Solución de ecuaciones exponenciales

1. Solución de ecuaciones exponenciales Prof.: Lic. JORGE FERRER S

2. 34x-7=39x A5x-6 : A3x-1 = 1 Son ecuaciones exponenciales aquellas que tienen la incógnita en el exponente • Ejemplos de ecuaciones exponenciales : Nota* los dos puntos ( : ) equivalen al signo entre (÷) de la división.

3. Es decir: 2x - 6 –9x+10 -7x + 4 Potencia de una potencia (an)m = anm Algunas de las propiedades de las potencias que debes tener presente : Ejemplo: 35x-2 •39 – 6x = 37-x Se conserva la base y se suman los exponentes Multiplicación de potencias de igual base an •am = an + m División de potencias de igual base an : am = a n - m Ejemplo: 52x – 6 : 59x – 10 = 5-7x + 4 Se conserva la base y se restan los exponentes Ejemplo: (72)3x-7 = 76x – 14 Se conserva la base y se multiplican los exponentes

4. Toda potencia de base A distinta de cero y exponente 0 es igual a 1 A0 = 1 También es importante saber que Ejemplos Otras propiedades importantes: Por lo tanto 1=30 1=70 1=80 etc Se “invierte” la base y el signo del exponente

5. X = Y Principio que debemos tener presente: • En una igualdad como la siguiente: Si se tiene dos potencias iguales, de iguales bases Ax = Ay Obviamente sus exponentes serán iguales

6. Para resolver ecuaciones exponenciales debemos proceder de la siguiente forma • 1. Hacer los reemplazos necesarios para obtener en toda la ecuación potencias de igual base. • 2. Luego, resolver las operaciones con potencias señaladas en ambos miembros de la igualdad ( aplicando las propiedades respectivas)

7. Ejemplos Resolver la ecuación: x2 - 6x 4 = 16384

8. Solución: Como 4 = 22 , lo reemplazamos y descomponemos también a 16384, quedando, x2 - 6x (22) = 214 , luego, aplicamos potencia de potencia ; ( am)n = amn , al lado izquierdo de la igualdad y nos queda 2x2 -12x 2 = 214 , Por lo tanto, como tienen la misma base, se tiene 2x2 -12x = 14 , que equivale a x2 - 6x = 7, luego, x2 - 6x -7 = 0 , se resuelve esta ecuación de segundo grado por factorización: (x – 7)(x + 1) = 0, de donde, X – 7 = 0 v x + 1 = 0, entonces, X = 7 v x = - 1, son las soluciones de la ecuación inicial.

10. En este caso reemplazaremos el 125 por 53 Igualamos los exponentes Ejemplo: • 1. Hacer los reemplazos necesarios para producir en toda la ecuación potencias de igual base. 53x-2 • 54x-6 = 53 53x-2 • 54x-6 = 125 • 2. Luego resolver las operaciones con potencias señaladas en ambos miembros de la igualdad ( aplicando las propiedades respectivas) 57x-11 = 53 En este caso sólo debemos efectuar la multiplicación que se encuentra en el primer miembro de la ecuación 7x – 11 = 3 Y resolvemos la ecuación resultante 7x – 11 = 3 7x = 3 + 11 7x = 14 x = 14/7 = 2

11. En este caso reemplazaremos la potencia • por 3-2x+6 • y 1 por la potencia 30 32x- 4 = 30 Ejemplo 2 1. Hacer los reemplazos necesarios para producir en toda la ecuación potencias de igual base 34x-10• 12x-6 = 1 3 Quedando Resolvemos la multiplicación que está en el primer miembro de la ecuación (conservando la base y sumando los exponentes) 34x-10 • 3-2x+6 = 30 Igualamos los exponente y resolvemos la ecuación 2x – 4 = 0 2x= 4 x= 4/2 = 2

12. En este caso reemplazaremos • 0,2 por y 25 por 52 Hacemos el cambio de base en la primera potencia y en la segunda aplicamos la propiedad potencia de una potencia Dividimos las potencias de igual base Igualamos los exponentes y resolvemos la ecuación 1. Hacer los reemplazos necesarios para producir en toda la ecuación potencias de igual base Ejemplo 3 0,24x-2 : 25x = 57x-8 5-4x+2 : 52x = 57x - 8 5-6x+2 = 57x-8 -6x + 2 = 7x – 8 2 + 8 = 7x + 6x 10 = 13x 10/13 = X