Liczby zespolone

1. Liczby zespolone Prezentację wykonali uczniowie Zespołu Szkół Ponadgimnazjalnych w Szczucinie: Sławomir Babiec Tomasz Warzecha Krystian Kapel Marcin Grzesiak autor i opiekun pracy: mgr inż. Ryszard Chybicki Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych W Szczucinie

2. Liczbą zespoloną (a, b) nazywamy uporządkowaną parę liczb o następujących trzech własnościach:

3. Dwie liczby zespolone (a, b) i (c, d) są sobie równe, gdy a= c i b= d • Suma dwóch liczb zespolonych (a, b) i (c, d) jest to liczba zespolona określona w następujący sposób: • Iloczyn dwóch liczb zespolonych (a, b) i (c, d) jest to liczba zespolona, powstała w wyniku mnożenia określonego w następujący sposób:

4. Powyższe trzy właściwości stanowią aksjomaty liczb zespolonych to znaczy przyjmowane są bez dowodu

5. Właściwości liczb zespolonych: Równość liczb zespolonych jest: • zwrotna - tzn. (a,b)=(a,b) • symetryczna - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) to (c, d)=(a,b) • przechodnia - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) i (c, d)=(e, f) to (a, b)=(e, f)

6. Dodawanie liczb zespolonych jest: • przemienne - tzn: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) • łączne - tzn: [(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)]

7. Mnożenie liczb zespolonych jest: • przemienne - tzn.: (a, b)(c, d) = (c, d)(a, b) • łączne - tzn.: [(a, b)(c, d)](e, f) = (a, b)[(c, d)(e, f)] • rozdzielne względem dodawania - tzn.: [(a, b) + (c, d)](e, f) = (a, b)(e, f) + (c, d)(e, f)

8. Różnica liczb zespolonych Spróbujmy rozwiązać następujące równanie: (c, d) + (x, y) = (a, b) w którym liczba zespolona (x, y) jest niewiadomą: mamy: (c, d) + (x, y) = (c + z, d + y) = (a, b) stąd: c + z = a , d + y = b czyli: x = a - c , y = b - d

9. Rozwiązanie równania (liczbę (x, y)) oznaczamy (a, b) - (c, d) i nazywamy różnicą liczb zespolonych (a, b) - (c, d) = (a- c, b- d)

10. Odejmowanie jest wykonalne dla wszystkich liczb zespolonych. Zbiór liczb zespolonych zawiera także liczbę zero. Definiujemy ją jako rozwiązanie równania. (a, b) + (x, y) = (a, b) czyli zerem jest liczba (0, 0)

11. Iloraz liczb zespolonych Spróbujmy rozwiązać następujące równanie: (c, d)(x, y) = (a, b) w którym liczba zespolona (x, y) jest niewiadomą. Mamy: (c, d)(x, y) = (cx - dy, cy + dx) = (a, b) stąd; cx – dy = a i cy + dy = b

12. Rozwiążmy układ tych dwóch równań z dwiema niewiadomymi: Obliczmy y z pierwszego równania i podstawmy do drugiego: wstawiając wyznaczony x otrzymamy że:

13. Zatem to jedyne rozwiązanie równania(czyli liczbę zespoloną (x, y)) oznaczamy nazywamy ilorazem liczb zespolonych:

14. Oczywiście dzielenie jest wykonalne dla wszystkich liczb zespolonych oprócz przypadku, gdy dzielnik jest zerem. Liczbę (a, 0) utożsamiamy z liczbą rzeczywistą a czyli:

15. Jest to możliwe dlatego, że liczba (a, 0) ma własności liczby rzeczywistej: (a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0) (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) Nie można tego zrobić z liczbami typu (0, a), (0, b) bo np.: (0, a)(0, b) = (- ab, 0) i (0, a) + (0, b) = (0, a + b) zatem nie ma analogii w przypadku liczb typu (0, a) i (b, 0)

16. Należy zwrócić uwagę na następujące działanie: (0, a) = (a, 0)(0, 1) = (0, 1)(a, 0) oznaczmy zatem oznaczamy :

17. Postać kanoniczna liczby zespolonej. Korzystając z poprzednich równań o liczbach zespolonych spróbujmy zapisać liczbę (a, b) bez nawiasów: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b) = a + (0, 1)(b, 0) = a + jb czyli (a, b) = a + jb

18. Postać a+jb nazywamy postacią kanoniczną liczby zespolonej (a,b) A = re (a + jb) - część rzeczywista liczby zespolonej B = im (a + jb) część urojona liczby zespolonej

19. Liczbę zespoloną, której część urojona jest zerem, nazywamy liczbą rzeczywistą. • Liczbę zespoloną, której część rzeczywista jest zerem, nazywamy liczbą urojoną.

20. Od tej pory liczby zespolone będziemy oznaczać literą „z” z indeksem: z = x + jy np.

21. Liczby zespolone podlegają działaniom identycznym jak liczby rzeczywiste np.: • Jeżeli i to • Jeżeli to • Jeżeli to

22. Liczba sprzężona Każdej liczbie zespolonej z można podporządkować liczbę z nią sprzężoną

23. Jeżeli z = re(z) + im(z) to z powyższego wynika, że jeżeli to iloczyn

24. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.

25. Modułem liczby zespolonej z= x + jy nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą : Argumentem liczby zespolonej z = x + jy nazywamy miarę kąta, jaki tworzy wektor z z osią Re(z) (rys.)

26. Istnieje nieskończenie wiele miar kątów, jakie tworzy wektor z z osią x, różniących się wielokrotnością kąta 2p. Stąd też istnieje nieskończenie wiele argumentów liczby zespolonej z. Jednak ten kąt, którego miara zawiera się w przedziale (-p,p>nosi nazwę argumentu głównego liczby zespolonejz i dla odróżnienia od pozostałych argumentów oznaczamy go dużą literą:Arg(z)

27. Korzystając z tych zależności można zapisać trygonometryczną postać liczby zespolonej:

28. Mnożenie liczb zespolonych Niech będą dane i obliczamy iloczyn :

29. Z powyższego wynika, że: i Bardzo prosto można wykazać, że iloczyn skończonej liczby liczb zespolonej wynosi:

30. Potęgowanie jest szczególnym przypadkiem mnożenia, korzystając z powyższego wzoru mamy:i czyli

31. gdy r = 1 to Wzór Moivre’a Łącząc ten wzór i dwumian Newtona mamy:

32. Dzielenie liczb zespolonych Oznaczamy czyli

33. Twierdzenie ogólne o dzieleniu otrzymamy pisząc: W wyniku otrzymamy liczbę zespoloną, której:

34. Pierwiastek z liczby zespolonej Niech: Znaczy to, że

35. Zgodnie z zasadami potęgowania Zatem A stąd wynika że:

36. Ponieważ: Więc gdy k=n to pierwiastki by się powtarzały. Istnieje zatem „n” różnych pierwiastków z liczby

37. Ostatecznie

38. Koniecprezentacji