Unidad 2: La derivada

1. Unidad 2: La derivada Funciones crecientes y decrecientes.

2. ¡Interrogante! Si el ingreso por ventas en una empresa viene dado por la expresión: donde t es el tiempo para los próximos seis meses. Sin trazar la gráfica de esta función, ¿Cómo podemos determinar en qué intervalos de tiempo las ventas serán decrecientes?

3. p p S D q q Observe el comportamiento de las siguientes curvas: Una función f es creciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces f (x1) < f (x2) Una función g es decreciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces g (x1) > g (x2)

4. Criterios para funciones monótonas (crecientes y decrecientes) Si f ´(x) > 0para todo x enalgúnintervalo]a; b[, entonces f es creciente en]a; b[. Si f ´(x) < 0para todo x enalgúnintervalo ]a; b[, entonces f es decreciente en]a; b[.

5. Valores críticos, extremos relativos y puntos silla y Puntos Silla Máximos relativos: f (0) y f (e) Mínimos relativos: f (b) y f (c) Puntos silla: (a; f(a)), (d; f(d)) b d e x a c 0 Valores críticos: a, b, 0, c, d y e

6. a b Extremos relativos de una función: Se denomina valor extremo de una función f a un valor máximo o un valor mínimo de la misma. y Una función f tiene un máximo relativo en x = c, si f (c)>f (x) para todo x en algún intervalo ]a; b[ que contenga a x = c. f (c) c x

7. a b Extremos relativos de una función: y Una función f tiene un mínimo relativo en x = c, si f (c)<f (x) para todo x en algún intervalo ]a; b[ que contenga a x = c. f (c) c x

8. Valor crítico: Si c está en el dominio de f y: f ´(c) = 0 o f ´(c) no está definida, entonces c se denomina valor crítico de f. Punto crítico: Si c es un valor crítico, entonces: el punto (c; f (c)) se denomina punto crítico

9. Criterio de la 1ra derivada para extremos relativos Sea “c” un valor crítico para f (x). El punto crítico correspondiente (c; f (c)) es: Un máximo relativo si f (x) > 0 a la izquierda de “c” y f (x) < 0 a la derecha de “c” Un mínimo relativo si f (x) < 0 a la izquierda de “c” y f (x) > 0 a la derecha de “c”

10. y c x Para una función continua y derivable en x = c, si f (c) es un extremo relativo entonces: f ´(c) = 0. Lo contrario no sucede. y Es decir, en x = c, si f ´(c) = 0, no necesariamente f (c) es un extremo relativo pues se puede presentar el punto de silla. c x

11. Ejemplo Halle los extremos relativos de las funciones: a) f (x) = (x –1)2 – 3b) g(x) = x3 – 3x2 • Ejemplo • Trace la gráfica de una función que tenga las siguientes propiedades: • f ´(0) = f ´(1) = f ´(2) = 0 • f ´(x) < 0 cuando x < 0 y x > 2 • f ´(x) > 0 cuando 0 < x < 2