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Geschichte der Mathematik

Geschichte der Mathematik. Zahlen und Rechentechnik der Ägypter. Christiane Beller. Agenda. Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung Hieroglyphen und hieratische Schrift. Ägyptische Zahlzeichen. Ägyptische Zahlzeichen

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Geschichte der Mathematik

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Presentation Transcript

  1. Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller

  2. Agenda • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift

  3. Ägyptische Zahlzeichen • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift

  4. Ägyptische Zahlzeichen • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Ziffernsystem beruht auf additivem Prinzip: • Zur Darstellung einer bestimmten Zahl mussten Ziffern wiederholt werden • Identische Zeichen werden gruppiert

  5. Rechentechnik • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Additiver Charakter der ägyptischen Mathematik an verwendeten Fachwörtern und Methoden zu sehen • Bei Notation wird mit größten Zehnerpotenz begonnen

  6. Rechentechnik – Addition • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Fachwort für addieren: „vereinigen“ oder „hinzulegen“ • Erhält Ergebnis durch Hinschreiben der zu addierenden Zahlen und anschließendem Anpassen der Symbole für Zehnerpotenzen

  7. Rechentechnik – Addition • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift „Berechnung“ • Beispiel: 1 202 416 + 352 745 Anpassung der Zehnerpotenzen

  8. Rechentechnik – Subtraktion • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Fachwort für subtrahieren: „abbrechen“ oder „ergänzen“ (als Addition umschrieben) • Erhält Ergebnis durch Wegstreichen

  9. Rechentechnik – Subtraktion • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Beispiel: 1 202 416 - 352 745 Entbündelung von 1 202 416: Ausrechnen der Differenz durch Wegstreichen:

  10. Rechentechnik – Multiplikation • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Entstehung aus Addition deutlich • Fachwort für multiplizieren: „Hinzulegen“ • Ist das gleiche wie bei Addition

  11. Rechentechnik – Multiplikation • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Multiplikation mit 10 im Kopf • Bedeutet Veränderung des Individualzeichens • Einmaleins fehlt ihnen • Verdopplung ist als eigene Rechenoperation bekannt • Berechnung einer schwierigeren Aufgabe mittels Additionsschemas

  12. Rechentechnik – Multiplikation • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift Beispiel: 15 · 13 • Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten • In rechte Spalte Multiplikator 15 eintragen • In linken Spalte Multiplikand 1 eintragen

  13. Rechentechnik – Multiplikation • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • In nachfolgenden Zeilen jeweils das doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Multiplikand nicht größer ist als 13

  14. Rechentechnik – Multiplikation • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Markieren der Zeilen, die bei Addition der linken Spalte 13 ergeben • 1 + 4 + 8 = 13

  15. Rechentechnik – Multiplikation • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Durch Addition der rechten Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis • Also erhält man 15 · 13 durch: • 15 + 60 + 120 = 195

  16. Rechentechnik – Division • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Ist umgekehrte Multiplikation und sieht gleich aus • Wird mit zwei „Fragen“ formuliert: „Rechne mit x bis (zum) Finden (von) y“ oder „Rufe y hervor aus x“

  17. Rechentechnik – Division • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Beispiel: „Rechne mit 15 bis (zum) Finden (von) 195“ [195 : 15] • Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten • In rechte Spalte Divisor 15 eintragen • In linken Spalte 1 eintragen • In nachfolgenden Zeilen jeweils das doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Divisor nicht größer ist als 195

  18. Rechentechnik – Division • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Markieren der Zeilen, die bei Addition der rechten Spalte 195 ergeben • 15 + 60 + 120 = 195

  19. Rechentechnik – Division • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Durch Addition der linken Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis • Also erhält man 195 : 15 durch: • 1 + 4 + 8 = 13

  20. Rechentechnik – Division • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Wenn Dividend kleiner als Divisor, muss mit Halbieren gerechnet werden • Hierzu sind Brüche erforderlich • Beispiel: 2 : 8 • Also erhält man für 2 : 8 = ¼

  21. Rechentechnik – Bruchrechnung • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Brüche werden wie ganze Zahlen geschrieben, aber mit Hieroglyphe „Mund“ darüber • Rechneten fast nur mit Stammbrüchen • Für ½, ⅔ und ¾ eigene Zeichen: ½ ⅔ ¾

  22. Rechentechnik – Bruchrechnung • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Darstellung von Brüchen durch Summe von Teilbrüchen • Keine Wiederholung des selben Bruchs erlaubt • 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 keine zulässige Aufteilung des Bruches

  23. Rechentechnik – Bruchrechnung • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Bei der Übertragung schreibt man für 1/n • Z.B. wird ⅔in dieser Schreibweise notiert

  24. Rechentechnik – Bruchrechnung • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift Addition von Stammbrüchen: • Aufgabe aus Papyrus Rhind 37 • Unter letzten 5 Stammbrüchen sind rote Hilfszahlen notiert • Hilfszahlen geben den Faktor an, mit dem die Brüche erweitert werden müssen usw.

  25. Rechentechnik – Bruchrechnung • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Durch Addition der Hilfszahlen erhält man 72 • Somit hat man errechnet, was sich zu kürzen lässt • Zusammen mit den ersten drei Brüchen kann man leicht das Gesamtergebnis 1 berechnen

  26. Rechentechnik – Bruchrechnung • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift Subtraktion von Stammbrüchen • Aufgabe aus Papyrus Rhind 21 • Man errechnet das Ergebnis leicht, indem man 15 - 11 = 4 bestimmt • Somit ergibt • Dies können die Ägypter jedoch erst nach der Division von 4 : 15 notieren

  27. Rechentechnik – Bruchrechnung • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • „Rechne mit 15 bis du 4 findest“ • Zuerst wird 1 ½ als von 15 bestimmt

  28. Rechentechnik – Bruchrechnung • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Anschließend ist dann 3 von 15 • Nun fehlt noch 1 bis zum gewünschten Ergebnis, also

  29. Rechentechnik – Bruchrechnung • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Somit muss die dritte und die vierte Zeile ergänzt werden, denn 3 + 1 = 4 • Die gesuchte Notation von ist also:

  30. Hieroglyphen und hieratische Schrift • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift • Hieratische Schrift ist Vereinfachung der Hieroglyphen • Durch Schematisierung und Reduzierung auf das Wesentliche entstanden • Charakteristische Merkmale hinzugefügt, um Verwechselungen zu vermeiden

  31. Hieroglyphen und hieratische Schrift • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift

  32. Hieroglyphen und hieratische Schrift • Ägyptische Zahlzeichen • Rechentechnik • Addition • Subtraktion • Multiplikation • Division • Bruchrechnung • Hieroglyphen und hieratische Schrift

  33. Fragen …??? Christiane Beller

  34. Quellen • Vogel, Kurt: Vorgriechische Mathematik, Teil 1. Hannover: Hermann Schoedel Verlag, Paderborn: Verlag Ferdinand Schöningh, 1958 • Ifrah, Georges: Universalgeschichte der Zahlen. Frankfurt/Main, New York: Campus Verlag, 2. Auflage der Sonderausgabe 1991 • Gericke, Helmut: Mathematik im Orient. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer Verlag, 1984 • http://www.meritneith.de/mathematik.htm • http://home.fonline.de/fo0126//geschichte/ges1.htm

  35. Ende Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit Christiane Beller

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