Flujo Externo

1. Flujo Externo • Es el que se da cuando un objeto se expone a un flujo no confinado. • Se verán los problemas de convección forzada de baja velocidad sin que ocurran cambios de fase. El movimiento del fluido es ocasionado por algún agenteexterno que no es la diferencia de densidad del fluido. • El objetivo es determinar los coeficientes de convección para las distintas geometrías. • Para la determinación de Nu se pueden utilizar métodos empíricos o métodos teóricos. El método empírico se realizará en condiciones de laboratorio controladas. El método teórico consiste en obtener el perfil de temperaturas T* y a partir de la 6.80 evaluar el número de Nu. Método empírico Haciendo variar las condiciones de tra-bajo de la placa sometida a experimen-tación, es posible encontrar correlacio-nes que permitan expresar el Nu como función de Re y Pr.

2. Recordando: (6.81) Si la geometría se conoce, elimino x*, por ejemplo, para la placa plana de la figura, conocemos L, y entonces (6.82) Realizando luego los experimentos, resulta conveniente elaborar gráficas para distintas condiciones, se hacen del tipo log-log, dejando habitualmente el Pr fijo. Se ha encontrado que una ecuación que resulta representativa de varias situaciones es: (7.1) En la figura se ven las rectas que se aproximan con este método

3. En muchos casos es conveniente suponer las propiedades de los fluidos como constantes. El problema es que varían con la temperatura. Una manera de sobrellevar este problema es realizar la evaluación de las propiedades a una temperatura media de la capa límite, a la que se denomina temperatura de película (7.2) Alternativamente se suele evaluar a la temperatura de corriente libre y multiplicar el lado derecho de la 7.1 por un parámetro adicional para explicar las variaciones de las propiedades (normalmente una relación entre Pr de temperatura de corriente libre y superficie o de viscosidades dinámicas).

4. Placa plana en un flujo paralelo – flujo laminar: solución de similitud Suponiendo: a. Flujo laminar incompresible y estable b. Propiedades de flujo constantes c. Disipación viscosa despreciable d. Las ecuaciones de capa límite se reducen a (7.5) (7.4) ; Se resuelve entonces el problema hidrodi-námico siguiendo el método de Blasius. (7.6) Las componentes de la velocidad se definen en términos de la función de corriente (x, y) Con lo cual la ecuación 7.4 se resuelve en forma automática. Se definen nuevas varia-bles, la dependiente f y la independiente  de la siguiente forma (7.8)

5. (7.9) (7.10) Variables que simplifican el problema ya que reducen la ecuación 7.5 a una EDO. La solución “de similitud” de Blasius se basa en considerar que a pesar del crecimiento de la capa límite con x, el perfil de velocidad u/u∞ permanece “geomé-tricamente similar”, lo cual se expresa matemáticamente como Donde  es el espesor de la capa límite. Suponiendo que este varía como se tiene que (7.11) Lo cual supone que el perfil de velocidad está determinado unívocamente por la variable de similitud  . Luego, de 7.8, 7.9 y 7.10 (7.12) (7.13) (7.16) (7.15) ; (7.14) ;

6. (7.17) Y sustituyendo en 7.5, se obtiene EDO con las siguientes condiciones de borde Que expresadas como variables de similitud son (7.18) La solución de la 7.17 con las 7.18, no tiene una solución cerrada y da los resultados que se muestran en la figura, o en la tabla siguiente. De allí, para se tiene que = 5,0 , por lo cual de la 7.10 se tiene la siguiente relación 7.19 Donde se ve que  aumenta con x y disminuye al aumentar u∞ .

7. De 7.15, se tiene que Y de la tabla, se concluye que Siendo entonces el coeficiente local de fricción igual a (7.20) Para resolver la ecua-ción de energía se introduce la temperatu-ra adimensional y su- poniendo una solución de similitud Al hacer las sustituciones nece-sarias, la ecuación 7.6 se reduce a (7.21)

8. (7.22) Con las condiciones de borde Pudiendo resolverse mediante integración numérica la 7.21 para diferentes Pr. Se observa que para los gra-dientes de temperatura de la superficie se correlacionan mediante Luego, (7.23) Y por lo tanto, También de la solución de la 7.21 se llega a que (7.24) Estos resultados muestran que para capa límite laminar, , 7.20 y 7.23 implican que s, x y hx son infinitos en el inicio de la placa y disminuyen como x-1/2 en la dirección del flujo. La 7.24 indica que para las capas límite tienen crecimiento similar. Se pueden obtener los siguientes coeficientes promedio (7.29) donde

9. Sustituyendo de la 7.20 e integrando (7.30) De 6.6 y 7.23 Que integrando y sustituyendo nos lleva a y finalmente Y si el flujo es laminar en toda la superficie, el subíndice xse reemplaza porL. (7.31) En los fluidos con Pr pequeño (metales líquidos), no se aplica 7.23. Aquí como la capa límite térmica crece mucho más rápido que la de velocidad, , es razo-nable suponer una velocidad uniforme, , a través de la capa límite térmica. Solucionando entonces 7.21 en base a esta suposición, se muestra que (7.33) Donde Churchill y Ozoe recomiendan una ecuación única para todos los Pr, para flujo laminar en una placa isotérmica (7.34) , con

10. Flujo turbulento Para Re hasta aproximadamente 107, se encuentra experimentalmente que (7.35) Utilizable hasta Re= 108 con un 15 % de precisión. Se sabe además, que el espesor de la capa límite de velocidad se puede aproximar con (7.36) Se ve así que la capa límite turbulentacrece más rápido que la laminar. Por otro lado, como la capa límite turbulenta está afectada más por las fluctuaciones del fluido que la difusión, el crecimiento de ésta no depende del valor de Pr, y así, se tiene que . El número de Nusselt para este tipo de flujo en placa plana es (7.37) Integrando estas expresiones se pueden sacar coeficientes promedio, pero por lo general la capa límite turbulenta está precedida por una parte laminar, por lo cual se considera primero la condición de capa límite mezclada. Capa límite mezclada Una integración sobre la región laminar y después sobre la región turbulenta, se expresa como

11. Sustituyendo de 7.23 y 7.37 integrando (7.39) Donde la constante A está determinada por el Re crítico (7.40) Si se supone que (7.41) Para el coeficiente de fricción, se tiene que (7.43) cuando (7.46) (7.44)

12. Casos especiales Si hay una longitud inicial no calentada, , y corriente arriba una longitud calentada, , el crecimiento de t comienza en Con solución integral de capa límite laminar se demuestra que (7.47) Donde sale de 7.23 Se ha descubierto para flujo turbu-lento que Donde Esta dado por 7.37 (7.48) Las 7.47 y 7.48 se aplican para x >  , y para obtener Nu promedio para < x < L , se tienen que integrar numéricamente. Flujo de calor superficial uniforme Para calor superficial uniforme, q’’= constante, para flujo laminar es posible demostrar que (7.49)

13. Mientras que para flujo turbu- lento se obtiene la correlación (7.50) Se ve que Nu es 36 % y 4 % mayor que el de Ts constante para laminar y turbulento respectivamente. La corrección para superficie inicial no calentada se logra usando las 7.49 y 7.50 con las 7.47 y 7.48 respectivamente. Conocidos, Nux , por lo tanto hx y q’’, se puede calcular Ts(x) con (7.51) ¿Será posible estimar un número de Nusselt global, ? Como , no hace fal-ta determinar h promedio, pero se puede pensar en una temperatura promedio (7.52) Y que sustituyendo de la 7.49, se obtiene donde (7.53a) (7.53b) Resultado sólo el 2 % superior al obtenido por la 7.31 en x = L , siendo las diferencias aún menores para flujo turbulento, lo que permite usar los NuL para Ts constante en la 7.53 para evaluar .