3 . D ynamika hmotného bodu

1. 3. Dynamika hmotného bodu • Dynamika vyšetruje príčiny vzniku pohybu a zmien pohybového stavu. Zaoberá sa te- • da silami. • Sila je mierou vzájomného pôsobenia – interakcie - telies. Účinky sily delíme takto: • Statické – deformácia telies. • Dynamické – Teleso pôsobením sily (iných telies) mení svoj pohybový stav, t.j. • môže sa zmeniť veľkosť alebo smer jeho rýchlosti, alebo oboje. Teleso môže byť • uvedené z pokoja do pohybu, alebo naopak. V tejto kapitole sa budeme zaoberať dynamickými účinkami síl, t.j. účinkami, ktoré spôsobujú zmenu rýchlosti telies. Zmena rýchlosti telesa znamená, že telesu je udele- né zrýchlenie. Vzťah medzi silou a zrýchlením je objektom newtonovskej mechani- ky. Keď sa však rýchlosť telesa blíži k rýchlosti svetla, newtonowskú mechaniku mu- síme nahradiť Einsteinovou špeciálnou teóriou relativity. V oblasti mikrosveta, t.j. v rozmeroch rádu atómov a menších zase musíme použiť kvantovú mechaniku. Sila je vektor, t.j. je určená veľkosťou, smerom, orientáciou a aj bodom pôsobenia – pôsobiskom. Ako uvidíme ďalej, smer a orientácia sily určujú smer a orientáciu zrýchlenia, ktoré telesu sila udeľuje. Ak na teleso pôsobí viac síl, ich účinok môžeme nahradiť účinkom jednej sily, ktorá je vektorovým súčtom týchto síl – výslednej ale- bo celkovej sily. Toto sa nazýva princíp superpozície síl.

2. Jednotkou sily je Newton – N. Platí: 1 N=1 kgms-2. Skôr, než prejdeme k výkladu Newtonových pohybových zákonov, objasníme si po- jem hmotného bodu. Matematický hmotný bod Je to teleso s nekonečne malými geometrickými rozmermi, avšak napriek tomu vypl- nené konečným množstvom hmoty. Keďže matematický hmotný bod je bezrozmerný, nemôžeme hovoriť o jeho otáčaní. Môžeme len popisovať jeho pohyb pozdĺž nejakej dráhy. Newtonove zákony mechaniky vyslovíme pre matematické hmotné body. Zákony plat- né pre telesá konečných rozmerov dostaneme tak, že ich budeme považovať za sústa- vy matematických hmotných bodov alebo za sústavy objemových hmotou vyplnených elementov. Ktorý prístup si vyberieme, bude závisieť od charakteru fyzikálneho prob- lému. Ak bude dôležitá diskrétna štruktúra telesa, budeme s ním pracovať ako so sús- tavou matematických hmotných bodov. Ak naopak budeme môcť na teleso nazerať ako na niečo spojité, budeme ho považovať za sústavu hmotných elementov, ktoré sú uložené v telese jeden vedľa druhého. Skutočné telesá sú veľmi dobrou realizáciou sústavy abstraktných matematických hmotných bodov, pretože sa skladajú z veľkého počtu atómov, ktoré sú zase zložené z protónov, elektrónov a neutrónov, a tieto majú veľmi malé rozmery aj v porovnaní s rozmermi atómov.

3. Fyzikálny hmotný bod Je to teleso, ktorého rozmery vzhľadom na charakter riešeného problému a objektívne okolnosti možno zanedbať. Napr. ak tuhé teleso môže konať len translačný pohyb, ten- to pohyb bude úplne určený pohybom jeho ľubovoľného bodu (najčastejšie ťažiska). Ak sa však toto teleso bude zároveň s posúvaním aj otáčať okolo osi, jeho pohyb už nemôžeme popísať bez prihliadania k jeho rozmerom, a teda nemôžeme ho už pova- žovať za hmotný bod. Pri riešení fyzikálnych úloh teda to isté teleso môžeme za urči- tých podmienok považovať za hmotný bod, za iných podmienok sa to nemusí dať. Ako príklad takéhoto prípadu uvažujme delovú guľu. Pohyb gule nemôžeme presne riešiť bez prihliadnutia k jej rozmerom, lebo pri lete na ňu pôsobí odpor vzduchu, veľkosť ktorého závisí od jej tvaru a rozmerov. Navyše guľa okrem translačného pohybu aj rotuje.

4. Newtonove pohybové zákony • Newtonov pohybový zákon – zákon zotrvačnosti • Keď na teleso nepôsobí nijaká celková sila, potom rýchlosť telesa sa nemôže zmeniť, • t.j. teleso nemôže zrýchľovať. • V horeuvedenom tvrdení musíme chápať rýchlosť a zrýchlenie ako vektory. Pri trans- • lačnom pohybe po kružnici alebo po krivej čiare vždy na teleso pôsobí dostredivá sila, • ktorá existuje, aj keď by sa teleso pohybovalo rýchlosťou konštantnej veľkosti. Je to • preto, lebo vektor rýchlosti pri tomto pohybe konštantný nie je, pretože sa neustále me- • ní jeho smer, a teda dostredivé alebo normálové zrýchlenie, ktoré sa vzťahuje na zme- • nu smeru rýchlosti, je nenulové. Pri translačnom pohybe, či už krivočiarom alebo pria- • močiarom, môže teleso rotovať okolo osi a navyše poloha tejto osi v priestore sa môže • s časom meniť a takisto môže ešte pôsobiť vonkajšia sila. Vzhľadom na to, čo sme • práve uviedli vyššie, toto znamená, že rýchlosť a vo všeobecnosti aj zrýchlenie všet- • kých infinitezimálnych elementov, z ktorých teleso pozostáva, sa neustále mení s vý- • nimkou ťažiska telesa pri pohybe, ktorý je kombináciou translačného pohybu celého • telesa a jeho rotácie okolo pevnej osi. Len pri pohybe po priamke a ak teleso nerotuje, • nepôsobia dostredivé sily, a teda zrýchlenie telesa môže byť spôsobené len silou rov- • nobežnou s touto priamkou. Ak ani takáto sila nepôsobí, teleso sa buď pohybuje po • priamke konštantnou rýchlosťou, alebo stojí vzhľadom na súradnicovú sústavu, v kto- • rej jeho pohyb opisujeme. Newtonov zákon zotrvačnosti môžeme teda formulovať aj • takto:

5. Jestvuje súradnicová sústava, vzhľadom na ktorú sa pohybový stav voľného hmotného bodu nemení, ak tento bod nepodlieha vplyvu iných telies. Inými slovami:Voľný hmotný bod, ktorý sa vzhľadom na vhodne vybranú súradnicovú sústavu nepohybuje, ostane vzhľadom na túto súradnicovú sústavu ľubovoľne dlho v pokoji, ak naňho ne- začnú pôsobiť vonkajšie sily. Voľný hmotný bod, ktorý sa vzhľadom na túto sústavu pohybuje rovnomerne priamočiaro (t.j. s konštantnou rýchlosťou čo do smeru aj veľ- kosti), zotrvá v tomto pohybe, pokým naňho nezačnú pôsobiť vonkajšie sily. 2. Newtonov pohybový zákon – zákon sily Výsledná sila pôsobiaca na hmotný bod sa rovná súčinu jeho hmotnosti a zrýchlenia: (1) Rovnica (1) je vektorová rovnica, a teda je ekvivalentná trom skalárnym rovniciam pre tri zložky sily a zrýchlenia pozdĺž 3 súradnicových osí kartézskeho súradnicového systému. Aby sme to ukázali, zákon sily (1) prepíšeme v tvare Ako vieme, dva vektory sa rovnajú, ak sa rovnajú ich príslušné zložky. Tri hľadané skalárne rovnice reprezentujúce zákon sily teda sú (2)

6. Rovnice (2) hovoria, že zložka zrýchlenia pozdĺž danej osi je spôsobená iba súčtom zložiek pôsobiacich síl príslušných tejto osi a nie hociktorej inej. Zo zákona sily (1) vyplýva, že ak vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na hmotný bod reprezentovaný silou je nula, t.j. ak , potom aj . Toto- znamená, že v takomto prípade hmotný bod zostane v pokoji, ak bol v pokoji, alebo ak bol v pohybe, bude pokračovať v pohybe, a to pozdĺž priamky a s konštantnou rýchlosťou rovnou rýchlosti, ktorú mal hmotný bod v momente, keď sa výslednica všetkých síl naňho pôsobiacich začala rovnať nule. Rovnica znamená, že všetky sily pôsobiace na hmotný bod sa tak vektorovo sčítajú, že sa navzájom vyrušia. Hovoríme, že hmotný bod a sily, ktoré naňho pôsobia, sú v rovnováhe. 3. Newtonov pohybový zákon – zákon akcie a reakcie Keď dve telesá (dva hmotné body) interagujú, sily pôsobiace na každé z telies od dru- hého telesa majú rovnakú veľkosť, ležia v jednej priamke a majú opačnú orientáciu. Na obrázku je príklad takéhoto vzájomného pôsobenia, a to gra- vitačnými silami medzi ľubovoľným telesom a Zemou. Sila ktorou pôsobí Zem na teleso s pôsobiskom v ťažisku telesa, je o- pačne orientovaná ako sila , ktorou pôsobí teleso na Zem. Platí teda

7. Ako hovorí Newtonov zákon, obe sily ležia v jednej priamke a keďže ich pôsobiská sú v rôznych bodoch, vzájomne sa nevyrušia, aj keď sú rovnako veľké a opačne oriento- vané. V 3. Newtonovom pohybovom zákone je dôležité si všimnúť, že sily, ktorými na seba dve interagujúce telesá (hmotné body) pôsobia, ležia v jednej priamke. Nestačí teda povedať, že sú rovnobežné, lebo dva rovnobežné vektory môžu mať rôzne pôsobiská. Matematické vyjadrenie tohto tvrdenia dostaneme, ak dáme do vzťahu momenty tých- to dvoch síl vyjadrené vzhľadom na nejaký referenčný bod O. Musíme však najprv za- definovať novú fyzikálnu veličinu – moment sily. Je to vektorový súčin polohového vektora pôsobiska sily určeného vzhľadom na nejaký referenčný bod O a tejto sily.

8. Na obrázkoch na predchádzajúcom slide sú dva hmotné body A a B, ktoré sú fixova- né v priestore a pôsobia na seba napr. gravitačnými silami a . Tieto sily sú rovnako veľké, majú rovnaký smer a sú opačne orientované. Sčítajme teraz momenty týchto síl vzhľadom na bod O Z obrázkov je zrejmé, že vektorový súčin bude rovný nule, ak vektor a obe sily budú ležať v jednej priamke. Ak sily neležia v jednej priamke, hoci sú rovno- bežné, tento vektorový súčin nulový nebude. Matematické vyjadrenie toho, že newto- novské sily akcie a reakcie ležia na jednej priamke teda na základe poslednej rovnice je, že momenty týchto síl vzhľadom na ľubovoľný referenčný bod O sú rovnako veľké a opačne orientované vektory, t.j.

9. Niektoré druhy síl Gravitačná sila Zeme Gravitačná sila je sila, ktorou sa telesá vzájomne priťahujú. Gravitačná sila Zeme je si- la, ktorou Zem priťahuje iné telesá a ak predpokladáme, že Zem je rovnorodá guľa, je táto sila orientovaná do stredu Zeme. V skutočnosti gravitačná sila Zeme nie je orien- tovaná presne do stredu Zeme – na rôznych miestach zemského povrchu sa odchyľuje viac alebo menej od tohto smeru. O príčinách týchto odchýliek budeme viac hovoriť v kapitole “Gravitačné pole”. Predpokladajme teda, že Zem je rovnorodá guľa, a teda že gravitačná sila Zeme pôso- biaca na telesá je orientovaná do jej stredu. Nech nejaké teleso nachádzajúce sa nad určitým miestom zemského povrchu, je voľne pustené. Ak neuvažujeme odpor vzdu- chu, bude naňho pôsobiť len zemská gravitačná sila a teleso bude padať v smere do stredu Zeme, t.j. vo zvislom smere, s gravitačným zrýchlením o veľkosti . Zvoľ- me v tejto zvislici os y s kladným smerom nahor. Táto os teda bude kolmá na zemský povrch v mieste, kde ho zvislica, pozdĺž ktorej teleso padá, pretína. Potom gravitač- ná sila pôsobiaca v tejto zvislej čiare (v ktorej leží aj os y) má len y-ovú zložku a podľa druhého Newtonovho pohybového zákona platí pretože y-ová a zároveň jediná zložka zrýchlenia tohto pohybu je rovná a

10. to je záporné číslo, keďže číslo je podľa predpokladu kladné. Ak teda predpokla- dáme, že Zem je rovnorodá guľa, ktorá nerotuje, vektor gravitačnej sily v ľubovoľnom mieste zemského povrchu alebo nad ním je vždy orientovaný do stredu Zeme, t.j. v zá- pornom smere osi y. Preto jeho jediná nenulová zložka – y-ová zložka – je záporné číslo rovné . Pre veľkosť gravitačnej sily teda platí (3) Normálová sila Keď teleso pôsobí tlakom na povrch (napríklad v dôsledku gravitačnej sily), povrch sa deformuje a pôsobí na teleso normálovou silou , ktorá je kolmá a opačne orien- tovaná ako sila, ktorá tlak telesa na povrch spôsobuje. Napr. ak sa postavíme na ma- trac, prehne sa v dôsledku pôsobiacej gravitačnej sily. Pritom my ostávame v pokoji. Je to preto, le- bo matrac pôsobí na nás normálovou silou orien- tovanou zvisle nahor.

11. Vyjadrenie pre veľkosť normálovej sily dostaneme s použitím 2. Newtonovho pohybo- vého zákona. Tento zákon, ako vieme, hovorí, že vektorový súčet všetkých síl pôso- biacich na teleso sa rovná súčinu jeho hmotnosti a zrýchlenia. Ak teda predpokladáme, že na teleso pôsobia len gravitačná a normálová sila, má 2. Newton pohybový zákon tvar Sily a majú smer kolmice na zemský povrch (ak je Zem rovnorodá guľa a nerotuje). Ak teda opäť stotožníme s touto kolmicou os y s jej kladným smerom zvisle nahor, budú mať tieto sily len y-ové zložky, a teda aj zrýchlenie bude mať len y-ovú zložku. Poslednú rovnicu preto môžeme napísať v tvare Zložka normálovej sily je kladná, pretože je orientovaná nahor, t.j. v klad- nom smere osi y a platí , kde N je veľkosť a zároveň veľkosť normá- lovej sily, keďže táto sila má len jednu nenulovú zložku. Zložka gravitačnej sily je záporné číslo, pretože vektor je orientovaný zvis- le nadol, t.j. v zápornom smere osi y a platí . Keď dosadíme do posled- nej rovnice uvedené vyjadrenia pre a , dostaneme rovnicu (4)

12. Rovnica (4) hovorí, že ak je teleso umiestnené v objekte, napr. vo výťahu, ktorý vzhľadom na zem zrýchľuje nahor, t.j. má kladné zrýchlenie , bude veľkosť nor- málovej sily pôsobiacej na teleso väčšia ako len jeho váha v gravitačnom po- li Zeme. Je to preto na teleso okrem gravitačnej sily pôsobí aj zotrvačná sila v smere nadol, čo teleso “vníma” ako ťah smerom k podlahe výťahu. S týmto sa stretá- vame aj pri štarte kozmických rakiet. Rakety štartujú s veľkým zrýchlením vzhľadom na Zem, preto normálová sila je niekoľkokrát väčšia ako váha kozmonauta . Hovoríme vtedy o preťažení niekoľkých g ( ), t.j. kozmonaut je tlačený gravitačnou a zotrvačnou silou do operadla svojho kresla a toto silové pôsobenie je niekoľkokrát väčšie ako je jeho váha v gravitačnom poli Zeme. Ak sa naopak výťah pohybuje smerom dole so zrýchlením , bude toto zrýchle- nie záporné, keďže je orientované v zápornom smere osi y. Podľa rovnice (4) potom normálová sila pôsobiaca na teleso bude menšia ako jeho váha v gravitačnom poli Ze- me . Je to preto, lebo na teleso okrem gravitačnej sily, ktorá pôsobí nadol, pôsobí aj zotrvačná sila v smere zvisle nahor. Toto bude teda teleso “vnímať” ako “nadľahčovanie”, t.j. jeho celková váha v gravitačnom poli Zeme bude menšia ako v prípade, ak by výťah nezrýchľoval. Ak by výťah pri jeho pohybe smerom nadol dosiahol zrýchlenie , bolo by teleso v beztiažovom stave, jeho celková váha v gravitačnom poli Zeme by bola nulová, ako by bola nulová aj normálová sila. V prípade, keď výťah stojí, alebo sa pohybuje konštantnou rýchlosťou, t.j. keď , je normálová sila na teleso pôsobiaca rovnako veľká ako jeho váha a teleso

13. nepociťuje nijaký “ťah nadol”, ani “nadľahčovanie”. Je to preto, lebo keďže sú pôso- biace sily rovnako veľké a opačne orientované a majú rovnaké pôsobisko v ťažisku telesa, vzájomne sa vyrušia. Ešte podotknime zopár slov k pôvodu normálovej sily. Hovorili sme, že jej príčinou je deformácia povrchu, na ktorom je teleso položené. Táto deformácia však vzniká v dôsledku elastických síl, ktoré vznikajú medzi atómami materiálu podložky ako dôsledok tlaku telesa spôsobeného gravitačnou a zotrvačnou si- lou. Tieto elastické sily potom pôsobia aj na povrch telesa v mieste jeho dotyku s podložkou a toto pôsobenie sa prenáša do celého telesa. O zotrvačných silách ešte bu- deme v tejto kapitole podrobnejšie hovoriť. Napätie Keď ku telesu priviažeme povraz a tento povraz natiahneme, bude povraz na neho pô- sobiť silou, ktorú nazývame napätie a označujeme . Táto sila bude mať pôsobisko v telese, bude pôsobiť pozdĺž povrazu a bude orientovaná od telesa. Zároveň podľa zákona akcie a reakcie pôso- bí na našu ruku pozdĺž povrazu napätie takej istej veľkosti, len o- pačnej orientácie, ako má napätie pôsobiace na teleso. Podobne na každé z telies spojených povrazom cez nehmotnú kladku, kto- rá sa otáča bez trenia, bude pôsobiť pozdĺž povrazu napätie orien- tované od každého z telies a rovnakej veľkosti.

14. Trecia sila (trenie) Je to sila, ktorá odporuje pohybu telesa v dôsledku jeho väzby s okolím. Patria sem napr. odpor vzduchu alebo odpor proti pohybu, ktorý vzniká medzi podložkou a povr- chom kĺzajúceho sa telesa. Táto sila má vždy smer proti smeru možného pohybu. Na obrázku je hranol, ktorým chceme pohnúť do- ľava pôsobením sily . Hranol sa však nepo- hne, pokiaľ veľkosť neprekročí medznú hod- notu kde je koeficient statického trenia, je normálová sila, je maximálna veľkosť sily statického trenia. Pokiaľ teda na hranol pôsobíme silou menšou, sila statického trenia bude dostatočne veľká na to, aby mu pohyb znemožnila. Keď teda veľkosť presiahne , hranol sa pohne doľava a bude sa pohybo- vať buď konštantnou rýchlosťou, alebo bude zrýchľovať v závislosti od toho, aká bude veľkosť sily a aká bude veľkosť sily kinetického trenia , ktorá repre- zentuje trenie pri pohybe objektov. Pre veľkosť tejto sily platí

15. kde je koeficient kinetického trenia. Sila je obyčajne menšia ako , ako to ilustruje aj obrázok. Je na ňom vykreslený príklad priebehu veľkosti trecej sily počas postupného zvyšovania veľkosti sily , ktorou sa pokúšame dať teleso do pohybu. Vidíme, že veľkosť sily statického tre- nia nie je konštantná pri tomto procese, až nako- niec pri neustálom zvyšovaní veľkosti dosiah- ne táto sila maximum svojej veľkosti - . Vtedy veľkosť trecej sily rapídne a takmer skokom klesne. To znamená, že teleso sa začne pohybovať, pričom na jeho pohyb už stačí pôsobiť silou menšej veľkosti, keďže veľkosť sily kinetického trenia je oveľa menšia ako . Táto sila je aj, ako vidíme, počas pohybu prakticky konštantná. Napokon objasnime pôvod trecích síl. Tento je ukotvený vo väzbách medzi atómami povrchov, ktorými sa dotýkajú teleso a povrch, na ktorom je uložené. Tieto väzby produkujú statické trenie, ak na teleso pôsobí sila, ktorá sa pokúša ho pohnúť. Ak chceme, aby sa teleso začalo posúvať, musíme teda pôsobiť silou dostatočne veľkou na to, aby sa tieto väzby narušili.

16. Keď už sa teleso po povrchu posúva, neustále vznikajú a zanikajú väzby medzi ató- mami dotykových povrchov. Vektorový súčet síl, ktoré predstavujú tieto väzby, je po- tom vektor sily kinetického trenia. Keď dva povrchy k sebe pritlačíme, zväčšia sa i , pretože sa vytvorí viac väzieb medzi atómami oboch povrchov, čo sa vo vzorcoch z predchádzajúceho slidu prejaví zväčšením veľkosti normálovej sily , t.j. normálová sila tu vystupuje ako miera veľkosti viazania sa atómov dvoch rôznych dotýkajúcich sa povrchov.

17. Zložený pohyb Súradnicová sústava (SS) sa pohybuje vzhľa- dom na súradnicovú sústa- vu S translačným pohybom konštantnou rýchlosťou a zároveň sa otáča uhlovou rýchlosťou vzhľadom na S. Hmotný bod P je viazaný na , t.j. rotu- spolu s ňou a aj má zložku translačného po- hybu vzhľadom na S danú rýchlosťou . Zároveň však sa P pohybuje vzhľadom na rýchlosťou . Potom rýchlosť pohybu hmotného bodu P vzhľadom na súradnicovú sústavu S je daná vzťahom (5) kde člen predstavuje zložku rýchlosti hmotného bodu P danú rotáciou určovanú vzhľadom na súradnicovú sústavu S.

18. Ak sa hmotný bod P pohybuje vzhľadom na so zrýchlením , vzhľadom na S so zrýchlením a ak sa súčasne sústava pohybuje vzhľadom na S so zrých- lením , tak pre zrýchlenie platí vzorec (6) kde je vektor uhlového zrýchlenia súsatvy vzhľadom na súradnicovú sústavu S. Inerciálne a neinerciálne vzťažné sústavy Newtonov zákon zotrvačnosti predpokladá existenciu súradnicovej sústavy, vzhľadom na ktorú sa ľubovoľný voľný hmotný bod, alebo súbor voľných hmotných bodov(voľ- ný znamená nepodliehajúci vonkajším vplyvom), pohybuje pozdĺž priamky konštan-tnou rýchlosťou. Táto sústava sa pritom môže pohybovať vzhľadom na iné telesá a nazýva sa sústavou inerciálnou. Môžeme teda niekde vo vesmíre vybrať takú SS, vzhľadom na ktorú sa silové pôsobenie vesmírnych objektov navzájom vyruší, takže pohyb voľného HB vzhľadom na túto SS je rovnomerný priamočiary, ak naňho nepôsobia iné sily. Otázkou však zostáva, či niekde vo vesmíre toto je možné. Nech sústava S je inerciálna a sústava nech sa pohybuje vzhľadom na S priamo- čiarym translačným pohybom s konšt. a bez rotácie. Keďže S je inerciálna, ľubo- voľný hmotný bod viazaný na , t.j. majúci aj zložku rýchlosti sa pohybuje

19. vzhľadom na S konštatnou rýchlosťou . Tento hmotný bod sa potom na základe (5) pohybuje vzhľadom na sústavu rýchlosťou (7) keďže nerotuje, a teda . Inerciálna je teda aj sústava . Môžeme teda urobiť záver, že inerciálne sú všetky sústavy, ktoré vzhľadom na nájdenú jednu kona- jú rovnomerné translačné pohyby bez rotácie. Nech sa teraz sústava pohybuje vzhľadom na súradnicovú sústavu S nie translač- ne rovnomerne priamočiaro a môže aj rotovať. Potom ak S je inerciálna sústava, rých- losť voľného hmotného bodu vzhľadom na S je konštantná. Rýchlosť tohto hmotného bodu vzhľadom na je potom daná prvou rovnosťou v (7), a teda kon- štantná nie je, lebo sa mení vo všeobecnosti i . Výnimku tvorí len o- kamih pohybu, kedy by sa a navzájom vykompenzovali. Súradnicová sústava teda nie je už inerciálna a pre pohyb hmotného bodu vzhľadom na tak- to sa pohybujúcu súradnicovú sústavu neplatí Newtonov zákon zotrvačnosti. Neinerci- álna vzťažná sústava je teda taká sústava, ktorá sa vzhľadom na inerciálnu SS nepohy- nuje rovnomerne priamočiaro, t.j. môže sa vzhľadom na inerciálnu SS pohybovať zrýchleným translačným pohybom, alebo môže rotovať, alebo oboje. Ak napr. považu- jeme za inerciálnu sústavu sústavu viazanú na hmotný stred našej Slnečnej sústa- vy, potom SS viazaná na Zem nie je inerciálna, lebo rýchlosť jej obiehania okolo tohto hmotného stredu sa, aj keď málo, mení a Zem rotuje.

20. Zotrvačné sily Nech súradnicová sústava S je inerciálna a je voči pozorovateľovi v pokoji a súradni- cová sústava sa pohybuje voči S translačným pohybom s unášavým zrýchlením . Nech sa teleso pohybuje spolu so sústavou so zrýchlením a zároveň sa pohybuje so zrýchlením vzhľadom na . Potom môžeme pre zrýchlenie písať (8) Ak sa teda súradnicová sústava pohybuje vzhľadom na S konštantnou rýchlos- ťou, platí , a teda teleso bude mať podľa (8) rovnaké zrýchlenie v oboch SS, t.j. budú naňho v oboch sústavách pôsobiť rovnaké sily v ktorých tkvie pôvod zrýchlení , . Sústava je teda v tomto prípade tiež inerciálna. Keď sa však sústava pohybuje vzhľadom na kľudovú sústavu S s nenulovým zrýchlením , je táto sústava neinerciálna a podľa (8) bude v nej pô- sobiť na teleso sila

21. Sila , ktorá pôsobí na teleso v neinerciálnej sústave , je teda výslednicou sily a zotrvačnej sily ktorá má smer opačný ako unášavé zrýchlenie . Táto sila pôsobí na všetky časti telesa úmerne ich hmotnostiam a má teda svoje pôsobisko v jeho ťažisku podobne ako gravitačná sila. Klasická mechanika neobjasnila pôvod zotrvačných síl a pokladala ich za fiktívne, nes- kutočné. Aby sme mohli použiť druhý Newtonov pohybový zákon aj v neinerci- álnych sústavách, t.j. aby aj v týchto sústavách platilo, že súčin hmotnosti a zrýchlenia telesa je rovný vektorovému súčtu všetkých pôsobiacich síl, musíme ku silám, ktoré klasická mechanika považovala za skutočné pripočítať aj sily zotrvačné. Moderná fyzi- ka vysvetlila však aj sily zotrvačné ako sily skutočné na základe všeobecnej teórie re- lativity.

22. Zotrvačné sily pri priamočiarych translačných pohyboch Nech sa po vodorovnej pria- mej trati rozbieha zo stanice so zrýchlením vzhľadom na inerciálnu vzťažnú sústavu spojenú so stanicou voz. V prednej časti voza je umies- tnené teleso 1, v zadnej časti sa o zadnú stenu opiera teleso 2. Predpokladáme, že trenie medzi telesami a podlahou voza je nu- lové. Situáciu môžeme popísať z dvoch hľadísk: z hľadiska nehybného pozorovateľa spojeného s inerciálnou sústavou S a z hľadiska pozorovateľa, ktorý sa vezie vo voze. Pozorovateľ na stanici vidí, že prvé teleso sa nebude vôbec pohybovať, až kým nena- razí na zadnú stenu vagóna. Druhé teleso sa zase bude pohybovať so zrýchlením vo- za . Toto možno jednoducho ukázať na základe rozboru síl, ktoré na každé z te- lies pôsobia. Nebudeme pritom uvažovať vertikálne sily, t.j. silu normálovú a gravi- tačnú. Tieto sily sa navzájom pri pohybe po vodorovnej trati vykompenzujú, a teda telesá nebudú mať nijaké zrýchlenie vo vertikálnom smere. Zaoberajme sa teda len horizontálnymi silami. V sústave S nepôsobí na teleso 1 nijaká sila, pretože trenie je nulové, a teda jeho zrýchlenie . Naopak na teleso 2 unášané vagónom pôsobí silou zadná stena vozňa. Podľa zákona akcie a reakcie pôsobí te-

23. leso na vozeň silou rovnako veľkou a opačne orientovanou . Túto silu nazý- vame kinetická reakcia a nie je to zotrvačná sila, lebo pôsobí na vozeň a nie na teleso. Z hľadiska pozorovateľa v sústave spojenej s vozňom sa bude situácia javiť inak. Táto sústava sa vzhľadom na inerciálnu sústavu S pohybuje so zrýchlením, a teda je neinerciálna, čo znamená, že v nej budú pôsobiť zotrvačné sily. V tejto sústave pozoro- vateľ vidí, ako sa teleso 1 pohybuje so zrýchlením ku zadnej stene vagó- na, a to pôsobením zotrvačnej sily , ktorá je jedinou nenulovou silou pôsobiacou na teleso 1 v horizontálnom smere. Teleso 2 je z hľadiska pozorova- teľa nachádzajúceho sa vo vagóne v kľude, a teda vektorový súčet síl naňho pôsobia- cich musí byť nula. Platí teda pre sily pôsobiace na teleso 2 v horizontálnom smere Zotrvačná sila , pretože tak je definovaná. Pôsobenie tejto sily na teleso 2 sa prenáša na zadnú stenu vagóna, ktorý pôsobí spätne na toto teleso silou rovnako veľkou a opačného smeru ako , t.j. .

24. Gravitačné a zotrvačné sily Jedným z dvoch princípov Einsteinovej všeobecnej teórie relativity je princíp ekviva- lencie gravitačných a zotrvačných síl, ktorý hovorí: Gravitačné a zotrvačné sily majú tú istú fyzikálnu podstatu a platia pre ne rovnaké základné zákony. Gravitačné sily pôsobia na hmotné objekty rovnako, či sú v pokoji, alebo v pohybe. Zotrvačné sily pôsobia len vtedy, ak sa objekty pohybujú zrýchlene voči stáliciam (ak so stálicami spojíme inerciálnu vzťažnú sústavu). V homogénnych poliach pôsobia si- ly oboch druhov na všetky časti telesa úmerne ich hmotnostiam a ich výslednice majú spoločné pôsobisko v ťažisku telesa. Na objekty nachádzajúce sa na povrchu Zeme pôsobí nielen gravitačná sila, ale v dôs- ledku jej rotácie aj zotrvačná odstredivá sila, ktorá je kolmá na os rotácie a má smer od osi rotácie. Tejto sile sa ešte budeme podrobnejšie venovať neskôr. Výslednica týchto- dvoch síl je tiažová sila, ktorú označujeme a táto isla udeľuje telesám spojeným so Zemou tiažové zrýchlenie orientované prakticky do stredu Zeme a ktorého veľ- kosť je v našich zemepisných šírkach okolo 9.81 ms-2. Najmä v dopravných prostriedkoch sa stretávame so zmenami tiaže, ktorých príčinou je pôsobenie zotrvačných síl vznikajúcich, keď tieto prostriedky zrýchľujú alebo spo- maľujú. Typickým príkladom je jazda vo výťahu. Pokiaľ je výťah v kľude, alebo sa pohybuje konštantnou rýchlosťou, máme v ňom rovnakú tiaž, ako v rovnakej výške na vedľajšom schodišti. Je to preto, lebo na nás pôsobí len tiažová sila.

25. Človek prenáša túto silu na podlahu silou a podlaha na neho pôsobí reakciou , ktorú vnímame ako mieru svojej tiaže (váhy). Pri rozbehu nahor alebo dojazde nadol má výťah unášavé zrýchlenie , ktoré je orientované nahor. Na človeka vo výťahu teda pôsobí zotrvačná sila smerom nadol, takže naša tiaž bude , t.j. jej veľkosť bude , a naše tiažové zrýchlenie bude ( a sú orientované nadol). Naša tiaž vo výťahu bude teda väčšia v porovnaní s kľudovým stavom a vo výťahu nastane preťaženie. Pri rozbehu nadol a dojazde nahor smeruje unášavé zrýchlenie výťahu nadol, takže zotrvačná sila má smer nahor. Výsledná tiaž je a jej veľkosť je . Tiažové zrýchlenie bude . Ako veľkosť , tak aj veľkosť budú teda menšie ako sú hodnoty v kľudo- vom stave a vo výťahu nastane odľahčenie. Preťaženie a odľahčenie človek vníma ako zmeny vzájomného silového pôsobenia svojho tela a podlahy výťahu. Keby sa napr. výťah rozbiehal nadol s unášavým zrýchlením , boli by ľu- dia v ňom v beztiažovom stave, pretože pre výsledné tiažové zrýchlenie by platilo . Keby sa výťah rozbiehal nadol s unášavým zrýchlením o veľkosti väčšej ako je veľkosť tiažového zrýchlenia , naša tiaž i naše tiažové zrýchlenie by boli orientované nahor a boli by sme nadnášaní.

26. Zotrvačné sily pri rotačných a krivočiarych pohyboch V časti o zloženom pohybe (slidy 17 a 18) sme odvodili rovnicu (6) udávajúcu zrých- lenie hmotného bodu vzhľadom na súradnicovú sústavu , spolu s ktorou sa tento hmotný bod pohybuje so zrýchlením translačného pohybu a rotuje s uhlovou rýchlosťou vzhľadom na sústavu S . Vynásobením tejto rovnice hmotnos- ťou tohto objektu m dostaneme výraz udávajúci výslednú silu, ktorá naňho pôsobí v sústave ako vektorový súčet 5 síl: (8) Len pre úplnosť dodajme, že je polohový vektor hmotného bodu vzhľadom na počiatok , je jeho rýchlosť vzhľadom na a je jeho uhlové zrýchlenie vzhľadom na sústavu S. Len sila vo vzorci (8) nie je zotrvačná, lebo je to sila pôsobiaca na hmotný bod vzhľadom na sústavu S. Ostatné 4 členy predstavujú zotrvačné sily, ktoré pôsobia na hmotný bod v sústave : ... zotrvačná sila, ktorej príčinou je unášavý translačný pohyb sústavy vzhľadom na sústavu S so zrýchlením

27. ... odstredivá sila, ktorá existuje v dôsledku rotácie (a spolu s ňou aj nášho hmotného bodu) vzhľadom na S uhlovou rýchlosťou ... Coriolisova sila – pôsobí v rotujúcej SS, v ktorej má hmotný bod nenulovú zložku rýchlosti v rovine kolmej na ... dotyčnicová sila – pôsobí, keď má hmotný bod nenulo- vé uhlové zrýchlenie vzhľadom na S

28. Odstredivá sila Nech sa súradnicová sústava nepohybuje vzhľadom na S translačným pohybom. však rotuje vzhľadom na S konštantnou uhlovou rýchlosťou okolo osi v smere proti chodu hodinových ručičiek. Spolu s rotu- je aj hmotný bod P tou istou uhlovou rýchlos- ťou v kolmej vzdialenosti od osi otáčania. Hmotný bod P teda vykonáva vzhľadom na S pohyb po kruhovej dráhe konštantnou uhlovou rýchlosťou . Veľkosť jeho rýchlosti sa teda tiež nemení, takže jeho tangenciálne zrýchlenie je nulové, čo znamená,že jeho celkové zrýchlenie je rovné normálovému zrýchleniu smerujúcemu do stredu kruhovej dráhy hmotného bodu P. Pozorovateľ nachádzajúci sa v sústave S teda vidí, že na P pôsobí len jedna sila – dostredivá sila , daná jeho (normálo- vým) zrýchlením a táto sila pôsobí prostredníctvom väzby, ktorá drží hmotný bod na jeho dráhe. Vyjadrenie pre je (9) kde je jednotkový vektor smerujúci od bodu P do stredu jeho kruhovej dráhy.

29. Samozrejme, podľa zákona akcie a reakcie pôsobí aj hmotný bod Pna väzbu, a to si- lou rovnako veľkou a opačne orientovanou, ako sila . Obe sily pôsobia na rôz- ne telesá, preto sa nevyrušia navzájom. Pozorovateľ v však vidí, že hmotný bod P je v kľude, t.j. musí podľa druhého Newtonovho pohybového zákona platiť, že výslednica všetkých na neho pôsobiacich síl je nulová. Tento pozorovateľ tiež pozoruje silu , ktorou na P pôsobí väzba. Napr. by touto väzbou mohla byť pružina alebo iné zariadenie, ktoré by bodu P umož- ňovalo pohyb v radiálnom ale nie v dotyčnicovom smere k jeho dráhe. Prejavom pôso- benia sily by pre pozorovateľa v bolo napr. napnutie pružiny, spôsobené ro- táciou a s ňou aj hmotného bodu P. Hmotný bod je všakv v kľude. Z toho pozorovateľ v tejto sústave usúdi, že na P musí pôsobiť ešte jedna sila, ktorá je rovna- ko veľká a opačne orientovaná, ako a to je sila odstredivá, ktorá je silou zotrvač- nou, pretože má smer opačný ako unášavé normálové zrýchlenie . Táto sila teda v našom prípade je (10) Už sme spomenuli vyššie, že na telesá na povrchu Zeme pôsobí okrem gravitačnej si- ly aj odstredivá sila, a to v dôsledku jej rotácie. Vzťažná sústava spojená so Zemou je teda neinerciálna. Princíp fungovania tejto odstredivej sily je presne ten istý, ako sme práve vysvetlili a platí pre ňu tiež vzorec (10). Z toho plynie, že veľkosť pôsobiacej na telesá na povrchu Zeme sa zmenšuje smerom od rovníka k pó-

30. lom, pretože sa zmenšuje polomer kruhovej dráhy, ktorú teleso opisuje okolo osi otáčania Zeme. To je jeden z dôvodov, prečo zrýchlenie, ktoré udeľuje Zem telesám blízko jej povrchu, nie je všade na po- vrchu Zeme konštantné. Je to zrýchlenie, ktoré je vektorovým súčtom odstredivého zrýchlenia a gravitačného zrýchlenia a nazýva sa, ako už vieme, tiažové zrýchlenie s označením . Keďže gravitačné zrýchlenie Zeme s dobrou presnosťou smeruje do stredu Ze- me, v dôsledku pôsobenia zotrvačnej odstredivej sily tiažové zrýchlenie bude mierne odchýlené od tohto smeru, ako ukazuje aj obrázok (zveličene). S pôsobením zotrvačnej sily sa stretávame vo veľkej miere v lietadlách a kozmických lodiach, pretože veľkosti zrýchlenia v nich dosahované sú aj niekoľkoná- sobkom veľkosti normálneho tiažovéhoho zrýchlenia na povrchu Zeme . Napr. v lietadle pri priamočiarom lete stálou rýchlosťou sa tiaž v jeho vnútri nemení. Keď však lietadlo opisuje zakrivenú dráhu vo zvislej rovine, predpokladajme rýchlosťou stálej veľkosti , pričom polomer krivosti dráhy je R, má lietadlo unášavé zrýchle- nie, s jedinou zložkou normálovou, v neinerciálnej vzťažnej sústave, ktorá je spojená s lietadlom. Potom výsledné tiažové zrýchlenie, ktoré je udeľované cestujúcim v lietadle, bude

31. kde je jednotkový vektor ležiaci v spojnici stredu krivosti dráhy lietadla a lietadla a majúci smer k lietadlu, je normálové zrýchlenie smerujúce do stredu krivosti dráhy, t.j. je unášavé zrýchlenie, ktoré udáva zotrvačnú silu pôsobiacu na cestujúcich v lietadle. Ako vidíme na obrázkoch, ak je zvislý oblúk, po ktorom sa lietadlo pohybuje, odvrá- tený od Zeme, nastáva v lietadle odľahčenie, ak je oblúk privrátený k Zemi, nastáva preťaženie.

32. Veľké preťaženia vznikajú v kozmických lodiach pri zrýchľovaní reaktívnym poho- nom pri štarte i pri pristávaní. Zrýchlenia pri týchto pohyboch môžu dosiahnuť veľkosť až 10 po dobu niekoľkých sekúnd. Keď je už kozmická loď navedená na obežnú dráhu okolo Zeme, pohon rakety je vypnutý a nastáva stav bez tiaže. Pohyb lode je potom riadený len okolitými vesmírnymi telesami, ktoré predstavujú inerciálnu sústa- vu, t.j. vesmírne telesá udeľujú v inerciálnej sústave kozmickej lodi a kozmonautom v nej výsledné gravitačné zrýchlenie . Unášavé zrýchlenie v neinerciálnej vzťaž- nej sústave spojenej s loďou a udeľované kozmonautom v nej je potom , takže výsledné tiažové zrýchlenie v kabíne lode je nulové. Dotyčnicová sila Nech sústava a s ňou hmotný bod P rotujú vzhľadom na inerciálnu sústavu S s konštantným uhlovým zrýchlením vzhľadom na sústavu S. Pozorovateľ v S usú- di, že aby toto nastalo, musí na hmotný bod P pôsobiť sila, ktorá má smer dotyčnice k jeho kruhovej dráhe – dotyčnicová sila kde je polomer kruhovej dráhy hmotného bodu P a jednotkový vektor má v každom okamihu smer okamžitej rýchlosti . Tangenciálne zrýchlenie hmot- ného bodu P už teda nie je nulové, lebo sa mení aj veľkosť jeho rýchlosti.

33. Pozorovateľ v však pozoruje, že P je v pokoji, a teda vektorový súčet všetkých síl naňho pôsobiacich musí byť nula. Keďže však tento pozorovateľ tiež pozoruje si- lu , musí usúdiť, že na hmotný bod P pôsobí ešte jedna sila, ktorá je rovnako veľ- ká a opačne orientovaná, ako , zotrvačná sila , ktorá je daná unáša- vým zrýchlením , ktoré má neinerciálna sústava vzhľadom na inerciálnu sústavu S, a má teda opačný smer ako toto zrýchlenie.

34. Rotačné pohyby Kinetická energia rotácie okolo pevnej osi. Moment zotrvačnosti. Pod pevnou osou rozumieme os, ktorá má stálu polohu vzhľadom na zvolenú vzťažnú súradnicovú sústavu. Pri rotácii telesa okolo pevnej osi všetky jeho body rotujú s rov- nakou uhlovou rýchlosťou, ale s rôznymi rých- losťami , kde je kolmá vzdiale- nosť bodu od osi rotácie, a ak ide o doko- nale tuhé teleso, je táto vzdialenosť pre každý bod telesa počas rotácie konštantná. Keďže te- da každý bod telesa rotuje s inou rýchlosťou, nájdeme kinetickú energiu jeho rotácie tak, že ho budeme považovať za súbor častíc s hmot- nosťami a rýchlosťami . Kinetickú energiu celého telesa potom získame sčítaním kinetických energií všetkých častíc, z ktorých pozostáva

35. Veličina (11) hovorí, ako je rozložená hmota v telese v závislosti od vzdialenosti od osi rotácie a na- zývame ju moment zotrvačnosti vzhľadom na os otáčania. Veličina je kinetická energia rotácie telesa vzhľadom na pevnú os, vzhľadom na ktorú má tele- so moment zotrvačnosti I. Moment zotrvačnosti teda vždy určujeme vzhľadom na ur- čitú os rotácie. Pokiaľ na teleso nazeráme nie ako na súbor častíc (hmotných bodov), ale ako na objekt so spojito rozloženou hmotnosťou, t.j. na objekt pozostávajúci z tes- ne vedľa seba uložených nekonečne malých hmotnostných elementov o hmotnostiach dm, pričom každý z nich má od osi otáčania vzdialenosť r, potom moment zotrvač- nosti je daný integrálom (12) Porovnaním (11) a (12) vidíme jasnú korešpondenciu. Integrál v (12) vystupupuje ako súčet nekonečného počtu nekonečne malých príspevkov . Ešte poznamenajme, že hmotnosti dm, resp. môžu byť rôzne v závislosti od r, resp. . Z oboch uve- dených definícii dostávame pre moment zotrvačnosti jeho fyzikálny rozmer – kgm2.

36. Obrázky ilustrujú, že moment zotr- vačnosti vždy určujeme vzhľadom určitú os. Dve rovnaké telesá tu rotu- jú okolo rôznych osí. Keďže v prvom prípade je tá istá hmota položená bližšie k osi rotácie, je aj moment zo- trvačnosti vzhľadom na túto os menší. Steinerova veta Steinerova veta znie: Ak poznáme moment zotrvač- nosti telesa vzhľadom na os prechádzajúcu jeho ťažiskom, potom moment zotrvačnosti I tohto te- lesa vzhľadom na ľubovoľnú inú os rovnobežnú s touto osou a v kolmej vzdialenosti d od nej je kde M je hmotnosť telesa.

37. Dôkaz Steinerovej vety: Tento dôkaz urobíme pre rovinné teleso, t.j. napr. veľmi tenkú dosku, takže namiesto objemovej hustoty môžeme zaviesť plošnú hustotu , udávajúcu hmotnosť pripadajúcu na jednotku plochy. Potom hmotnostný element telesa , kde dS je infinitezimálna plocha odpovedajúca tomuto elementu a samozrejme môže závisieť od polohy v telese. Umiestnime túto dosku do roviny xy tak, aby počiatok sú- radnicovej sústavy splýval s jej ťažiskom. Potom pre moment zotrvačnosti vzhľa- dom na os prechádzajúcu kolmo na dosku bodom P, ktorý máv rovine xy konštantné súradnice a, b, platí (13) 0 0 Prvý riadok v rovnici (13) v súlade s definíciou momentu zotrvačnosti (12) znamená, že sčítavame príspevky od všetkých hmotnostných elementov dm dosky, pri- čom pre štvorec vzdialenosti elementu dm so súradnicami x a y od bodu P platí . Po elementárnych úpravách dostaneme 4 integrály v druhom riadku (13). Prvý integrá znamená súčet príspevkov všetkých hmotnostných elemen-

38. tov dm, ktoré majú tvar , kde je štvorec vzdialenosti elementu dm so súradnicami x, y od ťažiska. Je teda zrejmé, že tento integrál predsta- vuje moment zotrvačnosti dosky vzhľadom na os kolmú na dosku a prechádzajúcu jej ťažiskom. Druhý a tretí integrál v druhom riadku (13) sú nulové, pretože podľa defi- nície platí pre x-ovú a y-ovú súradnicu ťažiska ľubovoľného telesa o hmotnosti M My sme však zvolili takú konfiguráciu problému, v ktorej . Preto v na- šom prípade je ľavá strana horeuvedených rovníc nulová, a tak musí byť nulová aj pravá strana. Napokon posledný integrál v druhom riadku (13) je integrál z konštanty , ktorá predstavuje štvorec vzdialenosti bodu P od ťažiska, t.j. kolmú vzdialenosť osí prechádzajúcich bodom P a ťažiskom dosky a kolmých na dosku. Keďže je konštanta, môžeme ju vybrať pred integrál. Zostane nám tak integrovať integrál , ktorý, ako je zrejmé, predstavuje súčet hmotností všetkých hmot- nostných elementov dm telesa, a teda hmotnosť celého telesa M.

39. Moment sily Schopnosť rotovať nejaký objekt závisí nielen od veľkosti sily, ktorou na tento objekt pôsobíme, ale aj od jej smeru a pôsobiska. Napr. ak chceme otočiť dvere okolo pán- tov, najľahšie sa nám bude točiť, ak budeme pôsobiť kolmo na dvere a čo najďalej od pántov. Čím bližšie k pántom budeme pôsobiť a čím viac bude smer nášho pôsobe- nia na dvere odchýlený od kolmice, tým viac úsilia budeme musieť vyvinúť, aby sme zakaždým dostali rovnaký výsledok. Ak by sme pôsobili silou rovnobežnou s dvera- mi, akokoľvek by táto sila bola veľká, dvere by sa nepohli. Preto sa zaviedla veličina, ktorá je mierou schopnosti niečo uviesť do rotačného pohybu a nazý- va sa moment sily. Na obrázku je teleso, ktoré rotuje oko- lo pevnej osi kolmej na nákresňu v dôsledku pôsobenia sily v jed- nom z bodov povrchu telesa, ktorý označme P. Predpokladajme, že vek- tor tejto sily leží v rovine kolmej na os otáčania a že vektor udáva polohu bodu P vzhľadom na bod osi otáčania, ktorý leží v tejto rovine.

40. Potom veľkosť momentu sily vzhľadom na tento bod osi je v našom prípade (14) V poslednej rovnici uhol je menší z uhlov, ktorý zviera vektor s vektorom . Veličina predstavuje tangenci- álnu zložku sily , t.j. jej zložku majúcu smer dotyčnice ku kruhovej dráhe bodu P. Veľkosť vektora potom nazývame aj ramenom tangenciálnej sily . Veličina predstavuje kolmú vzdialenosť osi otáčania, t.j. vzdialenosť bodu na osi otáča- nia, vzhľadom na ktorý v tomto prípade moment sily určujeme, od čiary pôsobenia , t.j. čiary, v ktorej vektor leží a nazýva sa aj rameno sily . Ako je zrejmé aj z obrázku, rotáciu telesa spôsobuje len tangenciálna zložka sily . Radiálna zložka , keďže leží v kolmej spojnici pôsobiska sily a osi otáčania, k rotácii neprispieva. Poznamenajme, že tu sme určili moment sily vzhľadom na konkrétny bod na osi otá- čania. Môžeme však určiť moment sily aj vzhľadom na os otáčania ako jeho priemet do smeru osi otáčania, pretože priemet momentu sily určeného vzhľadom na ľubovoľ- ný bod priamky do smeru priamky nezávisí od bodu zvoleného na priamke. V našej tu predpokladanej konfigurácii problému je priemet momentu sily do smeru osi otáčania totožný s týmto momentom vzhľadom na bod, ktorý sme vybrali, čo bude zrejmé z ďalších úvah, ako aj to, že keby sme vybrali napr. iný smer sily , už by toto neplatilo.

41. Moment sily môžeme definovať nielen pre tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi, ale aj pre ľubovoľný hmotný bod (časticu), ktorý sa pohybuje pozdĺž ľubovoľnej dráhy vzhľadom na nejaký fixovaný bod. Na obrázku je hmotný bod v polohe ozna- čenej A pohybujúci sa v rovine xy za účin- ku sily , ktorá tiež leží v tejto rovine. Vektor udáva polohu hmotného bodu v tomto okamihu vzhľadom na počiatok súradnicovej sústavy O, t.j. tiež leží v rovi- ne xy. Potom veľkosť momentu sily vzhľadom na bod O môžeme vyjadriť po- dobne ako v (14) kde je zložka sily kolmá na smer vektora . Moment sily však je vektor, ktorý definujeme ako vektorový súčin (15)

42. kde uhol je kratší z uhlov zvieraný vektormi a a jednotkový vektor má smer na tú stranu od roviny, v ktorej ležia vektory a , z ktorej sa rotácia do smeru javí proti chodu hodinových ručičiek. Tomu odpovedá aj náš obrázok. Podobne ako pre silu, aj pre moment sily platí princíp superpozície momentov síl, ktorý znie: Ak na hmotný bod (časticu, teleso) pôsobí viac momentov sily, výsledný (celkový) moment sily je vektorovým súčtom týchto momentov sily. Na zákla- de definície (15) jednotkou momentu sily je Nm. 2. Newtonov pohybový zákon pre rotáciu Kinetická energia translačného pohybu .... ... závisí len od hmotnosti Kinetická energia rotačného pohybu .... ... závisí nielen od hmotnosti, ale aj od jej rozloženia v telese prostredníctvom I Korešpondencia kinetických energií translačného a rotačného pohybu – hmotnosti m korešponduje moment zotrvačnosti I a rýchlosti uhlová rýchlosť - nazna- čuje, že 2. NPZ pre rotáciu bude tiež korešpondovať tomuto zákonu pre translačný pohyb, t.j.

43. (16) Druhá rovnica platí pre rotáciu okolo pevnej osi a v nej predstavuje priemet celkového momentu sily do osi otáčania. Keďže ide o rotáciu okolo pevnej osi, vek- tor uhlového zrýchlenia bude mať smer vektora , t.j. tiež bude ležať v osi rotácie. Platnosť druhej rovnice v (16) ukážeme teraz pre špeciálny prípad obieha- nia hmotného bodu po kruhovej dráhe za pôsobenia sily ležiacej v rovine tejto dráhy. Hmotný bod je na dráhe “držaný” väzbou – ne- hmotnou tyčou o dĺžke r. Rotačný pohyb hmot- ného bodu je spôsobený len tangenciálnou zložkou sily - . Z druhého Newtonov- ho pohybového zákona potom dostávame pre túto zložku sily kde je tangenciálne zrýchlenie. Ďalej na základe (15) bude veľkosť momentu sily pôsobiaceho na hmotný bod (17)

44. Posledná rovnica je dôkazom druhej rovnice v (16) – 2. NPZ pre rotáciu – pre špeciálny prípad, kedy vektory výsledného momentu sily a uhlového zrýchle- nia majú rovnaký smer a orientáciu, preto v nej ani nedávame šípky nad a označujúce vektory. Naozaj. V prípade, že hmotný bod zrýchľuje pri pohy- be proti smeru hodinových ručičiek, čomu musí odpovedať aj smer sily – v smere pohybu - vektor ležiaci v osi otáčania nadobúda stále väčšie hodnoty, takže vektor rozdielu konečnej a počiatočnej hodnoty vektora má rovnaký smer ako . Podobne ukážeme rovnakú orientáciu a aj pre spomaľovanie v zmys- le proti chodu hodinových ručičiek, kedy hodnoty vektora sa zmenšujú, t.j. vektor rozdielu jeho konečnej a počiatočnej hodnoty má smer kolmo na kruhovú dráhu hmotného bod a za nákresňu. Taký smer a orientáciu má aj vektor momen- tu sily , keďže teraz je orientácia sily opačná – pôsobí proti pohybu. Pri zrýchľovaní a spomaľovaní hmotného bodu v smere chodu hodinových ručičiek by platili analogické úvahy. Ešte poznamenajme, že tu sme ukázali platnosť (16) len pri pôsobení jednej sily. Pri pôsobení viacerých síl by sme najskôr museli nájsť ich výslednicu, a potom aplikovať horeuvedené úvahy. Rovnicu (17) môžeme aplikovať aj na ľubovoľné teleso rotujúce okolo pevnej osi, keďže ho môžeme považovať za systém častíc, z ktorých každá rotuje s rovnakým uhlovým zrýchlením. Treba teda len sčítať moment zotrvačnosti všetkých častíc, aby sme dostali mo- ment zotrvačnosti celého telesa a tým výsledný moment sily pôsobiaci na teleso.

45. Práca a rotačná kinetická energia Využime opäť príklad reprezentovaný obrázkom na slide 43. Sila pôsobí pozdĺž dráhy, t.j. koná na obiehajúcom hmotnom bode prácu. Predpokladajme, že konaním tejto práce sa zmení len kinetická energia hmotného bodu. Práca teda bude daná roz- dielom kinetických energií v ľubovoľných dvoch okamihoch i a po ňom nasledujú- com f., t.j. kde a sú uhlové frekvencie obiehania hmotného bodu v okamihoch i a f. Platnosť poslednej rovnice môžeme rozšíriť na ľubovoľné teleso rotujúce okolo pev- nej osi, keďže ho môžeme považovať za sústavu hmotných bodov, každý z ktorých má v danom okamihu rovnakú uhlovú frekvenciu otáčania. Stačí teda len sčítať mo- menty zotrvačnosti všetkých častíc, z ktorých teleso pozostáva, aby sme získali mo- ment zotrvačnosti celého telesa a tým zmenu kinetickej energie celého telesa. Prácu, ktorú vykoná sila na hmotnom bode obiehajúcom po kruhovej dráhe v dôsledku tejto sily môžeme vyjadriť aj pomocou jej momentu. Keďže práca je ska- lárny súčin sily a posunutia a silu sme rozložili na jej tangenciálnu zložku

46. ktorá má v každom okamihu smer dotyčnice ku kruhovej dráhe, a radiálnu zložku ktorá je na túto dotyčnicu kolmá, bude elementárna práca vykonaná počas elementár- neho posunutia ds, ktoré má rovnaký smer ako aktorému odpovedá elementár- ny uhol , daná vzťahom Práca vykonaná pri otočení hmotného bodu z polohy, ktorej odpovedá uhol do polohy, ktorej odpovedá uhol , bude daná súčtom vštkých takýchto elementár- nych príspevkov, a teda integrálom Napokon výkon spojený s touto prácou môžeme vypočítať takto kde sme predpokladali konšt.

47. Moment hybnosti Moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom na nejaký bod O, ak má hmotný bod hyb- nosť , je daný vzorcom (18) kde je polohový vektor hmotného bodu vzhľadom na bod O. Pre lepšiu názornosť na obrázku je hmot- ný bod v okamihu svojho pohybu, ktoré- my odpovedá bod A. Nech v tomto oka- mihu leží vektor jeho hybnosti v rovine xy a menší z uhlov zvieraný vektormi a (tiež leží v rovine xy) je . Po- tom pre veľkosť vektora určovaného vzhľadom na bod O platí kde , resp. sú zložky rýchlosti, resp. hybnosti kolmé v danom okamihu na vektor a je kolmá vzdialenosť bodu O od priamky, v ktorej leží .

48. Z definície (18) je jasné, že vektor momentu hybnosti hmotného bodu je kolmý na rovinu určenú vektorom jeho hybnosti a polohovým vektorom udávajúcim polohu hmotného bodu vzhľadom na bod, vzhľadom na ktorý moment hybnosti urču- jeme. Orientácia tohto vektora bude na tú stranu od tejto roviny, z ktorej sa rotácia do smeru pozdĺž menšieho z uhlov zvieraných týmito vektormi javí proti chodu hodinových ručičiek. Tomu odpovedá aj náš obrázok. 2. Newtonov pohybový zákon vo forme momentov 2. NPZ pre hmotný bod s hmotnosťou m a rýchlosťou , t.j. hybnosťou má aj takýto tvar (19) Ak urobíme korešpondencie a , môžeme sformulovať 2. NPZ vo forme momentov pre jeden hmotný bod (časticu) (20) Rovnica (20) hovorí, že vektorový súčet všetkých momentov sily pôsobiacich na hmotný bod sa rovná časovej zmene jeho momentu hybnosti.

49. Dôkaz rovnice (20): Vyjdeme z rovnice (18) a zderivujeme obe jej strany podľa času, pričom vektorvý súčin v nej vystupujúci budeme derivovať tak ako súčin dvoch funkcií 0 Keďže platí prvá rovnosť v (19), kde je vektorový súčet všetkých síl pôsobia- cich na hmotný bod, dostávame