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LICEO TAJAMAR PROVIDENCIA GUÍA DE APRENDIZAJE DE GEOMETRÍA N° 1, Tercera Etapa

LICEO TAJAMAR PROVIDENCIA GUÍA DE APRENDIZAJE DE GEOMETRÍA N° 1, Tercera Etapa Nombre de la Guía de Aprendizaje: SEMEJANZA nº1 SECTOR: Matemática NIVEL: 2º medio

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LICEO TAJAMAR PROVIDENCIA GUÍA DE APRENDIZAJE DE GEOMETRÍA N° 1, Tercera Etapa

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Presentation Transcript

  1. LICEO TAJAMAR PROVIDENCIA GUÍA DE APRENDIZAJE DE GEOMETRÍA N° 1, Tercera Etapa Nombre de la Guía de Aprendizaje: SEMEJANZA nº1 SECTOR: Matemática NIVEL: 2º medio PROFESOR(A): María Cecilia Palma Valenzuela UNIDAD TEMÁTICA: nº 4 : SEMEJANZA CONTENIDOS DE LA UNIDAD: 1) Semejanza de figuras 2) Criterios de semejanza en el triángulo : AA, LLL, LAL. 3) Análisis de Semejanza en figuras planas OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Reconocertrazos proporcionales y razón de semejanza. Conocen los criterios de semejanza de triángulos Identificar criterios de semejanza de figuras planas. Aplican en el análisis de diferentes polígonos y en la resolución de problemas los criterios de semejanza. e-mail DE LOS PROFESORES CON RESPONSABILIDAD EN EL NIVEL: María Cecilia Palma V¨: maricecpalv@gmail.(2º A, 2ºB, 2ºG) Carmen Quintanilla: carmenquintanilla@hotmail.com (2ºC, 2ºD, 2ºE, 2ºF, 2ºH) Trabajo Individual o grupal (máx. integrantes): Máximo tres integrantes Fecha máxima para la entrega de las respuestas de las alumnas: 10 días hábiles desde la fecha en que las Guías estén a disposición de las alumnas en la plataforma virtual.

  2. OBSERVACIÓN. • Esta guía sólo abarca desde la página 144 hasta la página 155 de la Unidad nº 4. • Pueden ir comprobando los contenidos que aparecen en el libro de 2º Medio que Uds. Poseen, es la unidad nº4 • Debes escribir en tu cuaderno los ejercicios de las páginas 144 y 145, resuélvelos, si tienen dudas en los ejercicios pueden hacer consultas a mi email: maricecpalv@gmail.com . Les recomiendo que a su vez lean comprensivamente los contenidos. • Queridas alumnas, es conveniente que escriban en sus cuadernos la materia que viene a continuación.

  3. Introducción : Razón entre trazos. • Definición: • Llamamos razón entre dos trazos y a la razón entre las medidas de dichos trazos expresados en la misma unidad de longitud. • 1) Si la razón entre los trazos es un número racional , los trazos son CONMENSURABLES. Ejemplo:La razón entre el lado de un cuadrado y su perímetro es 1 : 4 • 2) Si la razón entre los trazos es un número irracional, los trazos son INCONMENSURABLES. Ejemplo: La razón entre la altura de un triángulo equilátero y su lado es:

  4. Para los alumnos de Segundo Medio • En esta presentación encontrarás : Definición y ejemplos del concepto de semejanza Criterios de semejanza de triángulos y ejemplos Descripción del concepto de semejanza y ejemplos Una sencilla demostración Algunos ejercicios sencillos Todos estos elementos son la base de los contenidos relacionados con la unidad de semejanza

  5. Semejanza

  6. Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño Ejemplos de figuras semejantes

  7. No son figuras semejantes

  8. 10cm 5cm 2cm 4cm Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos son semejantes? ¿Tienen sus lados respectivos proporcionales? Definición geométrica: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos (correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 •2 = 5 • 4 ¿Son sus ángulos correspondientes congruentes? Al cumplirse las dos condiciones anteriores, podemos decir que los dos rectángulosson semejantes Efectivamente, al tratarse de dos rectángulos, todos losángulos miden 90º y se cumple que los ángulos correspondientes son congruentes

  9. Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, igualesysus lados homólogos son proporcionales.

  10. Criterios de semejanza de triángulos Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

  11. Existen tres criterios de semejanza de triángulos AA ( ángulo-ángulo) LLL (lado-lado-lado) LAL (lado-ángulo-lado)

  12. A´ A a´ a b g B C g´ b´ C’ B´ Primer criterioAA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. Si a = a´ , b = b´ Es decir: de lo anterior se deduce que g = g´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

  13. 65 25 65 25 Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

  14. A´ A b b´ a a´ c B C c´ C’ B´ II. Segundo criterioLLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. Es decir: El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. =K = = a a´ b b´ c c´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

  15. P B 1,5 C 3,5 1,5 3 3,5 7 5 10 7 5 10 A Q 3 R Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

  16. A´ A a a´ a C B a´ c C’ B´ c´ a a´ c c´ y a = a´ III. Tercer criterioLAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. Es decir: = Entonces D ABC semejante a D A´B´C´

  17. D A 9 E 3 3 9 12 C B 4 12 F Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales 4 = Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

  18. Algunas aplicaciones de estos conceptos

  19. 65 12 8 78 10 52 52 8 65 10 78 12 Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780 Representemos el ejercicio Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cmb) 52 cm, 65 cm, 78 cm Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 6,5 = = = Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

  20. x 5 3 y 4 z X 3 Y 4 Z 5 Ejercicio Representamos la situación = 9 12 = =15 Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Luego, debe ocurrir: 3 1 Entonces: X 3 X= 3· 3 = 9 = = = =3 = 3 Y 4 =12 Y = 4· 3 Escala de ampliación =3 La razón de semejanza es 3 Z = 5 · 3 = 15 Z 5 =3

  21. 20 12 50 30 16 40 Otro ejercicio similar Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 30 12 40 16 50 20 = =

  22. Para terminar una pequeña demostración

  23. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC B C A D E Afirmaciones Razones Demostración Por ser ángulos alternos internos entre // Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes

  24. Alumnos (as) de Segundo Medio: • Si esta presentación te ha servido recomiéndasela a otro compañero. • Aportes y comentarios serán bienvenidos Prof: A. Barriga

  25. B 10 6 C A B’ 8 5 3 C’ A’ 4 Otros ejercicios resueltos. • 1) Los triángulos siguientes son semejantes • En efecto :  A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’ • esto es:

  26. A B C D E 2)Según la figura, si , es ABC  DCE ? • Si , entonces ( se forman ángulos alternos internos entre paralelas ) • y (son ángulos alternos internos entre paralelas) • por lo tanto  por A-A : • ABC DCE

  27. C 15 35º 12 R J Q 8 B 35º 10 L • 3) ¿ Son semejantes los triángulos  CRJ y LBQ? • Como • Entonces por LAL

  28. T 18 J M 10 12 8 X C 15 12 Q • 4) ¿ Son semejantes los triángulos TMQ y CJX ? • Como = • Entonces por L L L TMQ  CJX

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