ako su A1 i A2 dva međusobno isključiva događaja, vjerojatnost da će nastupiti događaj A1 ili A2 jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti, tj. (5) za događaje A1 i A2 vjerojatnost nastupa barem jednog od njih jednaka je (6) vjerojatnost nastupa događaja A uz uvjet da je nastupio događaj B jest omjer vjerojatnosti događaja A i događaja B i vjerojatnosti nastupa događaja B, tj.

  8. PRIMJER 1. Pravilna kocka baca se jedan put. Odredite vjerojatnost događaja: (a) dobiven je broj 5, (b) nije dobiven broj 5, (c) pri bacanju je dobiven paran broj, (d) dobiven je broj 2 ili 4, (e) dobiven je broj 1 i 4.

  9. PRIMJER 2. Test se sastoji od 3 zadatka iz jednog predmeta. Za svaki zadatak ponuđena su 2 odgovora, od kojih je jedan točan, a drugi netočan. Ako testu pristupi osoba koja uopće ne poznaje predmetno područje, kolika je vjerojatnost: (a) da će odabrati 3 ispravna odgovora, (b) da neće navesti 3 ispravna odgovora, (c) da će odabrati jedan ispravan odgovor?

  10. PRIMJER 3. Zaposleni, njih 128, rade na normu, a izrađeni proizvodi podložni su kontroli kakvoće. U jednom razdoblju 16 zaposlenih nije ispunjavalo normu, kakvoća proizvoda koje su proizvela 24 radnika bila je ispodprosječna, a 4 radnika nisu ispunjavala normu i kakvoća izrađenih proizvoda bila je ispodprosječna. Zaposleni imaju pravo na premiju u visini 20% plaće ako u određenom vremenu ispune normu i ako izrade proizvode prosječne i iznadprosječne kakvoće. Kolika je vjerojatnost da se slučajno odabere zaposlena osoba koja: • nema pravo na premiju, • ima pravo na premiju?

  11. PRIMJER 4. U nekoj tvornici od 100 proizvedenih čaša prosječno je 6 neispravno, a od ispravnih čaša 75% je 1. klase. Kolika je vjerojatnost da čaša iz te tvornice bude 1. klase?

  12. 6.2. SLUČAJNA VARIJABLA I DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI • Slučajna varijablaX numerička je funkcija koja svakom ishodu slučajnog pokusa pridružuje realan broj • Slučajna varijabla je: • Diskretna – poprima konačan broj vrijednosti ili prebrojivo mnogo njih • Kontinuirana – poprima bilo koju vrijednost iz nekog intervala • Distribucija vjerojatnosti diskretne slučajne varijable skup je uređenih parova različitih vrijednosti te varijable i pripadajućih vjerojatnosti

  13. Neka je X slučajna varijabla koja poprima vrijednosti x1,x2, …,xk s vjerojatnostima p(x1), p(x2), …, p(xk). Skup čiji su elementi uređeni parovi: {(xi, p(xi))} , i = 1,2,.. k tvorifunkciju(distribuciju)vjerojatnostivarijable X • Svojstva funkcije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable: (1) p(xi)  0 , i = 1,2,.. k (2) (3)

  14. Kumulativna funkcija F(xi) pokazuje kolika je vjerojatnost da diskretna slučajna varijabla X poprimi vrijednost xiili manju od te vrijednosti. Ta funkcija distribucije definira se izrazom: • Distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijablef (x) opisuje razdiobu vjerojatnosti na intervalu vrijednosti varijable • Svojstva funkcije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable: (1) f (x)  0 , x (2) (3)

  15. Distribucije vjerojatnosti analiziraju se tako da im se utvrde statističko-analitički pokazatelji. Među osnovnim pokazateljima jest očekivana vrijednost slučajne varijable koja je ekvivalent aritmetičkoj sredini distribucije numeričke varijable • očekivana vrijednost slučajne varijableX:

  16. varijanca slučajne varijableX, čija je očekivana vrijednost E(X) = μ, dana je izrazom: • standardna devijacija je pozitivni drugi korijen iz varijance • koeficijent varijacije omjer je standardne devijacije i očekivane vrijednosti pomnožen sa 100

  17. r-ti moment oko sredine slučajne varijableX općenito se definira izrazom: • Omjer trećeg momenta oko sredine i standardne devijacije podignute na treću potenciju mjerajeasimetrije distribucije vjerojatnosti, a omjer četvrtog momenta i standardne devijacije na četvrtu mjeraje zaobljenosti distribucije vjerojatnosti

  18. PRIMJER 6. Ekspertna grupa procjenjuje učinke investicija na rizičnom području. Učinak investicije izražen je u obliku dobiti, odnosno gubitaka za promašene plasmane. Distribucija vjerojatnosti učinka investicija navedena je u tabeli. (a) Odredite očekivanu vrijednost i standardnu devijaciju distribucije vjerojatnosti. Interpretirajte dobivene rezultate. (b) Kolika je vjerojatnost da će investicija rezultirati gubitkom? Kolika je vjerojatnost da će dobit biti između 100 i 300 tisuća kuna?

More Related