Nazwa szkoły: VIII LO im. A. Mickiewicza w Poznaniu ID grupy: 97/94_MF_G2

2. Dane Informacyjne • Nazwa szkoły: VIII LO im. A. Mickiewicza w Poznaniu • ID grupy: 97/94_MF_G2 • Kompetencja: matematyka i fizyka • Temat projektowy: Liczby Fibonacciego • Semestr/rok szkolny: 2011/2012

3. Liczby Fibonacciego

4. Fibonacci (Leonardo z Pizy) • włoski matematyk • twierdził, że „matematyka jest wszędzie – w całym otaczającym nas świecie...”

5. Biografia Fibonacciego • Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku i to za sprawą jednego człowieka. Był nim Pizańczyk - Leonardo Fibonacci. • Ojciec Fibonacciego - Bonaccio, pizański kupiec, był gubernatorem włoskiej kolonii w północno-afrykańskim porcie Boużia. • Tam Leonardo pobierał pierwsze lekcje matematyki u arabskiego nauczyciela. Dalsze studia zawiodły go w rozliczne miejsca. Były to Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia.

6. Biografia Fibonacciego • Po powrocie do Pizy, w 1202 roku, Leonardo napisał swoje głośne dzieło  Liber Abaci (Księga Rachunków), w której pojawiają się arabskie cyfry. • Warto tu wspomnieć, że ten dla nas tak dzisiaj naturalny system, wędrował do Europy za pośrednictwem Arabów dobre parę setek lat. • Słynny wynalazek hinduski - zero, pojawiło się około IV-V wieku po Chrystusie, początkowo w formie kropki.Wraz z jego pojawieniem rozpoczął się dziesiętny system pozycyjny.

7. Biografia Fibonacciego – najważniejsze fakty • Znany również jako Leonardo z Pizy. • Urodził się ok. 1180, zmarł ok. 1250. • W 1202 roku opublikował dzieło „Księga abaku” (Liber abaci) w której przedstawił całą ówczesną wiedzę z zakresu arytmetyki i algebry, podał tam również dziesiątkowy układ liczbowy i cyfry pochodzenia indyjskiego. • W 1220 roku opublikował dzieło „Geometria praktyczna” (Practica geometriae)- dzieło o zastosowaniu algebry do geometrii. • Jego dzieła stały się znane dopiero 200 lat po jego śmierci.

8. Biografia Fibonacciego – najważniejsze fakty • Znany również jako Leonardo z Pizy. • Urodził się ok. 1180, zmarł ok. 1250. • W 1202 roku opublikował dzieło „Księga abaku” (Liber abaci) w której przedstawił całą ówczesną wiedzę z zakresu arytmetyki i algebry, podał tam również dziesiątkowy układ liczbowy i cyfry pochodzenia indyjskiego. • W 1220 roku opublikował dzieło „Geometria praktyczna” (Practica geometriae)- dzieło o zastosowaniu algebry do geometrii. • Jego dzieła stały się znane dopiero 200 lat po jego śmierci.

9. Króliki • W czasie kolonizacji Australii plagą stały się przywiezione przez europejskich żeglarzy króliki. • W parę lat króliki zdziczały a ich populacja wzrosła do tego stopnia, ze zaczęła zagrażać pastwiskom owiec. • Leonardo Fibonacci, w swojej książce Liber Abbaci opublikowanej w 1202 r., zajął się problemem dotyczącym szybkości rozmnażania się stada królików.

10. Króliki • W Liber AbaciFibonacci rozważał następujący problem: • Ile będzie królików po liczbie n miesięcy, jeżeli: • nowa para staje się płodna po miesiącu życia • każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików w miesiącu • króliki nigdy nie umierają

11. Króliki Etapy ich rozwoju Fibonacci ujął na schemacie miesiącliczba par styczeń para początkowa 1 luty 1 2 marzec kwiecień 3 maj 5 8 czerwiec 13 lipiec

12. Króliki Etapy ich rozwoju Fibonacci ujął na schemacie miesiącliczba par styczeń para początkowa 1 luty 1 W każdym kolejnym miesiącu liczba par królików jest równa liczbie par z poprzedniego miesiąca, (króliki nie wymierają), plus liczba par nowo narodzonych królików, a tych jest tyle, ile było par dwa miesiące wcześniej. 2 marzec kwiecień 3 maj 5 8 czerwiec 13 lipiec

13. Króliki Otrzymane liczby to liczby Fibonacciego

14. Ciąg Fibonacciego • Ciąg liczb Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, w którym każda liczba (oprócz dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich. Rekurencyjnie można go przedstawić w następujący sposób:

15. Pojęcie ciągu Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczba naturalnych (bez zera). Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu. (i nie ma nic wspólnego z ciągiem alkoholowym...) Np. jeśli ciąg mamy określony wzorem an=n2+2n, to wyrazy ciągu to: a1=3, a2=8, a3=15, itd. Jeśli mamy podany wzór ciągu oraz wartość wyrazu i mamy policzyć wyraz: np. an=2n2-13n+11, a szukany wyraz ma wartość 5, to rozwiązujemy równanie 2n2-13n+11=5 ⇔ 2n2-13n+6=0. Jest to typowe równanie kwadratowe, wyliczamy deltę i pierwiastki: Δ=121, n1=0.5, n2=6. n to nic innego jak numer wyrazu, ponieważ wyrazy są ponumerowane liczbami naturalnymi odrzucamy rozwiązanie n=0.5. Zatem wartość 5 w ciągu o wzorze an=2n2-13n+11 ma 6 wyraz.

16. Ciąg rekurencyjny • Rekurencyjne określenie ciągu wygląda np. tak: • Rekurencyjne określenie ciągu polega na wyliczaniu danego wyrazu ciągu na podstawie poprzedniego. • W tym przykładzie wyraz a1=2, wyraz a2=2⋅a1-1=2⋅2-1=3, a3=2⋅a2-1=2⋅3-1=5, itd. • Jeśli chodzi o zadania w stylu "Znajdź i udowodnij wzór na wyraz ogólny tego ciągu, są dwa główne sposoby: kombinatoryka i wyprowadzenie wzoru na n-ty wyraz ciągu.Aby lepiej przyswoić sobie pojęcie ciągu rekurencyjnego rozwiążmy kilka przykładowych zadań.

17. Przykładowe zadania z ciągów rekurencyjnych 1. Wyznacz rekurencyjne określenie ciągu (an)a) an = n(n+1)b) an = 1/n 2. Ciąg (an), gdzie n≥1 dany jest wzorem rekurencyjnym: a) Oblicz sumę 21 początkowych wyrazów tego ciągu. b) Wyznacz wszystkie liczby naturalne , dla których spełniona jest nierówność 3. Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu (an), jeżeli a1 = 2 i an+1 = 7an dla n≥1

18. Odpowiedz 1 • a) Wyznaczamy wyrazy: a1 = 1 * 2 = 2 oraz an+1 = (n+1)(n+2)Teraz możemy określić ten ciąg rekurencyjnie na podstawie różnicy:an+1 – an = (n+1)(n+2) – n(n+1) = n2 + 3n + 2 – (n2 + n) = 2n + 2Stąd otrzymujemy rekurencyjnie określenie ciągu (an):a1 = 2an+1 = an + 2n + 2 dla n≥1 • b) Wyznaczmy wyrazy:a1 = 1/1 = 1 oraz an+1 = 1/(n+1)Rekurencyjne określenie ciągu możemy także wyznaczyć na podstawie ilorazu:an+1/an = n/(n+1)Stąd otrzymujemy rekurencyjne określenie ciągu (an):a1 = 1an+1 = n/(n+1) * an { {

19. Odpowiedz 2 • a) Przekształćmy podany warunek rekurencyjny: • Różnica r = -√2Wykorzystując wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: • Obliczmy sumę 21 początkowych wyrazów podanego ciągu: • S21= (2√6 – 20√2)/2 * 21 • S21= (√6 – 20√) * 21 • S21= 21√6 – 210√2

20. Odpowiedz 2 • b) Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: • Rozwiązujemy nierówność: • 1 + √3 ≈ 2,717√2 - √3 + 1 ≈ 9,89 – 1,71 + 1 ≈ 9,18 • n jest liczbą naturalną, więc:

21. Odpowiedz 3 • an = 7an-1 = 72an-2 = 73an-3 = = 74an-4 = … = 7n-2a2 = 7n-1a1= = 7an-1 * 2 Zauważmy, że suma wykładnika potęgi 7 i numeru wyrazu dają n.Więc możemy „zamienić” je miejscami (suma pozostanie niezmieniona).

22. Wieża Hanoi • Mamy trzy pałeczki. Na jedną z nich nadziano n krążków w kolejności od największego na dole do najmniejszego na górze. Należy przenieść wszystkie krążki z jednej pałeczki na drugą, przy czym wolno za każdym razem przenosić tylko jeden krążek i nie wolno kłaść większego krążka na mniejszy. W czasie przenoszenia wolno kłaść krążki na wszystkich trzech pałeczkach. Ile najmniej ruchów (tzn. pojedynczych przeniesień krążków) potrzeba, by przenieść wszystkie n krążków?

23. Wieża Hanoi • Jak to działa? • oznaczmy podstawki przez A, B, C • niech n oznacza liczbę krążków • ponumerujmy krążki od najmniejszego u góry do największego u dołu • W celu przeniesienia n krążków z A do B należy: • przenieść n-1 krążków z A do C – wówczas n-ty dysk samotnie pozostaje w A • przenieść n-ty (największy) • krążek z A do B • przenieść n-1 krążków z C do B

24. Wieża Hanoi 3. 5. 7. 4. 6. 8.

25. Wieża Hanoi Przez XY oznaczmy czynność przenoszenia krążka z położenia X do położenia Y, w takim razie zadanie wykonane na poprzednim slajdzie można zapisać następująco: • Dane wejściowe do algorytmu to liczba krążków n, a danymi wyjściowymi jest lista ruchów X  Y, które należy wykonać aby rozwiązać zadanie. • Lista ruchów dla n=3 wygląda tak jak powyżej. • Dla n=3 wymaganych jest 2n - 1 = 7 ruchów.

26. Wieża Hanoi • Co gdy liczba krążków wyniesie np. 64? • Oznaczmy przez Hnnajmniejszą liczbę ruchów, które należy wykonać by przenieść n krążków z jednej pałeczki na inną. • Chcemy przenieść n+1 krążków z pierwszej pałeczki na drugą. W którymś momencie będziemy musieli przenieść największy krążek, leżący na samym dole na pierwszej pałeczce. Musimy przedtem zdjąć z niego wszystkie mniejsze krążki.

27. Wieża Hanoi • Nie mogą one też leżeć na drugiej pałeczce, bo tam mamy położyć największy krążek. Musimy zatem przenieść n krążków z pierwszej pałeczki na trzecią. Wykonamy w tym celu Hnruchów. Następnie przenosimy największy krążek (to jest jeden ruch) i wreszcie przenosimy n krążków z trzeciej pałeczki na drugą (tu znów mamy Hnruchów). Razem wykonamy więc 2 ・Hn+1 ruchów.

28. Wieża Hanoi • Równanie rekurencyjne: • H0 = 0, Hn+1 = 2 ・Hn+ 1 dla n ≥ 0. • Obliczmy kilka początkowych wyrazów ciągu (Hn): • H0 = 0, • H1 = 2H0 + 1 = 1, • H2 = 2H1 + 1 = 3, • H3 = 2H2 + 1 = 7, • H4 = 2H3 + 1 = 15 • i tak dalej. Wzór ogólny będzie zatem wyglądał w następujący sposób: • Hn= 2n − 1

29. Żaby Fibonacciego • Oto możliwe drogi żaby na czwarty kamień: • Łącznie ma więc pięć rożnych sposobów dostania się na czwarty kamień. A ile istnieje sposobów dostania się na n-ty kamień?

30. Żaby Fibonacciego • Oznaczmy przez Fnliczbę dróg żaby na n-ty kamień. Oczywiście F1 = 1. Na kamień z numerem 1 żaba może dostać się tylko w jeden sposób – ma wykonać jeden pojedynczy skok: • Następnie F2 = 2. Na kamień z numerem 2 żaba może dostać się dwoma sposobami – wykonać dwa skoki pojedyncze lub jeden podwójny:

31. Żaby Fibonacciego • Wzór • Zobaczmy teraz, na ile sposobów żaba może się dostać na kamień o numerze n + 2. Ma ona Fnrożnych dróg na kamień o numerze n i Fn+1 dróg na kamień o numerze n+1. Ponieważ ostatni skok żaby jest skokiem podwójnym z kamienia o numerze n lub pojedynczym z kamienia o numerze n + 1, więc łącznie istnieje Fn+ Fn+1 dróg żaby na kamień n + 2. A więc Fn+2 = Fn+1 + Fn. Zatem na trzeci kamień żaba może dostać się na 1 + 2 = 3 sposoby, na czwarty na 2 + 3 = 5 sposobów i tak dalej. Zatem ciąg (Fn) określony jest wzorami: • F0 = 1, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fndla n ≥ 0.

32. Ciąg Lucasa • W ciągu Lucasa każde kolejne wyrazy (tak jak w ciągu Fibonacciego) są sumą dwóch poprzednich, jednak różne są wartości pierwszych dwóch wyrazów tych ciągów:

33. Zależności między ciągiem Fibonacciego i Lucasa

34. O ułamkach łańcuchowych

35. Zależności między kolejnymi wyrazami ciągu • Zależność między dwoma kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego zawsze można przedstawić jako skończony ułamek łańcuchowy arytmetyczny. • Każda kolejna para liczb „poszerza” ułamek, tworząc go dłuższym o jedną część:

36. Czym jest trójkąt Pascla? 1 1 1 1 1 1 1 1 1

37. Czym jest trójkąt Pascla? 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

38. Czym jest trójkąt Pascla? 1 1 1 1 1 2 1 3 1 3 1 1

39. Czym jest trójkąt Pascla? 1 1 1 1 1 2 1 3 1 3 4 4 6 1 1

40. O trójkącie Pascala • Aby zacząć mówić o trójkącie Pascala należy powiedzieć jak numerowane są tu miejsca: Wszystkie pozycje 0 układają się w rząd 0, pozycje 1, w rząd jeden, pozycje n w rząd n itd...

41. O trójkącie Pascala

42. O trójkącie Pascala • WŁAŚCIWOŚCI • w wierszu o numerze n jest n+1 liczb • suma liczb w wierszu n jest równa 2n • pierwszy rząd składa się z kolejnych liczb naturalnych • drugi rząd składa się z liczb trójkątnych (to znaczy, że odległości między tymi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi)

43. O trójkącie Pascala • Poprowadźmy kilka prostych i policzmy sumę liczb znajdujących się na tej prostej:

44. Jak graficznie przedstawić ciąg Fibonacciego? Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego

45. Związek liczb Fibonacciego z złotą liczbą Granica ciągu czyli ilorazów sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego to tzw. złota liczba lub złota proporcja definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania : lub

46. Ale czym jest złota liczba ? Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi"). Wartość złotej liczby to : Co w rozwinięciu dziesiętnym prezentuje się następująco: Fi= 1,6180339887

47. Złota liczba a ciąg Fibonacciego Kolejne, coraz to dokładniejsze rozwinięcia liczby Fi można obliczać dzieląc przez siebie kolejne ilorazy sąsiednich liczb ciągu Fibonacciego.

48. Złota liczba a ciąg Fibonacciego Działa to także w drugą stronę: Każda liczba ciągu Fibonacciego pomnożona przez liczbę Fi= 1,6180339887 daje kolejną liczbę tego ciągu. Co więcej, im większą liczbę tego ciągu pomnożymy przez złotą liczbę to otrzymamy dokładniejsze przybliżenie kolejnej liczby ciągu Fibonacciego.

49. historiA złotej liczby Najstarsza wzmianka o złotej liczbie jako o ,,świętej proporcji” sięga 1650 r p.n.e., kiedy to spisano w Egipcie papirus Rhinda opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie. Herodot (485-425 p.n.e.) nazywany przez Cycerona ojcem historii, w jednym ze swych opisów ok. 440 r p.n.e. relacjonuje, że egipscy kapłani przekazali mu informację, iż rozmiary piramidy są tak dobrane, że pole kwadratu zbudowanego na jej wysokości jest równe polu trójkąta będącego ścianą boczną piramidy.

50. Nieznane oblicze złotej liczby Okazuje się, iż ,,boska proporcja” może mieć wiele wspólnego z ,,tym Złym”. Wynika to z działania: sin(666)+cos(6*6*6)= φ Cóż, to, co boskie, równie dobrze może być szatańskie.