A gazdaság mint komplex rendszer

1. Kondor Imre Collegium Budapest és ELTE Előadás a Corvinus Egyetemen Budapest, 2010 április 23 A gazdaság mint komplex rendszer Ezt a munkát az NKTH Teller programja támogatta a KCKHA005 számú támogatási szerződésen keresztül.

2. AZ EGYSZERŰSÉG DÍCSÉRETE

3. Egyszerűség • Einstein: A dolgokat olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire lehetséges, de nem egyszerűbbé. • Feynman: Az igazság mindig felismerhető a szépségéről és egyszerűségéről. • A Dirac egyenlet mint dekorációs elem Ericeben: • Leonardo: Az egyszerűség a végső kifinomultság. • Saint Exupéry: A tökéletességet nem akkor érjük el, amikor már semmit nem tudunk hozzáadni, hanem amikor már semmi nincs, amit elvehetnénk.

4. Occam borotvája • Az egyszerűséget általánosan érdemnek tekintik az elméletalkotásban. • Aristoteles: Feltehetjük, hogy az a bizonyítás, amely kevesebb feltevést vagy hipotézist használ, ceteris paribus, magasabbrendű. • Newton: A Természet az egyszerűségben leli örömét, nem pedig a fölösleges okok pompázatosságában. • Lavoisier: Ha az egész kémiát kielégítően meg tudjuk magyarázni a flogiszton nélkül, ez már elegendő ahhoz, hogy végtelenül valószínűnek tartsuk, hogy ez az anyag nem létezik, hogy merőben hipotetikus, csupán szükségtelen feltevés. • Einstein: Minden tudomány magasrendű célja… hogy a lehető legnagyobb számú empirikus tényt a lehető legkisebb számú feltevésből vagy axiómából vezesse le. • Ámde: Jakob Burkhardt: A komplexitás tagadása a zsarnokság lényege.

5. Occam seprűje • Ezek az idézetek mind a redukció, ill. információ tömörítés körül forognak. • Nem világos, hogy minden egyes problémát redukálni lehet olyan mértékig, hogy egyszerűvé és esztétikailag vonzóvá váljék. • A tömörítés adódhat tudatlanságból, érdekből, vagy szándékos, értékvezérelt választásból. • Amellett az egyszerűség és szépség szubjektívek. • Lehet, hogy az egyszerűség iránti obszesszív vágy az emberi intelligencia szerkezetéből adódik? (Pl. a nagyon limitált rövid távú memóriánkból??) • Evolúciós háttere van? • Monty Python: Summarizing Proust.

6. Komplex rendszerek néhány jellegzetes vonása I. • Nagy számú, tipikusan heterogén részből, alkotóelemből állnak. • Szimmetriák hiánya • Erős kölcsönhatás működik az alkotórészek között, kollektív effektusok lépnek fel. • A skálák összefolynak. • Nemlinearitás. • Multiattraktor szerkezetű dinamika, komplikált attraktorok, nagyszámú vonzási medence. • Érzékenység a kontrollparaméterekre, kezdő- és peremfeltételekre. Hosszú távú korrelációk, a rendszer nem vágható részekre („több mint a részeinek összege”).

7. Komplex rendszerek néhány jellegzetes vonása II. • Apró szerkezeti részletek is fontosak, nagyszámú releváns változó, irreducibilitás, véletlenszerűség. • Történetiség, sokszor csak egyetlen realizáció figyelhető meg, kísérleteket nem lehet megismételni. • A fejlődést az előzmények kondicionálják - ezek határt szabnak a racionális választásnak vagy döntésnek. • Mode slaving • Emergencia • Adaptáció, tanulás, önszerveződés, reprodukció • A fejlődést magáról a rendszerről szerzett ismeretek is kondicionálják, tudás, önmagára való reflexió, önbeteljesítő próféciák (Mikulás rally, Black-Scholes formula hatása a likviditásra, Rákosi: „Elvtársak, ne essünk áldozatul a saját propagandánknak!”) • Stb.

8. Néhány példa • A sejt • Az agy • Az élőlény • Egy ökoszisztéma • A pénzügyi rendszer • A gazdaság • A társadalom

9. Néhány ellenpélda • A másodfokú egyenlet (dacára annak, hogy godolatébresztő halmazokat és leképezéseket generál) • A hidrogén atom (noha „több, mint a részeinek összege”) • Az ideális gáz (pedig a hőmérséklet emergens fogalom) • Etc.

10. INFORMÁCIÓ TÖMÖRÍTÉS

11. A 0.666666…számnak végtelen sok jegye van, de nagyon szimmetrikus, és egyszerű algoritmussal előállítható. • N = 0.123456789123456789123456789… picit komplikáltabb, de még mindig előállítható két egész szám hányadosaként (racionális).

12. Még egy lépés: √2 – 1 = 0.414213562373…nem ismétlődő végtelen számsor. Teljesen véletlenszerűnek látszik, mindazonáltal a következő egyszerű iteráció előállítja: Xn+1= 1/(2 + Xn) Xn a (√2 – 1)-hez konvergál valahányszor a – 2 fölött indítjuk az iterációt. Itt azt látjuk, hogy egy rendkívül egyszerű előírás látszólag véletlen sorozatot generál. Megfordítva: egy látszólag véletlen számsor egy egyszerű receptbe kódolható.

13. Megjegyzés a káoszról Az előző iteráció gyorsan konvergál. Más, kicsit bonyolultabb iterációk, mint pl. Xn+1 = c Xn(1 – Xn) a c értékétől függően sokkal komplikáltabb viselkedést is produkálhatnak. Ahogy c nő, az iteráció perióduskettőző iterációk végtelen sorozatán megy keresztül, egészen a teljesen kifejlett káoszig.

15. Az előző oldalon bemutatott szám a kör kerületének és átmérőjének a hányadosa. Nagyon sok egyszerű algoritmus létezik a kiszámítására, ezek egyike (a Leibniztől származó) sor: π/4 = 1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + … Egy nagyon komplikált számsort valami relatíve egyszerű előírásba kódoltunk. NB: a fenti sor nem konvergál elég gyorsan ahhoz, hogy a π -nek több milliárd számjegyét meghatározzuk.

16. Az algoritmikus információelméletben egy karakterfűzér (string) komplexitását annak a legegyszerűbb algoritmusnak a hosszával mérik, amely a fűzért előállítja (Kolmogorov, Chaitin) E mérték szerint az összes eddigi számfűzérek nagyon egyszerűek voltak. • Vegyük észre, hogy ez a mérték a véletlen sorozathoz rendeli a legnagyobb komplexitást. • Apró hiányosság: ez a mérték nem kiszámítható.

17. SEJTAUTOMATÁK

18. Komplex mintázatok előállítása egyszerű szabályok szerint Illusztrációk S. Wolfram könyvéből

19. Következő lépés

20. A 256 legegyszerűbb sejtautomata

21. Önhasonló szerkezet

22. Kicsit bonyolultabb

23. Még bonyolultabb

24. „Digitális filozófia” • Wolfram #110 számú sejtautomatája egy univerzális Turing gép (vagyis egy olyan szimbólumkezelő készülék, amely bármely számítógépes algoritmus logikáját utánozni képes). • Wolfram azt gondolja, hogy az egész Világegyetem egy gigantikus automata, amelyet valami egyszerű alapvető szabály kormányoz. Megpróbálja kitalálni azt a szabályt, amelyet ha elegendően hosszan futtatunk, kiadja a világ megfigyelt komplexitását. • A húrelmélészek (és némely közgazdászok) nem esnek távol ettől a ábrándtól.

25. Mégha mindez igaz is lenne... akkor sem segítene semmit a sejtciklus, az elme, vagy a jelenlegi pénzügyi zűrzavar megértésében.

26. NEM-TELJESSÉG

27. Formális axiomatikus rendszerek • Az axiomatikus módszert Euklidesz óta a tudományos információ legmagasabbrendű szervezési formájának tekintik. • Végső formáját Hilbert programmjában nyerte el: Ábécé Nyelvtan Axiómák A következtetés szabályai Bizonyítás-ellenőrző algoritmus

28. Nyilvánvaló követelmények • Konzisztencia • Teljesség

29. Nem-teljesség • Gödel, 1931: ha a számelmélet (pozitiv egészek plusz összeadás és szorzás) konzisztens, akkor nem teljes. • A bizonyítás önreferencián alapul: Gödel konstruált egy olyan állítást az egészekről, amely azt állította önmagáról, hogy nem bizonyítható.

30. Nem kiszámítható számok • Turing, 1936: „On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem” • Kiszámítható az a szám, amelyre létezik olyan algoritmus (computer program), mely egyesével meghatározza a számjegyeket. • A computer programok megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, a valós számok nem. Ezért létezniük kell olyan számoknak, amelyek nem kiszámíthatóak. Valójában a legtöbb szám ilyen.

31. A megállási probléma Turing megmutatta, hogy a nem-kiszámíthatóságból következik, hogy lehetetlen eldönteni, hogy egy computer program valaha is megáll-e egy adott eredményen, vagy nem, vagyis nincs olyan algoritmus amelyik eldöntené, hogy egy computer program megáll-e.

32. Algoritmikus komplexitás • Chaitin, Kolmogorov: egy szám, egy matematikai eredmény, egy elméleti állítás komplexitása annak a legrövidebb computer programnak a hosszával mérhető, amelyik elő tudja állítani. • A legtöbb valós szám végtelenül komplex, véletlenszerű, szerkezetnélküli abban az értelemben, hogy a legrövidebb program is olyan hosszú, mint a szám maga - nincs mód tömörítésre. (Borges’ térképe) • Nem lehet, hogy a társadalom, vagy a gazdaság is ilyen?

33. Irreducibilitás a matematikában • A nem-teljességi eredmények azt mutatják, hogy a matematika legnagyobb része irreducibilis. • Mint ilyen, a matematika sokkal közelebb van a fizikához, mint általában hisszük: sok olyan tény van, amelyeket felfedezhetünk a számokról, de nem tudjuk levezetni őket egyetlen véges axiómarendszerből sem. • „Kísérleti matematika” • Utólag megítélve ez inkább megkönnyebbülés, mint tragédia. • Mit mond mindez az emberi gondolkodásról - vagy az agyról? • És mit egy valódi komplex rendszer leírásának az esélyeiről?

34. IDŐBELI KOMPLEXITÁS

35. Nehéz számítási problémák I. • Minden nem-teljességi eredmény aszimptotikus. • A gyakorlatban soha nem használunk végtelen halmazokat, valós számokat, stb. Lehet, hogy ez az egész irreducibilitás pusztán elméleti kérdés, és valódi, véges problémákban minden eldönthető véges idő alatt, legrosszabb esetben kimerítő kereséssel? • Nem ez a helyzet.

36. Nehéz számítási problémák II. • A számítási problémákat osztályozhatjuk aszerint, hogy milyen gyorsan nő a bevitt adatok méretével annak az algoritmusnak a futási ideje, amelyik megoldja őket. • A kezelhető problémák lineáris (~N), kvadratikus (~N2), vagy más alacsony fokszámú polinomiális növekedést produkálnak. • A kemény problémák exponenciálisan hosszú algoritmusokra vezetnek, ezért megoldhatatlanok.

37. Az algoritmus hosszának növekedése a probléma méretével

38. A legnagyobb méretű, 1 óra alatt megoldható probléma

39. Nehéz számítási problémák III. • Ezek az adatok (Garey és Johnson könyvéből) azt mutatják, hogy a számítási komplexitás problémája nem csupán gyakorlati jellegű, nem technológia kérdése. • Ha egy számítás hosszabb időt vesz igénybe, mint az Univerzum életkora, akkor az bármilyen értelemben véve is kezelhetetlen.

40. SKÁLÁK

41. Karakterisztikus hosszak I. • 10-33 cm: Planck hossz (valószínűleg a legrövidebb hosszúság) • 10-18 cm: a legrövidebb hossz, amit a Standard Model leír • 10-12 cm: az atommag mérete • 10-8 cm: az atom mérete • 10-5 cm: a makromulekulák mérete

42. Karakterisztikus hosszak II. • 1 cm: makroszkopikus skála • 105 cm: hegyek • 108 cm: a Föld sugara • 1015 cm: a Naprendszer sugara • 1020 cm: a Galaxis mérete • 1028 cm: az Univerzum mérete Egymásba ágyazott struktúrák, melyek skálája 60 nagyságrendet fog át.

43. A skálák szeparációja I. • Amíg a skálák jól elkülönülnek, e hierarchia egy adott szintjén lezajló folyamatokat úgy lehet leírni, mintha függetlenek lennének az alacsonyabb (vagy magasabb) szintektől. Ez hozza létre a független tudományok illuzióját. • Például: az atomi spektumok jórészt érzéketlenek arra, mi megy végbe a magban. Csak a mag tömege és töltése számít igazán.

44. A skálák szeparációja II. • Van annak értelme, hogy konzisztens axiomatikus leírást próbáljunk adni egy adott jelenségkörről, mikor tudjuk, hogy ezek a jelenségek a kisebb skálákon végbemenő folyamatokra vett átlagok? (Pl. van értelme axiomatizálni a termodinamikát?) • Amikor a skálák jól szeparálódnak, a redukció tökéletesen működik (pl. a termodinamika vagy a hidrodinamika redukciója az atomi szintre a statisztikus fizika által) • És a makrogazdasági jelenségek redukciója a mikro szintre?

45. A skálák szeparációja III. • A „makroszkopikus” egyenletekbe a „mikroszkopikus” szabadsági fokok fölött vett átlagok empirikus paraméterekként lépnek be. • A redukció megmagyarázza ezeket a paramétereket, ilyen módon tömöríti az elmélet információ tartalmát. • Milyen messze vihető el ez a program? Hogy nézne ki a végső elmélet?

46. A skálák összeolvadása I. • Komplex rendszerekben a skálák nem szeparálódnak. • A biokémiai folyamatokban, az idegrendszerben, a társadalomban vagy a gazdaságban nincsenek jól elkülönülő (energia-, idő-, vagy térbeli) skálák. (A kisember akciói elhanyagolhatóak lehetnek nemzetgazdasági szinten, Warren Buffetéi nem azok.) • Minden skálán vannak fluktuációk. Vastag szélű, ön-hasonló eloszlások lépnek fel. A normális eloszlásra épülő statisztika és pénzügy-elmélet súlyosan félrevezető lehet.

47. A skálák összeolvadása II. • Az ennyire heterogén rendszerben nem lehet megmondani, mi része minek. • A reprezentatív ágens fogalma értelmetlen absztrakció. • Nem működnek a határeloszlás tételek, nincs egyszerűsödés a nagy számok limeszében. • A rendszer irreducibilis, nagyon sok részlet pontos ismerete kell ahhoz, hogy megbízható leírást adhassunk róla. • Heterogén ágens modellek?

48. Mode slaving • A kooperatív viselkedés olyan makroszkopikus kollektív koordinátákat épít fel, amely külső erőtérként, vagy kényszerként hatnak az egyes részecskékre. • Példa: a kooperáló elemi mágnesek közötti kölcsönhatás létrehozza a makroszkopikus mágnesezettséget, amely az egyes elemi mágnesekre külső mágneses térként hat. • Az individuális ágensek közötti együttműködés intézményeket, szokásokat, hagyományokat, közös hiedelmeket hoz létre, amelyek aztán külső kényszerként hatnak az egyes ágensekre.

49. Emergencia • A kölcsönhatás következtében egészen új, előre nem látható tulajdonságok lépnek fel (sejttársulás - élőlény, egyén - társadalom, stb.) Kulcs-kifejezések: „more is different”, vagy „az egész több (vagy kevesebb), mint a részeinek összege”. • Semmi nem egyenlő a részeinek az összegével. • A kölcsönhatás gyengén, erősen, vagy alapvetően megváltoztathatja a komponensek viselkedését.

50. Egyensúly(ok) • A közgazdaságtan egészen más egyensúly fogalmat használ, mint a többi tudományok: • Kínálat és kereslet egyensúlya vs. makroszkopikus változások hiánya