1 / 18

Pengganda Lagrange

Pengganda Lagrange. Teknik Optimasi Semester Ganjil 2013/2014. METODE LAGRANGE PADA NLP DENGAN SATU KENDALA. Digunakan untuk memaksimumkan fungsi obyektif f ( x , y , z ) subject to suatu kendala dalam bentuk g ( x , y , z ) = k. PENGGANDA LAGRANGE.

tab
Download Presentation

Pengganda Lagrange

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pengganda Lagrange TeknikOptimasi Semester Ganjil 2013/2014

  2. METODE LAGRANGE PADA NLP DENGAN SATU KENDALA • Digunakanuntukmemaksimumkanfungsiobyektiff(x, y, z) subject tosuatukendaladalambentukg(x, y, z) = k.

  3. PENGGANDA LAGRANGE • Untukmempermudahpemahamanmetodeinisecarageometris, diterapkanterlebihdahulupadafungsi-fungsidenganduavariabel. • Ingindicarinilaimaksimumdarif(x, y) subject tosuatukendaladalambentuk • g(x, y) = k.

  4. PENGGANDA LAGRANGE – DUA VARIABEL • Nilaimaksimumbagif(x, y) harusberadapada level kurvag(x, y) = k. • Gambarberikutmenunjukkan level kurvag(x, y) = k bersamabeberapa level kurvaf(x, y) = c, • c = 11, 10, 9, 8, 7

  5. PENGGANDA LAGRANGE – DUA VARIABEL • Untukmemaksimumkanf(x, y) subject to g(x, y) = kadalahmencari Nilaicterbesarsedemikiansehingga level kurva f(x, y) = cbertemudengang(x, y) = k  mempunyai gradien yang sama

  6. PENGGANDA LAGRANGE – DUA VARIABEL • Gradien/garis normal padatitiksinggung (x0 , y0) adalahsamauntukkeduafungsi. • Vektorgradienparalel • Untukskalartertentuλ:

  7. PENGGANDA LAGRANGE – TIGA VARIABEL • Serupadenganargumenpadafungsidenganduavariabel, padakasusmaksimumdari • f(x, y, z) subject tokendalag(x, y, z) = k. • Solusi (x, y, z) harusberadapada level g(x, y, z) = k. • Jikanilaimaksimumdarifadapadatitikx0, y0, z0 dimanaf(x0, y0, z0) = c, makapadatitiktersebutgradiendarif akansamadengangradiendari g(x, y, z) = k. • Untukskalartertentuλ:

  8. PENGGANDA LAGRANGE—METODE • Tentukan semua nilai x, y, z, dan λsedemikiandan • Evaluasi f pada semua titik (x, y, z) yang dihasilkan di langkah a. • Nilai terbesar  maksimum bagi f. • Nilai terkecil  minimum bagi f.

  9. METODE LAGRANGE • Pada penurunan dengan metode Lagrange, diasumsikan bahwa • Pada semua titik di mana g(x, y, z) = k

  10. METODE LAGRANGE • Pada langkah a di mana • Persamaan vektor gradien tersebut harus dinyatakan per komponen (turunan parsial) sedemikian: • fx = λgx fy = λgyfz = λgzg(x, y, z) = k • Merupakan sistem dari 4 persamaan dengan 4 variabel yang tidak diketahui x, y, z, and λ. • Tidak harus memperoleh nilai eksplisit bagi λ.

  11. METODE LAGRANGE • Prinsip tersebut ekuivalen dengan permasalahan: • Max atau Min bagi: • L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) – λ(k - g(x, y, z)) • f.o.c bagi permasalah tsb: • Lx= fx – λgx =0 ↔ fx = λgx • Ly= fy– λgy =0 ↔ fx = λgx • Lz= fz –λgz =0 ↔ fz= λgz • Lλ= k– g(x, y, z)=0 ↔g(x, y, z) = k

  12. METODE LAGRANGE • Untuk fungsi dengan dua variabel, cara yang sama dapat dilakukan • max atau min f(x, y) • s.t. g(x, y) = k, • Ingin diperoleh x, y, dan λsedemikian: • (2 turunan parsial saja) • fx = λgx fy = λgyg(x, y) = k Tiga persamaan untuk menyelesaikan tiga variabel x, y, and λ.

  13. METODE LAGRANGE • Prinsip tersebut ekuivalen dengan permasalahan: • Max atau Min bagi: • L(x, y,λ) = f(x, y) – λ(k - g(x, y)) • f.o.c bagi permasalah tsb: • Lx= fx – λgx =0 ↔ fx = λgx • Ly= fy– λgy =0 ↔ fx = λgx • Lλ= k– g(x, y)=0 ↔g(x, y) = k

  14. Interpretasi λUntuk Analisis Sensitifitas • Dari hubungan: • fx= λgx fy = λgyg(x, y) = k • λ= fx/gx= fy/gy • Adalah laju perubahan nilai fungsi akibat perubahan nilai pada kendala • Efek perubahan ketersediaan bahan baku (ruas kanan kendala) terhadap nilai optimal fungsi

  15. Contoh: • Untuk permasalahan berikut, yang penjelasannya akan saya berikan di kelas

  16. METODE LAGRANGE PADA NLP DENGAN BEBERAPA KENDALA • Digunakan λisejumlah kendala (m) yang digunakan • i = 1, …, m • Misal untuk dua variabel • max atau min f(x, y) • s.t. gi(x, y) = ki, i = 1, …, m • Ingin diperoleh x, y, dan λi , i= 1, …, m sedemikian: • fx= λ1 g1x + … +λm gmx • fy= λ1 g1y + … + λm gmy • gi(x, y) = ki,i = 1, …, m

  17. Ekuivalen dengan: • Max atau Min bagi: • L(x, y,λ1, …, λm)=f(x, y) – λ1(k1 – g1(x, y)) – … – λm(km– gm(x, y)) • f.o.c bagi permasalah tsb: • Lx = fx – λ1 g1x – … –λm gmx =0 • Ly= fy – λ1 g1y – … – λm gmy =0 • Lλi= ki – gi(x, y)=0 untuk i= 1, …, m

  18. SOAL -SOAL 1. Minimize f(x) = + S.t. 2. Minimize + s.t 3. Minimize s.t.

More Related