Estatística

1. Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 06 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaboradopelo Prof. Wayne Santos de Assis

2. Aula 06 • Medidas de Locação CVDOT

3. Média aritmética simples Medidas de Locação (ou de tendência central) • As medidas de locação mostram o valor representativo em torno do qual os dados tendem a agrupar-se • São utilizadas para sintetizar em um único número o conjunto de dados observados • É a mais importante medida de locação • Média amostral • Média populacional

4. Média Aritmética Simples Média Amostral Se n observações de uma amostra forem representadas por x1, x2,..., xn, a média amostral será: Média Populacional Quando a população tiver um número finito de observações (N), a média populacional será:

5. Média Aritmética Simples • Exemplo 1 Determinar a média aritmética dos resultados de resistência à compressão apresentados

6. Média Aritmética Simples • Exemplo 2 Determinar a média aritmética dos resultados de resistência à compressão apresentados no exemplo 1 da aula 4

7. Média Aritmética Simples • Exemplo 3 Abaixo estão listadas as medidas das quantidades de chumbo (em microgramas por metro cúbico, ou mg/m3) no ar. A Agência de Proteção Ambiental americana estabeleceu um padrão de qualidade do ar para o chumbo: 1,5 mg/m3. As medidas registradas abaixo foram registradas no local do Edifício 5 do Word Trade Center, em dias diferentes, logo após a destruição causada pelos ataques terroristas de 11 de setembro de 2001. Após os desmoronamento dos dois edifícios do Word Trade Center, houve muita preocupação sobre a qualidade do ar. Ache a média para esta amostra de medidas de níveis de chumbo no ar. 5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

8. Média aritmética ponderada Medidas de Locação • Em algumas situações, os números que queremos sintetizar têm graus de importância (pesos) diferentes A média aritmética ponderada dos números x1, x2,..., xn, com pesos p1, p2,..., pn, será: • Exemplos: • após a prova final, utiliza-se da média aritmética ponderada para o cálculo da média semestral do aluno • O coeficiente de rendimento de um aluno da Ufal é calculado por esta média. Os pesos são as cargas horárias semestrais das disciplinas

9. Média para dados agrupados Medidas de Locação • Sempre que possível, as medidas estatísticas devem ser calculadas • antes de os dados serem agrupados • Muitas vezes só conhecemos os dados provenientes da distribuição • de freqüência Considere que, em cada classe, todos os valores são iguais ao ponto médio da classe  em cada uma delas, o ponto médio se repete f vezes Soma de todos os valores amostrais Número total de valores amostrais xi – Ponto médio da i-ésima classe, ni – Frequência da i-ésima classe k – Número de classes

10. Média para dados agrupados • Exemplo 4 Calcular o valor médio da resistência do concreto cujos dados estão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 – aula 04)

11. Média para dados agrupados • Exemplo 4

12. Médiapara dados agrupados • Comparação – Exemplos 2 e 4

13. Medidas de Locação Mediana • Medida da tendência central, que divide os dados em duas partes iguais (valor do “meio” do conjunto) • Se o número de observações for ímpar, a mediana será o valor central das observações colocada em ordem crescente • Se o número de observações for par, a mediana será a média entre os dois valores centrais das observações colocadas em ordem crescente Cálculo da Mediana

14. Mediana • Exemplo 6 Ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis de chumbo no ar. 5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10 Colocando os resultados em ordem crescente: 0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 5,40 Cálculo da mediana: Lembrando da média: 1,538 mg/m3

15. Mediana • Exemplo 7 Ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis de chumbo no ar, substituindo o valor 5,40 mg/m3 pelo valor 1,20 mg/m3 1,20 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10 Colocando os resultados em ordem crescente: 0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 1,20 Cálculo da mediana: Agora e média muda: 0,838 mg/m3

16. Mediana Caso 1 Comparação entre média e mediana • Comparação entre os exemplos 6 e 7 Caso 2

17. Mediana Comparação entre média e mediana • A mediana é a mesma (0,915) em ambos os casos • O exemplo ilustra os seguintes fatos: A média é muito sensível a valores extremos A mediana não sofre muito com a presença de alguns valores muito altos ou muito baixos

18. Mediana para dados agrupados Medidas de Locação • O algoritmo para cálculo da mediana pressupõe que as observações • estejam em ordem crescente e igualmente espaçadas dentro de cada • classe • Nesses casos, a mediana pode ser obtida por interpolação linear • Exemplo 8 Determinar a mediana dos resultados de resistência à compressão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 –aula 04)

19. Exemplo 8 Mediana para Dados Agrupados • Como existem 40 dados, a mediana é o 20º elemento, e pertence à terceira classe (ver N2 e N3) • Para determinar o 20º elemento, interpolaremos, obtendo:

20. Exemplo 8 Mediana para Dados Agrupados Classe da mediana 24 20 x 15 x = 2,22 56 60

21. Moda Medidas de Locação • É o valor da observação que ocorre com a maior freqüência • No caso de dados agrupados, é o ponto média da classe de maior freqüência • A média é uma medida mais adequada ao caso de dados agrupados. Nesse caso, a classe de maior freqüência se chama classe modal • No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre tem utilidade como elemento representativo ou sintetizador do conjunto

22. Moda • Exemplo 9 Determinar a classe modal e a moda dos resultados de resistência à compressão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 –aula 04) Classe modal: Moda: 58

23. Resumo para dados não agrupados Medidas de Locação Fonte: Mario F. Triola. Introdução à estatística (2005)

24. Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 06 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaboradopelo Prof. Wayne Santos de Assis