16 - Séries Temporais: Processos MA e Processos AR

1. 16 - Séries Temporais: Processos MA e Processos AR Estacionariedade Um processo estocástico yté dito estacionário de 2a. ordem se Ergodicidade Ergodicidade na média

2. Ergodicidade de 2a. ordem Função de Autocorrelação (FAC) Representa uma medida de associação linear entre o processo e o seu passado, ou seja, uma medida da “memória” do processo. Formalmente

3. A FAC de um processo estocástico é como se fosse uma “marca registrada” deste processo. Processos de uma mesma “família” geram FAC’s do mesmo tipo. Portanto, a FAC pode ser utilizada como um procedimento para identificar o processo estocástico que gera uma série temporal. Propriedades da FAC

4. A FAC estimada a partir de uma realização do processo estocástico (série temporal) é Função de Autocorrelação Parcial (FACP) Complementa a idéia da FAC. A FACP é a correlação entre duas observações seriais yte yt-k, eliminando-se a dependência dos termos intermediários. Formalmente

5. A FACP de ordem k estimada a partir de uma realização do processo estocástico (série temporal) é o valor estimado do coeficiente a(k) na regressão O Ruído Branco Um processo estocástico é chamado de ruído branco se Em geral, considera-se também que

6. O processo é chamado de ruído branco Gaussiano se Exemplo: Uma realização (série temporal) de um processo estocástico do tipo ruído branco Gaussiano com variância 1.

7. Qual a FAC de um ruído branco?

8. Qual a FACP de um ruído branco?

9. O Processo Média Móvel (MA) Um processo estocástico {yt} é chamado de processo média móvel de ordem q, MA(q), se para cada instante de tempo t, ytsegue a equação

10. Exemplo: uma realização de um processo MA(1) com 100 observações

11. O Processo MA(1) O processo MA(1) e definido por • Algumas questões importantes • Quais são as condições necessárias e suficientes para estacionariedade de um processo MA(1)? • Qual a média de yt ? • Qual a variância de yt? • E a FAC e FACP?

12. Qual a condição de estacionariedade de um processo MA(1)? • Todo processo MA(1) é estacionário! • Qual a média de um processo MA(1)? • Qual a variância?

13. Qual a FAC de um processo MA(1)? • E a FACP? • Um processo MA pode ser escrito como um somatório infinito de valores defasados de yt. • Desta forma, a FACP de um processo MA(1) terá a forma da FACP de um processo auto-regressivo de ordem infinita.

14. O Processo Auto-Regressivo Um processo estocástico {yt } é chamado de processo auto-regressivo de ordem p, AR(p),se para cada instante de tempo t, yt segue a equação

15. Exemplo: uma realização de um processo AR(1)

16. O processo AR(1) é definido por • Algumas questões importantes • Quais são as condições necessárias e suficientes para estacionariedade de um processo AR(1)? • Qual a média de yt ? • Qual a variância de yt? • E a FAC e FACP?

17. Qual a condição de estacionariedade de um processo AR(1)? • Um processo AR(1) pode ser escrito da seguinte forma onde y0 é um valor inicial. Portanto, para um processo AR(1) ser estacionário

18. Qual a média de um processo AR(1)? • Se o processo for estacionário

19. Qual a variância do processo AR(1)? • A variância de um processo AR(1) é dada por • Qual a FAC de um processo AR(1)? • A FAC de um processo AR(1) decai exponencialmente. • A autocorrelação de k-ésima ordem é dada por

20. Qual a FACP do processo AR(1)? • Pela própria definição, para um processo AR(1) a FACP é dada por