1 / 13

TEOREMA LAGRANGE

TEOREMA LAGRANGE. Bila suatu grup G diperkenalkan maka dengan sendirinya diteliti apakah grup itu abelian dan apakah grup tersebut siklik .

lydia-richardson
Download Presentation

TEOREMA LAGRANGE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TEOREMA LAGRANGE

  2. BilasuatugrupGdiperkenalkanmakadengansendirinyaditelitiapakahgrupituabeliandanapakahgruptersebutsiklik. • Di sampingitujugaditentukanordedarigrupGdanordedarianggota-anggotanya. Meskipundapatdibuktikanbahwasemuagrupbagiandarigrupsiklikmerupakangrupsiklikdansemuagrupbagiandarigrupabelianmerupakangrupabelian, tetapimasihmenyisakanpertanyaan-pertanyaan yang belumterjawab: • BagaimanaordedarisuatugrupbagianSdibandingkandenganordedarigrupyang mengandungS ? • BagaimanaordedarisuatuanggotagrupGdibandingkanordedariG ?

  3. Teorema VI.1 (Teorema Lagrange ) JikaGsebaranggrupberhinggadanSgrupbagianGmakaordeSmembagiordeG. Keterangan : • HimpunanaSdanbSdinamakankosetkiridariS. • Dinamakankosetkirikarenaanggotaadanbberadadikiri. Dengandefinisi aS= assdalamS. • KarenaS = eSmakaberartiSmerupakankosetkirijuga. • JikaaSSmakaaStidakmengandungidentitase. • Di sampingitujugaterdapatkosetkanan Sa= sasdalamS. • Dalamnotasipenjumlahan, kosetkiriditulissebagai a+ S = a + ssdalamS.

  4. Contoh VI.1 • DiketahuiG = Z25* danS = ( 16 ). • AkandiperhatikanpenyekatangrupGkedalamkoset – kosetkiridariS. • S= { 16, 6, 21, 11, 1 }, 3S = { 23,18, 13, 8, 3 }, • 2S= { 7, 12, 17, 22, 2 }, 4S = { 14, 24, 9, 19, 4 }. • Berartikoset – kosetkiridariSmembagi 20 anggotadalamZ25* kedalam 4 himpunanbagian yang salingasingdanmasing – masingmengandung5 anggota.

  5. ContohVI.2 : • MisalkanG = ZdanS = (4). • Akanditunjukkanbahwadalamgrupdenganordetakhinggakoset-kosetS=(4) • MenyekatgrupZkedalamhimpunandenganukuran yang sama. • KarenaS = {….., -8, -4, 0, 4, 8,…} makakoset-kosetkiriadalah 1 + S = { ….., -7, -3, -1, -5, -9, -13,…}, 2 + S = { ….., -6, -2, 2, 2, 6, 10, 14, ….}, 3 + S = { …., -5, -1, 3, 7, 11, …}. • Terlihatbahwaterdapat 4 kosetkiridariS = (4) yang berbedadalamZyaitu 0 + S, 1 + S, 2 + S dan 3 + S. • MeskipundalamgruptakhinggakonsepordeSmembagiordeGtetapikoset-kosetkiridariStetapmembagiZkedalamhimpunan-himpunanbagian yang tidaksalingasingdanmasing-masingdenganbanyakanggota yang sama.

  6. Teorema VI.2 • JikaGsebaranggrupberhinggaberordendanasebaranganggotaGmakaordeamembagiordeG. Bukti: • Anggotaamembangungrupbagiansiklik (a). • Denganmenggunakandefinisi, ordedariasamadenganordedari (a) dandenganmengingatteorema Lagrange, ordedarigrupbagian (a) membagiordeG.

  7. Teoema VI.3 • JikagrupGmempunyaiorde prima pmakaGsiklikdanisomorfisdenganZp. Bukti : • DenganmengingatTeorema VI.2, JikaasebaranganggotaGmakaordenyamembagipkarenap prima makaa mempunyaiorde 1 ataup. • Tetapikarenahanyaanggotaidentitas yang mempunyaiorde 1 makauntukaemempunyaiordep. • Olehkarenaitu, G dibangunolehsebaranganggotaae. • BerartiGsiklik. • KarenaGsiklikdanmempunyaiordepmakaGZp.

  8. Soal VI.1 • Berikansifat-sifatdariZ4. Jawab • HimpunanZ4 = { 0, 1, 2, 3 } merupakangrupterhadappenjumlahan modulo 4. Grupbagian yang dibangunolehelemen-elemendalam Z4adalah : • (0) = { k . 0 | k  Z } = { 0 } • (1) = { k . 1 | k  Z } = { 0, 1, 2, 3 } • (2) = { k . 2 | k  Z } = { 0, 2 } • (3) = { k . 3 | k  Z } = { 0, 3, 2, 1 }. • Hal ituberartibahwaelemen 0 mempunyai order 1, elemen 1 dan 3 mempunyai order 4 danelemen 2 mempunyai order 2 sehinggagruptersebutsiklikkarenaadaelemendalamZ4 yang mempunyai order 4 yaitu 1 dan 3. Grupbagiandariadalah {0}, { 0,2} danZ4 yang berturut-turutmempunyai order 1, 2 dan 4.

  9. Soal VI.2 : • Tentukansifat-sifatdariZ12*. Jawab • HimpunanZ12* = { 1, 5, 7, 11 } merupakangrupdengan order 4. Denganmenggunakanteorema Lagrange makaelemen-elemendalamZ12* mempunyai order 1, 2 atau 4. • Elemen1 mempunyai order 1, elemen 5 mempunyai order 2, elemen 7 mempunyai order 1 danelemen 11 mempunyai order 2. KarenatidakadaelemendalamZ12* yang mempunyai order 4 makaZ12* bukanlahgrupsiklik. • GrupbagiandalamZ12* mempunyai order 1 , 2 atau 4 yaitusesuaidenganteoremaLangrange. Dalamhalini, grupbagiantersebutadalah { 1 }, { 1, 5}, { 1, 7 }, {1, 11} danZ12*.

  10. Latihan • Tentukan order darisetiapelemendalamZ5. TentukansemuagrupbagiandalamZ5. • Tentukan order darisetiapelemendalamZ7* dantentukansemuagrupbagiannya. • Tentukan order darisetiapelemendalamZ9* danapakahgruptersebutsiklik? • BuktikanbahwaaS = bSjikadanhanyajikab-1aS. • BuktikanbahwagrupG dengan 4 anggotamerupakangrupabelian.

  11. TERIMA KASIH

More Related