FI-0 5 Mechanika – dynamika II

1. FI-05 Mechanika – dynamika II

2. Hlavní body • Blíže k realitě : soustava hmotných bodů a dokonale tuhé těleso • První a druhá impulsová věta • Hmotný střed • Moment setrvačnosti a Steinerova věta • Rozklad silového působení na translační a rotační u dokonale tuhého tělesa

3. Soustava hmotných bodů I • Dosud jsme se zabývali mechanikou hmotnéhobodu. Tato abstrakce se hodila pro pohodlnou definici základních veličin mechaniky, ale při splnění příslušných předpokladů ji lze použít i k řešení skutečných problémů. • Obecný sytém lze chápat jako soustavuhmotných bodů, které spolu interagují.

4. První věta impulsová I • Na i-tý hmotný bod působí výslednice sil, kterou můžeme rozdělit na výslednici vnitřních sil, pocházejících z iterakce s hmotnými body, které jsou součástí systému a výslednici sil vnějších. Podle 2. Nz.:

5. První věta impulsová II • Celková hybnost systému je vektorový součet všech hybností: • Potom platí:

6. První věta impulsová III • Časová změnacelkovéhybnosti je rovna výslednici vnějších sil. • Důsledkem platnosti zákona akce a reakce je totiž součet všech vnitřních sil přes celý systém roven nule :

7. Druhá věta impulsová I • Obdobně můžeme uvažovat ootáčivém účinku síly na i-tý hmotný bod vzhledem k libovolnému pevnému bodu O:

8. Druhá věta impulsová II • Celkový moment hybnost systému je vektorový součet všech momentů hybností uvažovaných k témuž pevnému bodu O: • Při sčítání přes celý systém opět využíváme důsledku zákona akce a reakce.

9. Druhá věta impulsová III • Časová změna celkového momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil, vzhledem k pevnému bodu O:

10. Důsledky impulsových vět • Je-li výslednice vnějších sil, působících na systém nulová, zachovává se celková hybnost systému. • Je-li výslednice momentů vnějších sil, působících na systém nulová, zachovává se celkový momenthybnosti systému. • Vnější síly mají obecně translační i rotační účinek. Je důležité, jak působí vzhledem k hmotnémustředu.

11. Příklad – ráz těles I • Centrální ráz – hmotné body jsou kuličky, na které nepůsobí žádné vnější síly. • Před srážkou se (proti sobě) pohybují dvě kuličky mi, rychlostmi vi. • Po srážce mají rychlosti ui. • Podle I.VI se vždy zachovává celková hybnost: • Ráz se odehrává mezi dvěma mantinely - dokonale nepružný u1 = u2 = u: • Dokonale pružný – zachovává se i celková kinetická energie :

12. Ráz těles II po vydělení rovnic dojdeme k řešení

13. Hmotný střed I • Celou soustavu lze reprezentovat těžištěm, přesněji hmotnýmstředem , ve kterém je soustředěna celá hmotnost soustavy • Získáme ho integrací rovnice : • Definice těžiště platí i ve složkách : , ,

14. Hmotný střed II • Hmotný střed: • Nezávisí na volbě souřadné soustavy. Ale její vhodná volba může značně usnadnit výpočet. • Je v průsečíku prvků symetrie. S ohledem na to volíme souřadnou soustavu. • U těles s rotační symetrií lze využít Pappova teorému : dráha těžiště x plocha = objem.

15. Hmotný střed III • Uvažujme nový počátek v těžišti • Potom : • Této rovnosti lze využít k důkazu důležitých vlastností těžiště : rotace systému kolem libovolné osy, procházející těžištěm a pohyb posuvný neboli translační tohoto těžiště v prostoru jsou pohyby na sobě nezávislé.

16. Hmotný střed IV • Druhá věta impulsová tedy platí nejen vztáhneme-li ji k libovolnému pevnému bodu, ale také k těžišti systému, které se může dokonce obecně pohybovat. Je to ale jediný pohyblivý bod vzhledem k němuž tato věta platí.

17. Dokonale tuhé těleso I • Rozložení vnějšího účinku na translační a rotační závisí na dodatečných podmínkách. • Některé systémy lze považovat za dokonaletuhé. Znamená to, že žádným působením se nemohou měnit vzdálenosti mezi hmotnými body. Takový systém tedy není možné deformovat.

18. Dokonale tuhé těleso II • Ani translační ani rotační silové působení na dokonale tuhé těleso se nezmění když: • do libovolného bodu umístíme dvě síly stejně velké, ale opačně orientované. • libovolnou sílu posuneme kamkoli po přímce jejího působení. •  na libovolnou přímku umístíme dvě síly stejně velké, ale opačně orientované.

19. Dokonale tuhé těleso III • Účinek síly, která působí v přímce procházející těžištěm, je čistě translační • Účinek dvojice stejných, opačně orientovaných sil, působících v libovolných paralelních přímkách, je čistě rotační.

20. Dokonale tuhé těleso IVSteinerova věta I • U tuhých těles je výhodné popsat rozložení hmotnosti pomocí momentusetrvačnosti : J =  mi r2i • Z vlastnosti těžistě plyne Steinerova věta : • kde Ja je moment setrvačnosti vůči ose, vzdálené a od těžiště a Jt je m.s. vůči ose procházející těžištěm, která je s ní paralelní

21. *Dokonale tuhé těleso VSteinerova věta II • Polohový vektor i-tého bodu lze vyjádřit pomocí jeho polohového vektoru v těžišťové soustavě : • Tedy : Prostřední člen je z vlastnosti těžiště roven nule.

22. Dokonale tuhé těleso VISteinerova věta III • Je patrné, že ze všech paralelních os je moment setrvačnosti nejmenší vůči ose procházející těžištěm. • Je-li výslednice všech momentůsil, které působí na DTT nulová, rotuje těleso rovnoměrně(s konstantní ) kolem osy, procházející těžištěm nebo je v klidu.

23. Dokonale tuhé těleso VIIStatika • Je-li výslednice všech sil, působících na DTT so nulová, pohybuje se těleso rovnoměrně nebo je v klidu. • Hledáním podmínek, za kterých zůstávají tělesa v klidu se zabývá statika. Obecně musí být vykompenzovány všechny síly a všechny momentysil, a to každá jejich složka.

24. Dokonale tuhé těleso VIIIKinetická energie • Lze ukázat, že celková kinetická energie dokonale tuhého tělesa se obecně skládá z translační a rotační složky:

25. Dokonale tuhé těleso IXhmotnost ~ moment setrvačnosti • Ve vztazích pro rotační pohyb vystupuje momentsetrvačnosti na místech, kde v analogických vztazích pro pohyb translační vystupuje hmotnost: