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Sucesiones. Progresiones

Sucesiones. Progresiones. Matemáticas B 4º ESO. Sucesión de números reales. Es una secuencia de números reales, como: -3, -5, 5, -7, 7, -9, 9, … -2, 0, 2, 4, 6, 8, … 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, … 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … 2, 5, 10, 17, 26, 37, …

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Presentation Transcript

  1. Sucesiones. Progresiones Matemáticas B 4º ESO Mariano Benito

  2. Sucesión de números reales • Es una secuencia de números reales, como: -3, -5, 5, -7, 7, -9, 9, … -2, 0, 2, 4, 6, 8, … 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, … 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … 2, 5, 10, 17, 26, 37, … • A los términos se les designa: a1, a2, a3, … Mariano Benito

  3. Término general • A veces se puede averiguar qué término es el siguiente en una sucesión, pero otras no. • Si supiéramos que el término n-ésimo, es decir, el que ocupa el lugar n, cualquiera, es: an = 3n-1 la sucesión sería (an ): 2, 5, 8, 11, … • Esta es la manera de expresar una sucesión (an ): a1, a2, a3, …, y a an se le llama término general o n-ésimo. Mariano Benito

  4. Ejemplo 1 • Escribe los primeros términos de: Mariano Benito

  5. Ejemplo 2 • Halla el término general de las sucesiones: 1, 8, 27, 64, 125, … -2, 4, -6, 8, -10, … 3, -3, 3, -3, 3, … -5, -3, -1, 1, 3, … 4, -8, 16, -32, 64, … 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, … 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, -1/32, … • A partir de ahora, a las sucesiones(an )las denotaremos sólo mediante su término general y evitaremos ponerlo entre paréntesis,an . Mariano Benito

  6. Progresiones aritméticas • Son sucesiones en las que cada término es igual al anterior más una cantidad constante que llamamos diferencia, d. • Ejemplos: • 1, 3, 5, 7, 9, …. d=2 • 4, 1, -2, -5, -8, … d=-3 • 2, 2, 2, 2, 2, … d=0 Mariano Benito

  7. Término general de una progresión aritmética • Si tenemos: a1, a2, a3, … progresión aritmética, se cumple: • a2 = a1 +d • a3 = a2 +d = a1 +d+d = a1 +2d • a4 = a3 +d = a2 +d+d = … = a1 +3d ……….. • an = an-1 +d = ….. = a1 +(n-1)d Es decir an = a1 +(n-1)d Mariano Benito

  8. Ejercicios • Halla el octavo término de una progresión aritmética cuyo primer término es 3 y la diferencia es 5. • Calcula el primer termino de una p. a. que consta de 20 términos sabiendo que el último es 83 y la diferencia es 4. • ¿Cuántos términos tiene una p. a. que empieza por 15 y termina por -90, si la diferencia es -3?. • Halla la diferencia de una p. a. de 12 términos siendo 6 el primero y 39 el último. Mariano Benito

  9. Suma de dos términos equidistantes de los extremos una progresión aritmética • En una p. a. limitada, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. Ejemplo: -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14 5+5 2+8 -1+11 -4+14=10 Mariano Benito

  10. Suma de n términos de una progresión aritmética limitada • Llamamos Sn a la suma de los n términos de la p. a. a1, a2, a3, … an-2, an-1, an Sn = a1+ a2 + a3 +…+ an-2+an-1+an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3 + a2 +a1 a1+ an a1+ an a1+ an a1+ an 2·Sn = (a1+ an )·n, Mariano Benito

  11. Ejercicios • Halla la suma de los 100 primeros números naturales. • Halla la suma de los 50 primeros números impares. • ¿Cuántos términos he de sumar de la p. a. -3, -1, 1, 3, 5, 7, …..para que su suma sea 221? • Halla la suma de los términos que van del 4º al vigésimo de la progresión anterior. Mariano Benito

  12. Interpolación aritmética • Interpolar m medios aritméticos entre dos términos conocidos a y b es intercalar m términos entre a y b de modo que todos ellos formen una progresión aritmética de m+2 términos. Ejemplo: Interpolar 3 medios aritméticos entre 6 y 8. Busco a1, a2, a3tal que 6, a1, a2, a3, 8 sea una p. a. Calculo la diferencia: 8=6+(5-1)d; d=0.5 La progresión es: 6, 6.5, 7, 7.5, 8. Ejercicio: Interpola, entre -2 y 4, siete medios aritméticos. Mariano Benito

  13. Progresiones geométricas • Son sucesiones en las que cada término es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón, r. • Ejemplos: • 4, -8, 16, -32, 64, … r=-2 • 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, … r=1/3 • 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … r=1/10 • 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, -1/32, … r=-1/2 • -2, 2, -2, 2, -2, 2, … r=-1 • 7, 0, 0, 0, 0, … r=0 Mariano Benito

  14. Término general de una progresión geométrica • Si tenemos: a1, a2, a3, … progresión geométrica, se cumple: • a2 = a1·r • a3 = a2·r= a1·r·r= a1·r² • a4 = a3·r = a2·r·r= … = a1·r³ ……….. • an = an-1·r = ….. = a1·r Es decir an = a1·r n-1 n-1 Mariano Benito

  15. Ejercicios • Calcula el séptimo término de la progresión: 3, 9, 27, … • Halla el primer término de un p. g. de 8 términos cuya razón es 2 y el último término 1280. • ¿Cuántos términos tiene una p. g. de razón 3 en la que el primero es 1 y el último 81? • Encuentra la razón de una p. g. de 10 términos sabiendo que a=16 y a=1/32. Mariano Benito

  16. Producto de dos términos equidistantes de los extremos una progresión geométrica • En una p. g. limitada, el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos. Ejemplo: 8, 4, 2, 1, 1/2 2·2 4·1 8·1/2=4 Mariano Benito

  17. Producto de n términos de una progresión geométrica limitada • Llamamos Pn al producto de los n términos de la p. g. a1, a2, a3, … an-2, an-1, an Pn = a1· a2 · a3 · …· an-2· an-1· an Pn = an· an-1· an-2· …· a3 · a2 · a1 a1· an a1· an a1· an a1· an Pn = (a1· an ), 2 n Mariano Benito

  18. Ejercicios • Halla producto de los 5 términos de la p. g. 3, 6, 12, 24, 48. • ¿Cuántos términos he de multiplicar de la p. g. 8, 4, 2, 1, …para que su producto sea 1? • Halla el producto de los términos que van del 4º al 7º de la progresión anterior. Mariano Benito

  19. Suma de n términos de una progresión geométrica limitada • Llamamos Sn a la suma de los n términos de la p. g. a1, a2, a3, … an-2, an-1, an Sn = a1+ a2 + a3 +…+ an-2+ an-1 + an r·Sn = r· a1+r· a2 +…....+r· an-2+r· an-1+r· an Restamos la 2ª-1ª expresión: r·Sn - Sn = r· an – a1 ; es decir, o bien Mariano Benito

  20. Ejercicios • Halla la suma de la p. g. 5, 10, …,20480. • Calcula la suma de los 10 primeros términos de la p. g. 8/9, 4/3, 2, 3, 9/2, … • En una p. g. de razón 1/2, ¿cuántos términos he de sumar para que me dé 15, sabiendo que el primer término es 8? • La suma de 3 términos consecutivos de una p. g. es 7/8. Si el primero es 1/2, calcula la razón. Mariano Benito

  21. Suma de todos los términos de una progresión geométrica ilimitada • En la expresión de la suma de n términos Si /r/<1 y n ─>+∞, es decir, el número de términos es muy, muy, muy grande, la expresión r tiende a valer 0. Así: n Mariano Benito

  22. Ejercicio • Halla la suma de todos los términos de la progresión geométrica: 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ……….. Como r=1/2 < 1, Mariano Benito

  23. Interpolación geométrica • Interpolar m medios geométricos entre dos términos conocidos a y b es intercalar m términos entre a y b de modo que todos ellos formen una progresión geométrica de m+2 términos. Ejemplo: Interpolar 3 medios geométricos entre 2 y 32. Busco a1, a2, a3tal que 2, a1, a2, a3, 32 sea una p. g. Calculo la razón: 32=2·r ; r = 2 ó -2 La progresión es: 2, 4, 8, 16, 32, o bien 2, -4, 8, -16, 32 Ejercicio: Interpola, entre 1/3 y -1/81, dos medios geométricos. 5-1 Mariano Benito

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