RELASI DAN FUNGSI

RELASI DAN FUNGSI disampaikanpada Diklat Guru Pengembang Matematika SMK Jenjang DasarDI PPPPTK Matematika YOGYAKARTA 0leh:Drs. Markaban, M.SiWidyaiswara PPPPTK Matematika

RELASI DAN FUNGSI Contoh Relasi Di bawah ini adalah nomor telepon penting dicatat dari buku telepon Perhatikan Daftar Harga di sebuah Warung Makanan/MinumanHarga Bakso Rp 2.500,00 Soto Rp 2.500,00 Kerupuk Rp 200,00 Teh Panas Rp 750,00 Es Teh Rp 1.000,00 Hubungan Interlokal 100 Hubungan Internasional 101 Informasi Waktu 103 Penerangan Lokal 108 Informasi Tagihan 109 Polisi 110 Dinas Kebakaran 113 Gangguan Telepon 117

Makanan/ Minuman Harga Bakso Rp 2.500,00 Soto Rp 2.500,00 Kerupuk Rp 200,00 Teh Panas Rp 750,00 Es Teh Rp 1.000,00          Teh Panas Teh Panas Jenis Makanan/ Minuman Harga Bakso Rp 2.500,00 Soto Rp 200,00 Kerupuk Rp 750,00 Es Teh Rp 1.000,00 relasinya adalah “harganya”

Rp 2.500,00 Bakso   Soto Rp 200,00  Kerupuk  Rp 750,00       Rp 1.000,00 Es Teh Teh Panas Teh Panas JIKA “ARAHNYA” DIBALIK Jenis Makanan/ Minuman Harga Relasinya: “harga untuk”

FUNGSI Jenis Makanan/ Minuman Harga Bakso Rp 2.500,00 Jenis Makanan/ Minuman  BUKAN FUNGSI Harga           Soto Rp 200,00 Rp 2.500,00 Bakso Teh Panas Teh Panas Kerupuk Teh Panas Teh Panas  Relasinya: “harga untuk”  Soto Rp 750,00 Rp 200,00  Kerupuk  Rp 1.000,00 Es Teh  Rp 750,00  Rp 1.000,00 relasinya adalah “harganya”  Es Teh  SALING INVERS

B Jenis Makanan/ Minuman Harga Bakso Rp 2.500,00 Soto Rp 200,00 Kerupuk Rp 750,00 Es Teh Rp 1.000,00 relasinya adalah “harganya”          Teh Panas Teh Panas 2 4 6 8 1 2 3 4  2 4 6 8 A 2  1 Perhatikan anak panahnya 4  2 6  3  4 8 relasinya adalah “dua kali dari” x f(x) f(x) rumus pemetaannya f(x) = x

Perhatikan fungsi f berikut: Fungsi kita bayangkan sebagai suatu mesin yang digambarkan:  5 Funggsi f x Masukan f(x) Keluaran f:x 5 x 5x=f(x) 2 10 x 10 50

CONTOH FUNGSI Perhatikan tumpukan gelas berikut 36_  30_ Tinggi tumpukan gelas  24_  18_  12_  12 cm 18 cm 24 cm 30 cm 36 cm  5  1  2  3  4 Banyak gelas

Contoh Fungsi Kuadrat

Pengertian Fungsi : Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan elemen pada B . . . . . . . . . . . A B f

Beberapa cara penyajian fungsi : • Dalam diagram panah • f : D  K. Lambang fungsi tidak harus f.Misalnya, un = n2 + 2n atau u(n) = n2 + 2n • Dalam diagram Kartesius • Dalam bentuk aturan-aturan atau kata-kata • Dalam bentuk aljabar • Dalam bentuk persamaan • Penyajian parametrik • Penyajian pasangan berurutan • Dalam bentuk tabel

Contoh : grafik fungsi Grafik sebuah fungsi : f: x  f(x) = x2Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}. • 4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari –2. • – 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan dilambangkan f–1(4) = 2 atau – 2. • Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis sejajar sumbu- Y yang memotong grafik hanya memotong di tepat satu titik saja. Y (–2,4) (2,4) (–1,1) (1,1) X (0,0) O

Beberapa Fungsi Khusus • 1). Fungsi Konstan • 2). Fungsi Identitas • 3). Fungsi Modulus • 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), danFungsi ganjil jika f(x) = f(x) • 5).Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar [[ x ] = {b | b  x < b + 1, b bilangan bulat, xR} Misal, jika 2  x < 1 maka [[x] = 2 • 6).Fungsi Linear • 7). Fungsi Kuadrat • 8). Fungsi Turunan

Jenis Fungsi • 1. Injektif ( Satu-satu)Fungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu dan f(x) = x2bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2). • 2. Surjektif (Onto)Fungsi f: AB maka apabila f(A)  B dikenal fungsi into. Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif. Fungsi f(x) = x2 bukan fungsi yang onto • 3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)Apabila f: A B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka “f adalah fungsi yang bijektif”

Fungsi Linear Pengalaman Belajar • Sebidang tanah dengan harga perolehan Rp. 50.000.000,00 diperkirakan mengalami tingkat kenaikan konstan Rp. 200.000,00 per tahun dalam kurunwaktu 5 tahun. Tentukan persamaan garis harga tanah tersebut dan harga tanah pada akhir tahun ke-5 !

Fungsi Linear dan Garis Lurus • Persamaan fungsi linear f: x  f(x)=mx + n, m  0 adalah y = mx + n • Persamaan garis melalui (x1,y1) dengan gradien atau koefisien arah m adalah y – y1 = m(x – x1 ). • Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah : • Persamaan garis dapat dinyatakan dalam bentuk implisit: Ax + By + C = 0

Fungsi Kuadrat • Pak Budi mempunyai sebidang tanah yang berbentuk persegi panjang dengan kelilingnya 20 meter. • Tentukan : • a). Luas tanah tersebut apabila panjangnya 6 meter. • b). Ukuran persegi panjang agar luasnya 21 m2 • c). Luas maksimum persegi panjang tersebut beserta ukurannya

Bentuk umum fungsi kuadrat f:xax2+bx+c dengan a,b, c  R dan a  0 Persamaannya dapat dijabarkan: • y = ax2 + bx + c Maka Puncak Parabola P( , )

Contoh: • Grafik sebuah fungsi kuadrat berpuncak di titik (1, –8) dan memotong sumbu X positif berabsis 3. Tentukan persamaan grafik fungsi tersebut?

X (i) Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X a > 0 D = 0 a > 0 D > 0 a > 0 D < 0 (ii) X (iii) X X X X a < 0 D = 0 a < 0 D < 0 a < 0 D > 0 (v) (iv) (vi) Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik f: x  f(x) = 2x untuk x bulat dalam [0, 5] adalah: Y f(x) =2X X – 3  – 3 –2  – 2 – 1  – 1 0  0 1  1 2  2 3  3 ... ... n  n O X FUNGSI EKSPONEN, DOMAIN BILANGAN BULAT 2– 3 (5,32) 2–2 2– 3 2– 2 2– 1 2– 1 20 20 21 21 22 22 23 (4,16) 23 ... ... 2n 2n (3,8) D = domain K = kodomain (2,4) Fungsi eksponen f: x  f(x) = 2x merupakan fungsi bijektif (1,2) (0,1)

FUNGSI EKSPONEN Perkembangan amuba merupakan fungsi eksponen, dan domainnya adalah himpunan bilangan cacah. Apakah domain fungsi eksponen hanya himpunan bilangan cacah, atau bulat, atau himpunan bilangan real? Perubahan panas, perubahan sifat logam karena pendinginan dari waktu ke waktu ternyata juga terkait dengan fungsi eksponen, sedangkan waktu berjalan secara kontinyu, bukan diskrit. Ini mengindikasikan bahwa domain fungsi eksponensial dapat berupa himpunan bilangan real PERHATIKAN YANG BERIKUT INI

–2 x 3 2 –1 2 1 –1 0 – f(x) = 2x 23 = 8 42 5,657 4 22  2,828 1 0,520,707 0,5  0,353  0,25 2  1,414 S A M A S A M A S A M A Tabel nilai perpangkatan bilangan 2: f(x) = 2x , x rasional Bagaimana jika x bilangan irasional? misal: x = 2 = 1,41421356237309504880168872... 22 = ? real atau bukan real? 21,41421356237309500< 22 < 21,41421356237309510 2,6651441426902250... < 22 < 2,6651441426902252 ... < 22 < 2,665144142690225 2,665144142690225 Jadi 22 = 2,665144142690225 (15 tempat desimal)  22 bilangan real  dapat ditunjukkan bahwa 2 dan secara umum bilangan positif dipangkatkan bilangan real hasilnya bilangan real BILANGAN REAL BILANGAN REAL BILANGAN REAL

Y 8 7 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 2 3 X xR Grafik f(x) = 2x dan g(x) = g(x) = f(x)= 2x

Y 8 g(x) = f(x)= 2x 7 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 2 3 X Sifat Kedua grafik melalui titik (0, 1) Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y Grafik f: x  2x merupakan grafik naik/mendaki dan grafik g: x  merupakan grafik yang menurun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif) Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai nilai 2x dan nilai untuk berbagai nilai x real Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui. Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.

Y CONTOH (4,16) 1. Berapa nilai Dari x = 3,5 tariklah garis tegak, memotong kurva di sebuah titik, misalkan titik A. C C C  14  14  14 Dari titik A, tariklah garis mendatar, memotong sumbu Y di titik B  B  B  B A A A Ordinat titik B yaitu 11,3 menyatakan nilai 2. Berapakah x, jika 2x = 14? (3,8) Dengan kata lain 2log 14 = x, x = ...? Dari (0, 14) pada sumbu Y, tariklah sebuah garis mendatar ke kanan, memotong kurva, misalnya di titik C. (2,4) Dari titik C tariklah sebuah garis sejajar sumbu Y memotong sumbu X di titik D. (1,2) (0,1) Absis titik D tersebut yaitu 3,8 merupakan nilai pangkat dari 2 yang menghasilkan 14 atau 2log 14 = 3,8 (1, ½ )  (2,1/4)   D  D  D  D  D  D O X

Naik turunnya f(x) dan g(x) Y g(x) = 2–x 8 f(x)= 2x 7 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 2 3 X Gambar 5

FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = sin x 1 amplitudo 0 900 1800 2700 3600 -1 1 pereode

Grafik y = 2 sin x Pereode 3600 2 Amlpitudo 2 1 0 900 1800 2700 3600 -1 Y=sin x -2

1 0 900 1800 2700 3600 -1 Grafik y = sin 2x pereode amplitudo 450 1350 2250 3150 Y=sin x

Grafik y = cos x 1 amplitudo -900 00 900 1800 2700 -1 1 pereode

1 -900 00 900 1800 2700 -1 Grafik y = 2cos x periode 2 amplitudo Y=cos x -2

Penerapan Fungsi • Penerapan Fungsi dalam Ekonomi • Fungsi Permintaan • Fungsi penawaran • Keseimbangan pasar • Analisis Pulang Pokok • Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari

Pendapatan Keuntungan Titik pulang pokok Biaya total Biaya variabel  Kerugian Biaya tetap Jumlah penjualan Analisis Pulang Pokok

Soal • Seorang siswa akan membuat kotak tanpa tutup dengan sehelai karton yang berukuran 20 cm x 30 cm dengan cara menggunting keempat sudutnya. Tentukan panjang sisi yang digunting pada sudut karton tersebut agar luas alasnya sebesar 200 cm2 • 2. Biaya tetap yang dikeluarkan oleh seorang pengrajin tas kulit sebesar Rp.2.250.000,00 sedang biaya variabelnya Rp. 5.000,00. Jika tas tersebut di pasar laku Rp. 12.500,00 per unit, tentukan banyaknya tas yang harus terjual agar pengrajin tas memperoleh keuntungan Rp. 1.500.000,00 • 3. Jika permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 - x, sedangkan penawarannya P = 3 + ½x dan pemerintah bermaksud mengenakan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual. Berapa besar pajak per unit yang harus ditetapkan agar penerimaan pajak atas barang tersebut maksimum ?

RELASI DAN FUNGSI