Stabilità dei sistemi

1. G(s) G(s) G(s) G(s) G(s) H(s) Stabilità dei sistemi + - Retroazionati Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

2. Sommario In questa lezione si tratteranno: • La funzione di trasferimento dei sistemi retroazionati (di controllo) • La funzione di trasferimento ad anello aperto • Concetto di stabilità • Condizioni di stabilità • Criterio di stabilità di Bode • I margini di fase e di ampiezza Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

3. Premessa La funzione di trasferimento di un sistema retroazionato (o anche a catena chiusa) è, com’è noto: Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

4. Premessa Il prodotto che compare al denominatore della W(s) è la cosiddetta funzione di trasferimento ad anello aperto Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

5. Cos’è la stabilità? • La stabilità è un concetto basilare della fisica • Tale concetto, pienamente applicabile nel caso dei sistemi di controllo in esame, si riferisce alla tendenza di un sistema a ritornare verso lo stato di equilibrio dal quale il sistema è stato allontanato con una perturbazione Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

6. perturbazione sistema Cos’è la stabilità? stabilità Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

7. Cos’è la stabilità? • Naturalmente, le grandezze in gioco nella stabilità sono quelle che definiscono il sistema e cioè le variabili di stato oppure le uscite u(s) • Inoltre, come risalta nell’esempio che segue, la stabilità dipende anche dall’entità delle perturbazioni (o sollecitazioni) • Una perturbazione troppo grande può portare il sistema a stati instabili Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

8. perturbazione eccessiva Cos’è la stabilità? instabilità Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

9. Cos’è la stabilità? • Si può allora così specificare la stabilità nello studio dei sistemi lineari invarianti (p. es. i sistemi di controllo): un sistema è stabile se, in conseguenza di una sollecitazione limitata, la sua risposta (variazione dell’uscita) è limitata (Bounded Input Bounded Output) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

10. Come si verifica la stabilità? La stabilità di un sistema può essere verificatastudiando la sua funzione di trasferimento W(s) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

11. Come si verifica la stabilità? Lo studio dellafunzione di trasferimento W(s)di un sistema retroazionato è però pesante perché • richiede lunghi calcoli matematici • si operano somme, prodotti e divisioni con polinomi complessi di ordine qualsiasi! Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

12. Come si verifica la stabilità? Esiste un modo più semplice per studiare la stabilità di unsistema retroazionato? Fortunatamente sì! Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

13. Come si verifica la stabilità? Si studia la sola funzione di trasferimento ad anello aperto H(s)•G(s) • È sicuramente più semplice; non c’è da fare minimi comuni multipli fra polinomi complessi • Trovata la chiave! Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

14. Riepilogo • Unsistemasi dicestabilese a variazioni limitate dell’ingresso corrispondono variazioni limitate dell’uscita • In altre parole se il sistema è in uno stato stabile e lo si perturba (senza esagerare!), l’uscita varierà in modo limitato • La stabilità di un sistema retroazionato (di controllo) può essere verificata studiando la funzione di trasferimento ad anello aperto H(s)•G(s) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

15. Condizioni di stabilità • Una condizione necessaria, ma non sufficiente, perché un sistema sia stabile è che i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s)siano a parte reale non positiva • Tali sistemi sono dettia sfasamento minimo • La suddetta condizione si presenta molto frequentemente nella pratica deisistemi di controllo Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

16. Condizioni di stabilità • Se dunque siamo in presenza di un sistema a sfasamento minimo, si può considerare quale condizione di stabilità il criterio di stabilità ristretto di Nyquist o, più semplicemente, il cosiddetto criterio di stabilità di Bode che è una conseguenza diretta del suddetto criterio di Nyquist • Il criterio di stabilità di Bode può essere enunciato come segue: Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

17. Criterio di stabilità di Bode Un sistema a sfasamento minimo è stabile se la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s), alla pulsazione di taglio wt, ha una fase con valore assolutominore di 180° Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

18. Cos’è wt? wt è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0 dB e quindi wt è la pulsazione che si individua nell’intersezione fra il diagramma di Bode del modulo e l’asse delle pulsazioni w Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

19. Cos’è la pulsazione di crossover (o di taglio) wt? |G(s)•H(s)| Questo è il valore di wt w E questa è la fase della G(s)•H(s) alla pulsazione wt  w Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

20. Condizioni di stabilità • In realtà, il criterio di Bode individua condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo • Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni di stabilità di un sistema di controllo: • il margine di fase • il margine di ampiezza (o di guadagno) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

21. Cos’è il margine di fase? • Il margine di fase può essere definito: mF= 180° + F(wt) • Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180° più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover • L’individuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

22. Cos’è il margine di fase? In corrispondenza di wt |G(s)•H(s)| che, in questo esempio, vale-135° w Il margine di fase mF dell’esempio considerato, vale dunque180°-135°=+45° si trova F(wt)  w F(wt) -90° -135° mF -180° Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

23. Condizioni di stabilità • Si può dire in definitiva che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di faseèmaggiore di 30° (mF> 30°) • Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di faseè negativo (mF< 0°) Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

24. Cos’è il margine di ampiezza? • Il margine di ampiezza può essere definito: mgdB= 0 - |G(s)•H(s)|dB(F=-180°) • Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in dB del modulo della G(s)•H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180° • L’individuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

25. Cos’è il margine di ampiezza? |G(s)•H(s)| 2. si rileva il modulo del guadagno in dB mgdB = 0-|G(s)•H(s)|dB(F=-180°) w Il margine di ampiezza mgdB dell’esempio considerato, è dunque positivo 3. che, in questo esempio, è negativo  w 1. In corrispondenza di F = -180° -180° Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto

26. Condizioni di stabilità • Concludendo, si può dire che unsistema di controllo (retroazionato) a sfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase mF e di ampiezza mgdB sono entrambi positivi • Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che mF sia maggiore di 30° e che mgdB sia maggiore di 1020 dB Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto