O Método de Jacobi Aplicado a Matrizes Simétricas Pós-Graduação – INPE CMC-203-0

1. O Método de Jacobi Aplicado a Matrizes SimétricasPós-Graduação – INPECMC-203-0 Aluno: Carlos Felipe S. FreireProfessor: Dr. Mario Ricci Maio/2006

2. O Método de Jacobi Aplicabilidade: Método numérico aplicado na Diagonalização de Matrizes Reais eSimétricas

3. O Método de Jacobi Definição da Transformação de Diagonalização: A = = A’ T-1.A.T • A – Matriz Original • T – Matriz de Transformação (composta pelos Autovetores de A) • A’ – Matriz Diagonalizada • Autovalores de A = Autovalores de A’ Matriz Simétrica

4. O Método de Jacobi Metodologia: O Método de Jacobi consiste em aplicar à matriz A simétrica, sucessivas rotações de tal forma a anular todos os elementos posicionados fora da diagonal principal. Desta forma, os elementos restantes na diagonal principal serão exatamente os autovalores de A. Assim sendo temos: T – Matriz de Transformação composta pelos Autovetores de A

5. O Método de Jacobi Processo gradativo e convergente Temos que: Somatório de todos o elementos da Matriz Ak Somatório de todos o elementos da diagonal Principal da Matriz Ak Assim, para a Matriz Ak não nula temos:

6. O Método de Jacobi Processo gradativo e convergente Critério de Convergência: 

7. O Método de Jacobi Definindo a Matriz : Se considerarmos a matriz como sendo a Matriz Identidade, exceto que: Linha i - coluna i = cos coluna j = sin Linha j - coluna i = sin coluna j = -cos = i j Nota-se que : i j

8. O Método de Jacobi Definindo o valor de : A operação de pré-multiplicar e pós-multiplicar Ak por Uk+1 não irá afetar os valores dos elementos desta matriz, a menos daqueles posicionados nas linhas i e j e nas nas colunas i e j. Observando apenas os valores de: Após as multiplicações de Ak por Uk+1 temos:

9. O Método de Jacobi Definindo o valor de : Fazendo: Temos:

10. O Método de Jacobi Definindo o valor de : Manipulando as expressões anteriores temos: @: Fazendo: Temos:

11. O Método de Jacobi Begin n, Kmax,A, 1,2,3 T I K=1,2,…Kmax V i =1, 2,…n-1 j =i+1, i+2,…n F V # F i =1, 2,…n # F V #

12. O Método de Jacobi BIBLIOGRAFIA: Applied Numerical Methods Brice Carnahan H.A.Luther James O. Wilkes