Rennes Suite Rappels de mécanique

1. Rennes SuiteRappels de mécanique -Les croissances par plis tangentiels aux interfaces ex. plis d’embryons, empreintes digitales, cerveau etc. -Les croissances par champ normal aux interfaces (ex. poumon) -Les champs de fibres

2. Rappel sur le ressort • Exemple très simple de déformation Une configuration de référence L0 Une configuration déformée L1 Une loi constitutive du matériau : F=kDL Une loi générale d’équilibre (Newton) kDL+Mg=0 Logique : une propriété matérielle, une loi fondamentale=> un passage d’une forme (de référence) à une autre (d’équilibre), unique

3. Le ressort non-linéaire Cas du ressort dit de Landau, astreint à se déplacer sur une tige. Si les ressorts sont tendus : une seule position d’équilibre Si les ressorts sont comprimés : deux positions d’équilibre stables

4. Dans ce cas le système admet deux formes d’équilibre et une instable. Par la force on écrira kDL1+ kDL2 =0 x=  H2 -L12 Longueur projetée L2=L1=  H2 +x2 Allongement On peut utiliser l’énergie Ep, élastique = 2. ½k(L-L0)2 avec L²= H²+x² = k(L-L0)2 Le minimum de l’énergie potentielle élastique s’écrit dEp, élastique /dx = 2k(L-L0)x/L D’où 3 positions d’équilibre, une instable x=0 2 stables, x=  H2 –L02

5. Donc premier message : • Système linéaires, solution unique • Systèmes non-linéaires, solutions multiples Question : comment rejoint-on les positions d’équilibre? Il faut une forme ou une autre de dissipation visqueuse, une force qui s’oppose à la vitesse f=nV Sinon c’est « conservatif », « réversible ». On peut remettre le système dans son état initial L’énergie élastique contient les positions d’équilibre, sous réserve de dissipation

6. La vraie situation est plutôt : Un piston Un ressort Elle permet au système de rejoindre Son état d’équilibre « lentement » Ou bien avec des oscillations si on ajoute l’inertie : mg=md2x/dt2 On obtiendra une équation dynamique de la forme (modèle de Kelvin Voigt) md2x/dt2= -ndx/dt - kdx+mg Dont les solutions sont des combinaisons d’exponentielles et de cosinus, par exemple En négligeant l’inertie : X(t)=(mg/k) (1-exp(-k t/n)) Forme asymptotique Constante de temps

7. Si je pousse ça se déforme lentement. Le ressort emmagasine une énergie exactement égale à l’énergie élastique Mais moi j’ai fourni beaucoup plus (frottement visqueux) Si je lâche, ça revient doucement, mais le ressort ne peut rendre que l’énergie élastique. Ça s’arrête au retour exactement à la position de départ, après un « transitoire ».

8. Situation équivalente pour des pendules de torsion • Dans ce cas on écrit l’équilibre des couples. Le couple de rappel est proportionnel à l’angle : C=kdq Vue de dessus Vue en perspective

9. En torsion ou en allongement, on peut faire les calculs « par la force »Ou bien « par l’énergie »La dissipation n’est pas « potentielle » : c’est perdu L’énergie c’est le travail de la force. Par exemple énergie élastique : dE=kL.dL Par exemple énergie gravitation: dE=Mg.dL dE=kL.dL c’est la force kL, multipliée par l’allongement

10. Conclusion : • L’équilibre est morphogénétique • Mais il faut une dynamique pour atteindre l’équilibre • Il existe un continuum de formes entre la référence et la déformée • Il peut exister plusieurs états d’équilibre • Il existe un bassin d’   »attraction» pour chaque état

11. Equilibre mécanique d’un solide • Plus compliqué : chaque élément de volume est en équilibre (problème spatialement étendu ) • Donc on écrit l’équilibre de chaque parcelle de solide (Newton). • Et une équation de matériau reliant les forces aux déformations • Et les termes de sources de force • Et les conditions aux limites Ça ne donne pas la solution, mais une équation différentielle implicite, dont la forme cherchée est la solution

12. Loi de Hooke Chaque élément peut être vu comme une distribution de petits ressorts Ce n’est pas le déplacement qui produit des forces : ce sont les déformations

13. On introduit donc un champ de déplacement u(x,y,z), qui va donner le vecteur permettant de construire la déformée par rapport à la référence Et on construit un champ de déformation. Ah : il y a des déformations de plusieurs sortes, des cisaillements et des extensions eij =1/2(dui /dxj + duj /dxi) Quand i=j là-dedans c’est la dilatation dans la direction i Quand ij là-dedans c’est le cisaillement

14. Pour le ressort, la déformation est proportionnelle à l’allongement, et c’est tout. Pour un solide, si je j’exerce une force dans une direction, ça déforme dans cette direction, mais également dans l’autre. De même, si j’impose une déformation dans une direction, ça résulte en un force dans les deux directions perpendiculaires Donc chaque allongement, est une fonction des forces dans les autres directions Et réciproquement

15. C’est une écriture compacte de quelque chose de simple (coefficients de Lamé) Pour obtenir des dilatations, faut dilater dans le même sens, ou comprimer dans l’autre Pour cisailler, faut cisailler E, c’est la raideur (module d’Young)

16. L’exemple le plus simple est celui d’une barre purement étirée dans la direction notée z. Dans ce cas, la contrainte le long de la section est supposée constante : szz=Cte =F/S où F est la force exercée au bord et S la surface d’application (par exemple, la section d’une barre). Dans une barre ainsi étirée, on observe un allongement dans la direction z et, en général, un amincissement dans les 2 directions perpendiculaires. Ce terme d’amincissement n’existe pas dans le cas du ressort. L’écriture de l’équation ci-dessus donne simplement 0 0 0 s= 0 0 0 0 0 s et les déformations dans ce cas deviennent simplement ezz=DL/L=EF/S=3(m+l)/ m (2 m +3 l) F/S dans la direction longitudinale L exx=eyy = Dlx/lx =-l/2 m (2 m +3 l) F/S dans les directions transverses notées lx Raideur de la barre E=(m+l)/ m (2 m +3 l) Rapport des allongements : n= l/2(m +l)

17. Milieux visco-élastiques • La loi de Hooke relie les forces et les déformations. Le solide emmagasine l’énergie, et peut la restituer. • Pour les matériaux visqueux, l’équivalent de la loi de Hooke relie les taux de déformation, et les contraintes (~f =-nV) Mais ça dissipe (irréversible). • Les paramètres sont appelés viscosités; Viscosité de cisaillement (très courant), viscosité de dilatation (assez rare). Pour les matériaux incompressibles, div(v)=0, et y’a pas de dilatation de toute façon. Où est la vitesse Du piston là-dedans? Les matériaux visco-élastiques, c’est un mélange des deux (Maxwell, Kelvin Voigt, etc.) Les viscosités peuvent être des fonctions compliquées des contraintes

18. Mais la viscosité n’est pas une constante, en général. Fluide newtonien Viscosité=constante Fluide rhéofluidifiant Viscosité diminue avec le cisaillement Exemple : dentifrice (« écoulement bouchon ») Fluide rhéo-épaississant Viscosité augmente avec le cisaillement

19. Cas du sang : très particulier, la viscosité dépend de la géométrie C’est dû à « l’hématocrite » effet de séparation de phase. Les globules ont des effets coopératifs (se regroupent au centre) Hs2 < He < Hs1 µapp = f(H,D)

20. Equilibre des membranes • Surface étendue, équilibre uniquement en tension. Pas de résistance au couple (complètement mou en flexion, trampoline) s.(∂2w(x,y)/∂x2+∂2w(x,y)/∂y2)=f(x,y). Cas du savon : DP=g/R La tension d’un savon est une quantité thermodynamique Pas celle du caoutchouc: travail pour créer de la surface= travail pour apporter des atomes Travail élastique=travail pour les écarter Une surface tendue, ne s’oppose à une force hors du plan, que par la déformation (courbure) s. T(s)-s.T(s+ds)=sN/R= sN∂2w/∂x2

21. Dans une surface de fluide, il y a toujours une tension de surface.Même plane, il existe une force tangentielle Dans une membrane en caoutchouc, il n’existe pas forcément de tension dans la surface. Si la surface plane de référence est sans force, quand on déforme, ça tend, et une force apparaît s=s0.t D’où l’écriture de l’équilibre div(s)=f=>sd2w/dx2=f Si la surface n’est pas pré-tendue, c’est plus compliqué

22. Equilibre des plaques • Moment de flexion important. Résistance en flexion, pas besoin de tension (plongeoir) f L dF M=EI/LdF M=EI/R Soit aussi Le couple M(s)-M(s+ds)=suds Le solide développe des contraintes Internes s ∂M/∂s=su ∂2M/∂s2=uf Rappel div(s)=-f L’équation des barres ou plaques est du 4e degré EI∂4w/∂x4=f(x)

23. Résumé important • Pour les membranes, la dérivée de la tension le long du contour s’oppose aux charges. • Pour les plaques, la dérivée des moments est le moment des contraintes, et la dérivée des contraintes s’oppose à la charge. Et les couples sont proportionnels aux courbures.

24. Le flambage élastique • Combinaison de résistance en flexion, et de contrainte tangentielle (tangentielle, comme une tension, mais en compression) EID4w+sd2w/dx2=0 EID4w+s(∂2w/∂x2+∂2w/∂y2)=0 E module de courbure, I facteur géométrique de la section, s la contrainte tangentielle Il n’y a pas de « flambage d’une membrane »

25. Pour trouver les déformations, on développe en modes sinusoïdaux, cas d’une barre Wx=w0cos(kz)+ w1sin(kz), Wy=w0cos(kz)+ w1sin(kz) Relation de dispersion nécessaire pour que le terme bilaplacien, et le terme laplacien s’annulent mutuellement kx=(s/EI)1/2 ky=(s/EI) 1/2 Les conditions aux limites impliquent cos((s/EIx)1/2L)=0, cos((s/EIy)1/2L)=0 (encastrement). D’où les « modes » de flambage: s=(EIp2/4L2)(2n+1)2

26. Exemples de propagation d’équation(niveaux de gris représentent la déformation) Un bruit initial disparaît peu à peu, pour laisser des lignes bien parallèles

27. Un exemple plus complexe : le cas desempreintes digitales comme une peau qui « flambe » sous l’effet des contraintes (mais aussi, cerveau, intestins rides etc.)

28. En très bref : l’origine des empreintes digitales est un mécanisme de flambage mécanique de la surface de la peau

29. Donc, pour comprendre/modéliser le phénomène il faut • Le type de matériau • Les conditions aux limites • La géométrie • Les termes de force Double couche de ressorts, reliés à une plaque

30. Obtention de l’équation de von Karman :trop compliqué pour écrire les forces, les couples etc. énergie Lois de Hooke e00 Plaque mince énergie

31. Notion de dérivée fonctionnelle • Quand l’énergie est fonction d’une seule variable, on fait de simples dérivées. • Quand on cherche une fonction des variables d’espace, on doit faire une dérivée fonctionnelle. Principe de moindre action par exemple : chemin suivi dans le temps : Ou dans l’espace x2 t2 J=∫ f(x,dy/dx) dx J=∫ f(t,x(t),dx/dt(t) dt t1 x1 . Exemple : minimum d’énergie spatiale ∂f/ ∂x-d/dt(∂f/∂x)=0

32. Exemple de dérivée fonctionnelle t2 . J=∫f(t,x(t),dx/dt(t) dt F(x)=1/2mx2-1/2kx2 t1 . => Équation de la dynamique ∂f/ ∂x-d/dt(∂f/∂x)=0 x2 J=∫f(x,dy/dx) dx F(dy/dx)= (dy/dx) 2 x1 => Quelle équation?

33. Les forces sont obtenues à partir des dérivées fonctionnelles de l’énergie: Et les équations d’évolution simplement sous une forme visqueuse : dw/dt=F(x,y). Rappel : il faut bien une dissipation Introduction de la fonction scalaire de Airy E potentielle Energie de compression d’écart au plan Energie de déformation normale flexion Compression de la surface de référence

34. L’équation de von Karman • La force elle-même dépend de la forme=> deux équations : • Une pour la déformée : • Une pour la force : Supposée à son équilibre instantané Si la surface est courbe, la courbure apparaît par la tension/compression

35. L’équation de von Karman • Cette équation est une équation élastique (comme les ressorts non-linéaires) • On rajoute à la main une dissipation temporelle visqueuse • Ça commence à ressembler à un système dynamique

36. Cas de la peau. La biologie des tissus est une physique de couche mince (« tissu »), de coques ou plaques minces • Le type de matériau • Les conditions aux limites • La géométrie • Les termes de force Double couche de ressorts, reliés à une plaque: la membrane basale

37. L’équation de Küecken-Newell(Küecken and Newell, Fingerprint formationJournal of theoretical biology 235, 71-83 (2005) • Pour les empreintes digitales, Küecken et Newell rajoutent les couches épaisses de derme et d’épiderme, comme des ressorts non-linéaires : • V(h)=pw+gw2+a/3 w3+b/4w4 p= force uniforme a= asymétrie g: coefficient

38. La situation dans le doigt embryonnaire

39. Les lignes associées aux empreintes digitales nucléent à des endroits précis, puis naviguent en remontant des « lignes de force » (cf Penrose, Kuecken et Newell). Wertheim et Maceo La forme finale dépend de la morphologie du doigt sous-jacent

40. Typologie très précise de lignesLes « attracteurs » sont des objets spatio-temporels complexes, comportant des « défauts topologiques » Pas spécialement « codé » génétiquement. En plus des défauts topologiques, des « dislocations » Multiplicité des solutions « crêtes-vallées » Due à la non-linéarité (« dégénérescence »)

41. Modélisation mathématique « complexe » Equation de propagation de type flambage Analogue à la géologie (plissements de terrain) ongle Nerf, bosse articulation Contrainte principale dans le doigt « lisse » Début de la formation des plis, quand la contrainte dépasse le seuil de flambage

42. Exemples de réalisations Formation de boucles, ou de plis suivant la forme du doigt

43. Le champ de plis est calculé à 2D, avec la projection du champ de contrainte sur un plan Exemples de réalisations Formation de boucles, ou de plis suivant la forme du doigt

44. Passer à « la main »

45. Pour les formes fibrées, on peut directement utiliser des énergies reliées aux orientations • On définit un paramètre d’ordre n. Ce n’est pas l’allongement, mais l’orientation locale.

46. Analogues biologiques de cristaux liquides :collagène, chitine, fibronectine, myosine, élastine etc. Images Yann Legrand, Christophe Odin, Alia Al-Kilani

47. Gly-Pro-Met-Gly-Pro-Ser-Gly-Pro-Arg-Gly-Leu-Hyp-Gly-Pro-Hyp-Gly-Ala-Hyp-Gly-Pro-Gln-Gly-Phe-Gln-Gly-Pro-Hyp-Gly-Glu-Hyp-Gly-Glu-Hyp-Gly-Ala-Ser-Gly-Pro-Met-Gly-Pro-Arg-Gly-Pro-Hyp-Gly-Pro-Hyp-Gly-Lys-Asn-Gly-Asp-Asp...

48. la matière vivante est différente des minéraux : ordre orientationnel, ordre d ’alignement

49. En fait, c’est même fibré dans les deux sens Photo V.F. D ’après Bard, Morphogenesis Oignon Culture de poumon

50. Obtentions de la dynamique de champs de vecteurs « orientation » Méthode par l’énergie de Frank.On construit un champ de diffusion de vecteur n, de même qu’on peut diffuser des températures, ou des courants électriques etc. Inspiré de la physique des écrans plats « à cristaux liquides »