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Ecuaciones

Ecuaciones. Definiciones Fundamentales. IGUALDADES Y ECUACIONES. Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro.

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Presentation Transcript

  1. Ecuaciones

  2. Definiciones Fundamentales

  3. IGUALDADES Y ECUACIONES Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas.También se puede llamar igualdad algebraica. e.j: x+10=20-12

  4. Ecuación: Igualdad que contiene variables. • Ecuación Lineal: Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1. • Ecuación Trivial: Ecuación en la cual aparece la variable despejada (solita) en un lado de la ecuación y en el otro lado aparece una constante (número). Definiciones

  5. Solución de una ecuación lineal: Son los valores de la variable que cuando se sustituyen en una ecuación hacen cierta la misma. • Resolver la ecuación: Es hallar el valor de la variable que representa la solución de la ecuación. Definiciones Continuación…

  6. Propiedades de la Igualdad

  7. Hay que aplicar las propiedades de la igualdad: • Propiedad Aditiva de la Igualdad • Propiedad Multiplicativa de la Igualdad Para queuna ecuación permanezcabalanceada…

  8. Para todonúmero a, b, c: Si a = b, entonces, a + c = b + c Esta propiedad asegura que en una igualdad al sumar una misma cantidad en ambos lados, se obtiene el mismo resultado. PropiedadAditiva

  9. c 0: Para todonúmero a, b, c, Si a = b, entonces, a .c = b .c Esta propiedad asegura que en una igualdad al multiplicar una misma cantidad en ambos lados, excepto 0, se obtiene el mismo resultado. PropiedadMultiplicativa

  10. Establece que toda cantidad o expresión es igual a si misma. Ejemplos: • 2a = 2a; • 7 + 8 = 7 + 8; • x = x Propiedad idéntica o reflexiva

  11. Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere. • Ejemplos: • Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11 • Si a - b = c, entonces c = a - b • Si x = y, entonces y = x Propiedad simétrica

  12. Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos miembros también son iguales. • Ejemplos: Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5 Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b • Si m = n y n = p, entonces m = p Propiedad transitiva

  13. Establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva. • Ejemplos: • Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3) • Si a = b, entonces a + x = b + x Propiedad uniforme

  14. Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera. • Ejemplos: • Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12 • Si a + b = c + b, entonces a = c • Si (8 / 4) (5) = (2) (5), entonces 8 /4 = 2 Propiedad cancelativa

  15. Aplicación de las Propiedades de la Igualdad

  16. Se desea despejar la variable que está en el lado izquierdo. • Se mira lo que acompaña la variable en el lado donde está. En este ejemplo la variable x está acompañada de la suma de 5 y la multiplicación por 2. • Se elimina siempre primero las sumas y restas y después las multiplicaciones y divisiones. 2x + 5 = 11 Demostración de proceso para resolver ecuación

  17. Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad aditiva de la igualdad. Para eliminar la multiplicación o división se aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad. • Se elimina una operación haciendo la operación contraria: • Se elimina una suma restando • Se elimina una resta sumando • Se elimina una multiplicación dividiendo • Se elimina una división multiplicando. 2x + 5 = 11 Continuación de proceso...

  18. 2x + 5 = 11 2x + 5 – 5 = 11 – 5 2x + 0 = 6 2x = 6 2x = 6 2 2 x = 3 Demostración de proceso...

  19. 6x – 9 = 27 6x –9 + 9 = 27 + 9 6x + 0 = 36 6x = 36 6 6 x = 6 Otro ejemplo: 6x – 9 = 27

  20. 3x – 1 = - 4x + 6 3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1 3x = - 4x + 7 3x + 4x = 4x + - 4x + 7 7x = 7 7 7 x = 1 Otro ejemplo: 3x – 1 = - 4x + 6

  21. 2(x – 8) = 10 2x – 16 = 10 2x = 10 + 16 2x = 26 2 2 x = 13 Otro ejemplo: 2(x – 8) = 10

  22. Ejemplos de Ecuaciones Lineales en Una Variable

  23. 3x + 5 = 8 -2x - 6y = 12 x2 – 6x + 8 = 25 y3 + 8y2 – 10y = 36 ¿Cuáles son lineales? Ejemplos de Ecuaciones

  24. 3x + 5 = 8 -2x - 6y = 12 x2 – 6x + 8 = 25 y3 + 8y2 – 10y = 36 ¿Cuáles son lineales en una variable? Ejemplos de Ecuaciones

  25. Proceso para resolver una ecuación lineal en una variable

  26. 3x – 7 = 14 Hay que convertirla ecuación anterior a la ecuación trivial, o sea, hay que despejar la variable en uno de los lados de la ecuación, el izquierdo o el derecho. Para resolver una ecuación lineal…

  27. Una ecuación es como una balanza de dos platillos… Lo que se hace en un lado de la ecuación hay que hacerlo en el otro lado para que se mantenga la relación de igualdad. Recordar que...

  28. Hay que añadir 2 también, en el lado derecho Si añado 2 en el lado izquierdo Ejemplo:

  29. Ecuaciones que contienen fracciones

  30. Hay dos tipos de métodos que aplicamos para eliminar las fracciones: • Método de Proporciones • Método de No-Proporciones Ecuaciones que contienen fracciones

  31. Método de Proporciones Aplica cuando es una proporción. Una proporción es unaigualdad entre dosfracciones. Ejemplos de proporciones: x – 4 = x + 4 3 2 2x – 4 = x + 8 3 5 En una proporción si se multiplica cruzado se obtiene la misma cantidad. Ecuaciones que contienen fracciones

  32. Método de Proporciones x – 4 = x + 4 3 2 2 (x – 4) = 3 (x + 4) 2x – 8 = 3x + 12 -12 + -8 = 3x – 2x -20 = x Se multiplica cruzado. Ecuacionesquecontienenfracciones

  33. Método de No-Proporciones Aplica cuando la ecuación no es una proporción. 5 - 2x = 9 3 x + 3 = 2x - 5 4 5 3 Ecuacionesquecontienenfracciones

  34. Método de No-Proporciones 5 - 2x = 9 3 5.3 - 2x.3= 9 . 3 31 15 – 2x = 27 -2x = 27 – 15 -2x = 12 -2 -2 x = -6 Cuando no es una proporción se multiplica cada término por el MCD. Ecuacionesquecontienenfracciones

  35. Ecuación Condicional Ecuación que tiene una sola solución (Como todas las anteriores) Hay ecuaciones especiales que no son condicionales. Veamos... Reflexión

  36. Ecuaciones Especiales

  37. Ecuación Identidad La solución es infinita o la solución son todos losReales (que es un conjunto infinito). Ecuación Inconsistente No tiene solución. Ecuaciones Especiales

  38. Ecuación Identidad 2x + 1 = 5x + 1 - 3x 2x + 1 = 2x + 1 2x – 2x = 1 – 1 0 = 0 Solución son todos los números Reales Enunciado cierto Ecuación Identidad

  39. EcuaciónInconsistente 2 (3x + 1) = 9x + (3 - 3x) 6x + 2 = 9x + 3 – 3x 6x + 2 = 6x + 3 6x – 6x = 3 – 2 0 = 1 No tiene solución o la solución es el conjunto nulo. Enunciado falso Ecuación Inconsistente

  40. Ejercicios de Práctica

  41. x – 8 = 206 = 4 - 5x x + 4 = 523 (x – 4) = 8 3x = 81 16 + x = 3x - 5 -5x = 452 (x + 1) = 7 – (x + 3) 2x + 4 = 10 7x + 3 – 9x = 14 – 2x + 5 6 – 4x = -12 5 (x – 2) + 3x = 10x – 2 (x + 5) Resuelve las siguientes ecuaciones:

  42. x = 28 x = 2/-5 x = 48 x = 20/3 x = 27 x = 21/2 x = -9 x = 2/3 x = 3 No tiene solución x = 9/2 La solución es todos los Reales Respuestas

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