Geschichte der Mathematik im 19.Jahrhundert

1. Geschichte der Mathematik im 19.Jahrhundert Imre Lakatos – Beweise und Widerlegungen

2. Essay “Proofs and Refutations“ erschien in vier Teilen in „The British Journal for the Philosophy of science“ im Zeitraum von 1963- 64 • Kurz vor der Veröffentlichung respektive vollständigen Ausarbeitung sowie Erweiterung der Essays zu einem umfassenden Buch, starb Lakatos

3. Beweise und Widerlegungen • In diesem Werk entspricht ausschließlich das erste Kapitel dem Original von Lakatos • § 2 sowie der Anhang wurden ergänzend hinzugenommen, um • die Zweifel zu zerstreuen, die viele Mathematiker nachdem sie Lakatos Werk gelesen hatten äußerten, nämlich dass die beschriebene Methode der Beweisanalyse zwar beim Studium der Polyeder anwendbar sein mag, jedoch nicht auf die wirkliche Mathematik

4. VerfolgtesZiel • „einigen Problemen der Methodologie (Heuristik) der Mathematik näher zukommen. […] in der formalistischen Philosophie der Mathematik sei leider kein Platz mehr für die Methodologie als Logik der Entdeckung. Aber was kann man in der verbreiteten formalisierten Theorie entdecken? Erstens kann man solche Lösungen von Problemen entdecken, die eine geeignet programmierte Turingmaschine in einer endlichen Zeit lösen kann. Zweitens kann man die Lösung von solchen Problemen entdecken, bei denen man sich nur von der Methode der unorganisierten Einsicht und des glücklichen Zufalls leiten lassen kann.“

5. „Nun ist diese verhängnisvolle Alternative zwischen dem Rationalismus einer Maschine und dem Irrationalismus des blinden Mutmaßens in der wirklichen Mathematik aber gar nicht zu finden: eine Untersuchung der inhaltlichen Mathematik wird eine reichhaltige Situationslogik der arbeitenden Mathematiker zu tage fördern, eine Situationslogik die weder mechanisch noch irrational ist, die jedoch weder von der formalistischen Philosophie erkannt noch gar angeregt werden kann.“

6. „Die Geschichte der Mathematik und die Logik der mathematischen Entdeckungen, d.h. die Phylogenie und die Ontogenie der mathematischen Ideen können ohne die Kritik und schließlich die Zurückweisung des Formalismus nicht entwickelt werden.“

7. Was ist ein Beweis? • Zu diesem Stadium: • Beweis: Gedankenexperiment, das eine Zerlegung der ursprünglichen Vermutung in Teilvermutungen oder Hilfssätze (Angriffsflächen für Kritik gemäß Gegenbeispielen) anregt und es dadurch in einen vielleicht ganz entfernten Wissensbereich einbettet.

8. Kritik des Beweises durch lokale aber nicht globale Gegenbeispiele • Lokale Gegenbeispiele widerlegen einen Hilfssatz • Globale Gegenbeispiele widerlegen die gesamte Vermutung

9. Lückenhaftigkeit der Beweisführung: • Abb.1:

10. Abb.1: wenn man jetzt ein Dreieck aus dem Inneren dieses Netzwerkes entfernt (Analogie: Mosaikspiel), dann entferne ich ein Dreieck ohne eine einzige Ecke oder Kante zu entfernen  also: dritter Hilfssatz falsch, aber kein Gegenbeispiel für die Vermutung (Ausnahme Polyeder: bei dem alle Dreiecke des ebenen Netzwerkes Randdreiecke sind)

11. Verbesserung des Beweises: • Lehrer: ich behaupte nicht mehr, dass die Entfernung eines beliebigen Dreiecks stets auf eine der beiden beschriebenen Arten geschieht, sondern nur noch, dass auf jeder Stufe des Entfernungsprozesses die Entfernung eines beliebigen Randdreiecks auf eine dieser beiden Arten geschieht ( eine unbedeutende Beobachtung sowie die daraus resultierende Variation eines Wortes hat den Beweis richtig gestellt)

12. Neuer Versuch: Die Dreiecke in unserem Netzwerk können so nummeriert werden, dass sich bei der Entfernung in dieser Reihenfolge E-K+F nicht ändert, bis wir das letzte Dreieck erreichen.

13. Kritik der Vermutung durch globale Gegenbeispiele • Gegenbeispiel: E-K+F = 4

14. Was nun? • Die Vermutung wird verworfen, die Methode der Kapitulation • Das Gegenbeispiel wird verworfen. Die Methode der Monstersperre • Die Vermutung wird nach der Methode der Ausnahmesperre verbessert • Methode der Hilfssatzeinverleibung, um die Vermutung zu verbessern

15. Die Vermutung wird verworfen, die Methode der Kapitulation • Lehrer: ich bin auch an Beweisen interessiert, wenn sie ihre beabsichtigte Aufgabe nicht vollenden. Kolumbus erreichte zwar nicht Indien, aber er entdeckte etwas durchaus Interessanteres • Was ist falsch? Der Beweis oder die Vermutung?

16. Das Gegenbeispiel wird verworfen. Die Methode der Monstersperre • Idee: Wir haben unsere Vermutung bewiesen – jetzt ist sie ein Satz. Ich gebe zu, dass sie mit diesem sogenannten Gegenbeispiel unvereinbar ist. Eines von beiden muss nachgeben. Aber warum soll der Satz nachgeben, da er doch bewiesen worden ist? Die Kritik sollte den Rückzug antreten. Es ist erschwindelte Kritik. Diese zwei ineinandergesetzten Würfel sind überhaupt kein Polyeder. Das ist ein Monster.

17. Definition ist also für einen Beweis entscheidend  Die Widerlegung durch Gegenbeispiele hängt von der Bedeutung der infrage stehenden Ausdrücke ab. Wenn ein Gegenbeispiel objektive Kritik sein soll, dann müssen wir uns über die Bedeutung unserer Begriffe einigen  Definitionen werden häufig dann vorgeschlagen und bestritten, wenn Gegenbeispiele auftauchen

18. Doch wie definieren wir unser Problem: • Ein Polyeder ist ein fester Körper, dessen Oberflächen aus polygonalen Flächen besteht • Ein Polyeder ist eine Oberfläche, die aus einem System von Polygonen besteht • Aber auch bei dieser Definition lassen sich Gegenbeispiele finden:

19. E-K+F=3

20. Ein System von Polygonen, die in einer Weise angeordnet sind, dass sich an jeder Kante genau zwei Polygone treffen und es möglich ist, vom Inneren eines jeden Polygons über einen Weg ins Innere eines jeden anderen Polygons zu gelangen, der nirgends eine Kante in einer Ecke berührt

21. Gegenbeispiel: Besteht aus 12 Sternfünfecken • 12 Ecken • 30 Kanten • 12 fünfeckige Flächen

22. Contra: Scheinbar weiß der Verursacher dieses Igels nicht was ein Polygon ist: Ein Polygon ist ein System von Kanten, die in einer Weise angeordnet sind, dass sich an jeder Ecke genau zwei Kanten treffen und die Kanten keine gemeinsamen Punkte außer den Ecken gemeinsam haben • Gegenbeispiel: Bilderrahmen (Polyeder gemäß den bisherigen Definitionen)

23. E-K+F = 0

24. Ist der Bilderrahmen überhaupt ein echtes Polyeder?  im Fall eines echten Polyeders gibt es durch jeden beliebigen Punkt des Raumes mindestens eine Ebene, deren Durchschnitt mit dem Polyeder aus einem einzigen Polygon besteht.

25. Resultat: • Die Monstersperre:= mit dieser Methode kann man jedes Gegenbeispiel gegen die ursprüngliche Vermutung durch eine manchmal geschickte, aber jedenfalls ad hoc Definition des Polyeders, seiner definierenden Ausdrücke oder der definierenden Ausdrücke seiner definierenden Ausdrücke beseitigen

26. Die Vermutung wird nach der Methode der Ausnahmesperre verbessert • Die Ausnahme bestätigt die Regel • Satztypologie: • Jene, die immer wahr sind, und bei denen es weder Einschränkungen noch Ausnahmen gibt • Jene, die auf einem falschen Grundsatz beruhen und deswegen niemals zugelassen werden können • Jene, die zwar auf wahren Grundsätzen beruhen, die aber dennoch Einschränkungen oder Ausnahmen in gewissen Fällen zulassen

27. Kritik: ad hoc Vermutungen • Wenn du über die ineinandergesetzten Würfel stolperst, schließt du Polyeder mit Höhlen aus. Wenn du zufällig über den Bilderrahmen stolperst, schließt du Polyeder mit Tunneln aus… • Alle Polyeder sind eulersch als Vermutung zuzulassen in ok, aber warum soll dann alle Polyeder ohne Höhlen, Tunneln, was ich nicht noch sind eulersch auf einmal ein Satz sein? Wann kann man sich sicher sein, dass alle Ausnahmen berücksichtigt worden sind?

28. Schüler lenkt ein: Alle konvexen Polyeder sind eulersch • Beweist unser Beweis denn diese neue Vermutung? • Alle Hilfssätze erscheinen bezüglich konvexer Polyeder wahr zu sein, aber wie lange? Bis zum nächsten Monster? Bis zur nächsten Ausnahme?

29. Methode der Hilfssatzeinverleibung, um die Vermutung zu verbessern • Eingeschränkte Fassung der Vermutung: Die Descartes- Euler Vermutung gilt für einfach Polyeder, d.h. für solche Polyeder, die nach der Entfernung einer Fläche in der Ebene ausgebreitet werden können • Hilfssatzeinverleibung: der Beweis wird aufrechterhalten und der Bereich der Hauptvermutung auf den Gültigkeitsbereich des wahren Hilfssatzes beschränkt

30. Gegenbeispiel: • 16E, 24K, 11F  16-24+11= 3 • Neuer Hilfssatz als Gegenmaßnahme: Alle Flächen sind dreieckig, sondern: Jede durch eine Diagonale geteilte Fläche zerfällt in zwei Teile

31. Beweis und Widerlegung • Regeln: • 1.) Wenn Du eine Vermutung hast, dann versuche, sie zu beweisen und zu widerlegen. Untersuche den Beweis sorgfältig und stelle eine Liste von nicht-trivialen Hilfssätzen auf (Beweisanalyse); finde Gegenbeispiele sowohl zur Vermutung (globale Gegenbeispiele) als auch zu den verdächtigen Hilfssätzen (lokale Gegenbeispiele)

32. 2.) Hast Du ein globales Gegenbeispiel gefunden, so gib Deine Vermutung auf, füge Deiner Beweisanalyse einen geeigneten Hilfssatz hinzu, der von ihm widerlegt wird, und ersetze die alte Vermutung durch eine verbesserte, die diesen Hilfssatz als Bedingung enthält. Lass es nie zu, eine Widerlegung als Monster abzuweisen. Formuliere sämtliche, versteckten Hilfssätze ausdrücklich.

33. 3.) Hast Du ein lokales Gegenbeispiel, dann prüfe, ob es nicht auch ein globales Gegenbeispiel ist. Wenn ja, wende die 2.Regel an.

34. Oder eine einzige Regel: Konstruiere strenge (kristallklare) Beweise • Strenge der Beweisanalyse oder des Beweises (man sollte einen unfehlbaren Beweis nicht mit einer ungenauen Beweisanalyse verwechseln) • Mathematik als sprachlose Tätigkeit des Verstandes?

35. Nein: Wie kann eine Tätigkeit wahr oder falsch sein? Nur ausgesprochenes Denken kann sich an der Wahrheit versuchen. Der Beweis aber kann nicht genug sein: wir müssen auch angeben, was der Beweis beweist. Der Beweis ist nur eine Entwicklungsstufe in der Arbeit eines Mathematikers, der die Beweisanalyse und Widerlegungen folgen müssen und die durch den strengen Satz abgeschlossen wird. Wir müssen die Strenge des Beweises mit der Strenge der Beweisanalyse verbinden.

36. Rückkehr zur Kritik des Beweises durch Gegenbeispiele, die lokal aber nicht global sind: Das Problem des Gehalts • 4.Regel: Hast Du ein lokales aber nicht globales Gegenbeispiel, so versuche Deine Beweisanalyse zu verbessern, indem du den widerlegten Hilfssatz durch einen noch nicht als falsch erwiesenen ersetzt

37. Ein neuer Beweis: Stellen wir uns das Polyeder hohl vor mit einer Oberfläche aus steifem Material, sagen wir Karton. Die Kanten müssen auf der Innenseite deutlich angestrichen sein. Das Innere möge wohlerleuchtet sein, und eine Fläche soll als Linse einer gewöhnlichen Kamera ausgebildet sein. Von dieser Fläche aus mache einen Schnappschuss. So erhalte ich ein Bild eines ebene Netzwerkes, das ganz genau so behandelt werden kann, wie das ebene Netzwerk in eurem Beweis. Und ebenso kann ich zeigen, dass im Falle lauter einfach zusammenhängender Flächen E-K+F = 1 gilt und durch hinzufügen der auf dem Photo unsichtbaren Linsenfläche erhalte ich Eulers Formel.

38. Haupthilfssatz: es gibt eine Fläche des Polyeders, von der aus man das Innere des Polyeders so fotografieren kann, dass sämtliche Kanten und Ecken auf dem Film zu sehen sind  ein quasi konvexes Polyeder  alle quasi konvexen Polyeder mit einfach zusammenhängenden Flächen sind eulersch  Alle Gergonne-Polyeder sind eulersch (es existieren widerlegende Beispiele)

39. Resultat: Verschiedene Beweise aus derselben naiven Vermutungen ergeben verschiedene Sätze sowie eine differenzierte Begriffsbildung. • Die eine Descartes-Euler Vermutung wird durch jeden Beweis zu einem anderen Satz verbessert!

40. Neudurchdenken des Gehalts: • Selbstverständlich war unser Problem den Bereich der Gültigkeit von E- K + F = 2 zu entdecken. • Das ist falsch: Unser Problem war es, die Beziehung zwischen E, F, K eines ganz beliebigen Polyeders herauszufinden. Durch Zufall kamen wir zunächst auf die Formel Eulers • Warum betrachten wir nicht: E – K + F = -6?

41. Quelle: • Worrall, J./ Zahar, E. (Hrsg.): Beweise und Widerlegungen – Die Logik der mathematischen Entdeckungen, Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden 1979