1 / 43

Bölüm 3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları

OLASILIK ( 6B MHMAU102). Bölüm 3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları. Olasılık Dağılımlarına Giriş. Rassal Değişken Rastgele bir deneyden olan muhtemel bir sayısal değeri temsil etmektedir. Rassal Değişkenler. Bölüm . 3. Bölüm . 4. Kesikli Rassal Değişkenler.

lindsey
Download Presentation

Bölüm 3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  2. Olasılık Dağılımlarına Giriş • Rassal Değişken • Rastgele bir deneyden olan muhtemel bir sayısal değeri temsil etmektedir Rassal Değişkenler Bölüm. 3 Bölüm. 4 Kesikli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişkenler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  3. Kesikli Rassal Değişkenler • Sadece sayılabilen sayı değerlerini alabilirler Örnekler: • Bir zar atma X zarın 4 gelmesi sayısı olsun (o halde X 0, 1, veya 2 defadır) • 5 defa yazı-tura atma. X tura gelme sayısı (o halde X = 0, 1, 2, 3, 4, veya 5’dir) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  4. Kesikli Olasılık Dağılımı x DeğeriOlasılık 0 1/4 = 0,25 1 2/4 = 0,50 2 1/4 = 0,25 Deney: 2 Para ile Yazı-tura atmak. X = Tura sayısı olsun P(x)’i gösteriniz, yanitüm x değerleri için P(X = x) : 4 muhtemel sonuç Olasılık Dağılımı Y Y Y T T Y 0,50 0,25 Olasılık T T 0 1 2 x Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  5. Olasılık DağılımıGerekli Özellikler • P(x)  0 her hangi bir x değeri için • Bireysel olasılıklar 1’e tamamlanır; (Notasyon tüm muhtemel x değerleri boyunca toplamı göstermektedir) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  6. Birikimli (Kümülatif) Olasılık Fonksiyonu F(x0) olarak gösterilen Birikimli (Kümülatif) Olasılık Fonksiyonu , X’inx0’dan daha küçük veya eşit olduğunu göstermektedir Başka bir deyişle, Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  7. Beklenen Değer • Bir Kesikli dağılımın Beklenen Değeri (veya ortalama)(Tartılı Ortalama) • Örnek:2 yazı tura atma, x = tura sayısı, x’in beklenen değerini hesaplayınız: E(x) = (0×0,25) +(1×0,50)+(2×0,25) = 1,0 x P(x) 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  8. Bir X kesikli Rassal değişkeninin Varyansı Bir X kesikli Rassal değişkeninin Standart Sapması Varyansve StandartSapma Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  9. Örnek:2 kez yazı-tura atılmaktadır, X tura sayısıdır, standart sapmayı hesaplayınız (E(x) = 1 olduğunu hatırlayınız) StandartSapma (Örnek) Muhtemel tura sayısı= 0, 1, or 2 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  10. Eğer P(x) X kesikli Rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu ve g(x) X’in herhangi bir fonksiyonu ise, g fonksiyonunun beklenen değeriaşağıdaki gibidir: Rassal Değişkenlerin Fonksiyonları Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  11. Rassal Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları a ve b herhangi sabitler olmak üzere, a) yani, eğer bir Rassal değişken daima a değerini alıyorsa, a ortama değeri ve o standart sapmaya sahip olacaktır b) yani, b.X’in beklenen değeri b·E(x)’dir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  12. Rassal X değişkeni µxortalama ve σ2xvaryans değerine sahip olmak üzere a ve b her hangi sabit değerler olmak üzere Y = a + bX olmak üzere O halde Y’nin ortalama ve varyansı aşağıdaki gibidir O halde Y’ninstandart sapması aşağıdaki gibidir Rassal Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  13. Olasılık Dağılımları Olasılık Dağılımları Bölüm. 3 Kesikli Olasılık Dağılımları Sürekli Olasılık Dağılımları Bölüm. 4 Binom Tekdüze (Uniform) Hipergeometrik Normal Poisson Üstel Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  14. Binom Dağılımı Olasılık Dağılımları Kesikli Olasılık Dağılımları Binom Hipergeometrik Poisson Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  15. Sadece “başarı” veya “başarısızlık” şeklinde iki sonucu ele alınız Pbaşarı olasılığını göstersin 1 – Pbaşarısızlık olasılığını göstersin Rassal X değişkeni tanımlanmış olsun: eğer başarılı ise x = 1, eğer başarısızsa x = 0 O halde Bernoulli olasılık fonksiyonuaşağıdaki gibidir: Bernoulli Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  16. Ortalama µ = P ‘dir Varyans σ2 = P(1 – P) ‘dir Bernoulli DağılımıOrtalama ve Varyans Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  17. n Denemede x Başarısı Dizileri n bağımsız denemedeki X başarısı olan dizilerin sayısı: burada n! = n·(n – 1)·(n – 2)· . . . ·1 ve 0! = 1 Bu diziler karşılıklı dışlamalıdır, çünkü her ikisi de aynı anda meydana gelemez Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  18. Binom Olasılık Dağılımı • n adet sabit bir sayıdaki gözlem • örneğin, 15 defa yazı tura atılması; bir depodan alınan on ampul • İki karşılıklı dışlamalı ve toplu ayrıntılı kategori • örneğin, paranın her atılışında yazı ve tura; arızalı veya arızalı olmayan ampul • Genellikle “başarı” ve “başarısızlık” şeklindedir. • Başarı olasılığı P, başarısızlık olasılığı 1 – P • Her bir gözlem için sabit olasılık • örneğin, her para atılışında yazı gelme olasılığı aynıdır • Gözlemler bağımsızdır • Bir gözlemin sonucu diğerinin sonucunu etkilememektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  19. Muhtemel BinomDağılımı Düzenleri • Bir imalathane ürünleri hatalı veya kabul edilebilir olarak etiketlemektedir • Sözleşme için teklif veren bir firma bir sözleşme imzalar veya imzalamaz • Bir pazarlama araştırması yapan firma anket yanıtı olarak “evet satın alacağım” veya “hayır satın almayacağım” sonucunu almaktadır • Yeni iş başvurusunda bulunanlar sunulan teklifi kabul ederler veya reddederler. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  20. Binom Dağılımı Formülü n ! - X X n P(x) = P (1- P) ) x ! ( - ! n x P(x) = her bir denemede P başarı olasılığı ile n denemede x başarının olasılığı x = örnekteki ‘başarı’ sayısı, (x = 0, 1, 2, ..., n) n = örnek büyüklüğü (deneme veya gözlem sayısı) P = “başarı” olasılığı Örnek:Bir para dört kez atılması sonucu x=tura sayısı olsun: n= 4 P = 0.5 1 - P = (1 - 0.5) = 0.5 x = 0, 1, 2, 3, 4 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  21. Örnek: Bir Binom Olasılığının Hesaplanması Eğer başarı olasılığı 0,1 ise beş gözlemde bir başarının olasılığı nedir? x = 1, n = 5, veP = 0,1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  22. BinomDağılımı Binom dağılımının şekli P ve n’nin değerlerine bağlıdır Mean n = 5 P = 0,1 P(x) 0,6 • Burada, n = 5 veP = 0,1’dir 0,4 0,2 0 x 0 1 2 3 4 5 n = 5 P = 0,5 P(x) 0,6 • Burada, n = 5 veP =0,5’dir 0,4 0,2 x 0 0 1 2 3 4 5 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  23. Binom DağılımıOrtalama ve Varyans • Ortalama • Varyans veStandart Sapma Burada n = örnek büyüklüğü P = başarı olasılığı (1 – P) = başarısızlık olasılığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  24. Binom Özellikleri Örnekler n = 5 P = 0,1 P(x) Mean 0,6 0,4 0,2 0 x 0 1 2 3 4 5 n = 5 P = 0,5 P(x) 0,6 0,4 0,2 x 0 0 1 2 3 4 5 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  25. BinomTablolarının Kullanılması Örnekler: n = 10, x = 3, P = 0,35: P(x = 3|n =10, p = 0,35) = 0,2522 n = 10, x = 8, P = 0,45: P(x = 8|n =10, p = 0,45) = 0,0229 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  26. Hipergeometrik Dağılım Olasılık Dağılımı Kesikli Olasılık Dağılımı Binom Hipergeometrik Poisson Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  27. Hipergeometrik Dağılım • N boyutundaki sonlu bir popülasyondan (ana kütleden alınmış olan bir örnekteki “n” • Yerine koymaksızın alınan örnek • Denemelerin sonuçları bağımlıdır • Popülasyonda“S” başarının mevcut olduğu örnekteki “X” başarının olasılığının bulunması ile ilgilidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  28. Hipergeometrik Dağılım Formülü Burada N = popülasyon büyüklüğü S = popülasyondaki başarı sayısı N – S = popülasyondaki başarısızlık sayısın n = örnek büyüklüğü x = örnekteki başarı sayısı n – x = örnekteki başarısızlık sayısı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  29. Hipergeometrik Dağılımın Kullanımı • Örnek: Bir bölümdeki 10 bilgisayar arasından 3 farklı bilgisayar kontrol ediliyor. Bu 10 bilgisayardan 4’ü yasa dışı yazılım yüklenmiş. Seçilmiş olan bu 3 bilgisayardan 2’sinin yasa dışı yazılım yüklenmiş olma olasılığı nedir? N = 10 n = 3 S = 4 x = 2 Seçilen 3 bilgisayar arasından 2’sinde yasa dışı yazılım yüklenmiş olma olasılığı 0,30 veya %30’dur. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  30. Poisson Dağılımı 4.6 Olasılık Dağılımı Kesikli Olasılık Dağılımı Binom Hipergeometrik Poisson Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  31. Poisson Dağılımı • Aşağıdaki hallerde Poisson Dağılımı uygulanır: • Verilen sürekli bir aralıkta bir olayın meydana gelme sayısını saymak isteyebilirsiniz • Bir alt aralıkta bir olayın meydana gelme olasılığı çok küçüktür ve tüm alt aralıklar için aynıdır • Bir alt aralıkta meydana gelen olayların sayısı diğer alt aralıklarda meydana gelen olayların sayısından bağımsızdır • Her bir alt aralıkta birden çok meydana gelme olmayabilir • Birim başına olayların beklenen sayısı  (lambda)’dır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  32. Poisson Dağılımı Formülü burada: x = birim başına başarı sayısı  = birim başına beklenen başarı sayısı e = doğal logaritma sisteminin tabanı (2,71828...) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  33. Poisson Dağılımının Özellikleri • Ortalama • Varyans ve Standart Sapma burada = birim başına beklenen başarı sayısı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  34. Poisson Tablolarının Kullanımı Örnek:Eğer = 0,50 ise P(X = 2)’yi bulunuz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  35. Poisson Olasılıklarının Grafiği Grafik olarak:  = 0,50 P(X = 2) = 0,0758 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  36. Poisson Dağılımının Şekli • Poisson Dağılımının şekli  parametresine bağlıdır:  = 0,50  = 3,00 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  37. Ortak (Bileşik) Olasılık Fonksiyonu • Ortak (Bileşik) Olasılık Fonksiyonu X’in x spesifik değerini ve eş zamanlı olarak Y’nin y değerini aldığı ifade etmek üzere kullanılmaktadır • Tekne (Marjinal)olasılıklar aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  38. Koşullu Olasılık Fonksiyonları • Rassal Y değişkeninin koşullu olasılık fonksiyonu X için x değerinin belirlendiğinde Y’nin y değerini aldığı olasılığı ifade etmektedir. • Benzer şekilde, X’in koşullu olasılık fonksiyonu, Y = y olarak verildiğinde, aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  39. Bağımsızlık • Bileşik olarak dağıtılmış olan X ve Y Rassal değişkenleri, sadece ve sadece bileşik olasılık fonksiyonları marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımı ise bağımsız olarak anılmaktadırlar: muhtemel tüm x ve y değer çiftleri için • Bir k adet değişkenler kümesi yalnız ve yalnız aşağıdaki durum söz konusu ise bağımsızdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  40. Koşullu Ortalama ve varyans • Koşullu olasılık • Koşullu varyans Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  41. Ortak Varyans (Kovaryans) • X ve Y, μXveμYortalamaları ile X ve Y kesikli Rassal değişkenler olsun • (X - μX)(Y - μY) beklenen değerleri X ve Y arasındaki ortak varyans (kovaryans)olarak anılmaktadır • Kesikli Rassal değişkenler için • Eşdeğer bir ifade aşağıdaki gibidir 1Cov (x,y) türkçe kaynaklarda Orv (x,y) olarak da geçmektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  42. Ortak Varyans (Kovaryans) ve Bağımsızlık • Kovaryans iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ölçmektedir • Eğer iki Rassal değişken istatistiksel olarak bağımsız ise, bu değişkenler arasındaki kovaryans 0’dır. • Aksi mutlaka doğru değildir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  43. Korelasyon • X ve Y arasındaki korelasyonaşağıdaki gibidir: • ρ = 0  X ve Y arasında hiçbir doğrusal ilişki mevcut değildir • ρ > 0  X ve Y arasındapozitif doğrusal ilişki • X yüksek (düşük) olduğu zaman Y de muhtemelen yüksek (düşük) olacaktır • ρ = +1  mükemmel pozitif doğrusal bağımlılık • ρ < 0  X ve Y arasındanegatif doğrusal ilişki • X yüksek (düşük) olduğu zaman Y muhtemelen düşük (yüksek) olacaktır • ρ = -1  mükemmel negatif doğrusal bağımlılık Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

More Related