MODEL POINCAREGO

1. MODEL POINCAREGO opracowała: Agata Dobrowolska

2. 1. HENRI POINCARE (1854-1912) Maria Curie i Henri Poincare w 1911 w Solvay na konferencji fizyków Matematyk, astronom i fizyk francuski, profesor Sorbony. Autor prac z wielu dziedzin. Pionier kombinatorycznej topologii. W astronomii badał problem trzech ciał. Prawie równocześnie z A. Einsteinem, sformułował matematyczne podstawy teorii względności. Stworzył nowy kierunek w filozofii : konwencjonalizm, który zakładał, że działania człowieka (także wyniki badań naukowych i ich interpretacja) zależą od kontekstu, w jakim są prowadzone. Osiągnięcia Poincaré’go w matematyce są bardzo duże. Zajmował się on wieloma ważnymi działami współczesnej mu matematyki. Rozwinął teorię grup, m.in. klasyfikację grup prostych wspólnie z Kleinem i Lie, badał podstawy matematyki, logikę matematyczną i rolę aksjomatów, zagadnienie niesprzeczności i nieskończoności. Zbudował model geometrii nieeuklidesowej (model Poincaré’go).

3. 2. DYSK POINCAREGO Dysk Poincarego jest modelem geometrii hiperbolicznej, w której płaszczyzna to powierzchnia o stałej krzywiźnie ujemnej. Z tego powodu w geometrii hiperbolicznej miara kątów trójkąta ma mniej niż 180°.

4. GEOMETRIA HIPERBOLICZNA To pierwsza z geometrii nieeuklidesowych, opracowana ( w 1829) przez Nikołaja Łobaczewskiego. Cztery pierwsze aksjomaty geometrii Łobaczewskiego są identyczne z aksjomatami Euklidesa, różny jest piąty, w geometrii Łobaczewskiego brzmi on: przez punkt płaszczyzny nie należący do danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie posiadające punktów wspólnych z daną prostą, modelem płaszczyzny zgodnej z geometrią Łobaczewskiego jest wnętrze koła. Odkrycie przez Łobaczewskiego niesprzecznego systemu geometrycznego różnego od geometrii Euklidesowej otworzyło nowe horyzonty myślowe i zapoczątkowało gwałtowny rozwój geometrii w XIX w.

5. MODEL POINCAREGO PYTANIEM O KSZTAŁT WSZECHŚWIATA? • jeśli geometria hiperboliczna przedstawia wszechświat, to rośnie on bez końca • zbliżając się do granicznego okręgu, rzeczy wydają się większe niż są w rzeczywistości

6. MODEL POINCAREGO TO ZAPRZECZENIE V PEWNIKA EUKLIDESA Czy przez punkt leżący poza prostą można przeprowadzić tylko jedną prostą nie przecinającą danej? RÓWNOLEGŁOŚĆ - dwie proste są równoległe, jeśli znajdują się na jednej płaszczyźnie nie przecinając się

7. Prosta równoległa – to ta, która z daną prostą ma wspólny punkt w nieskończoności Paralela – linia, której przecięte punkty leżą w nieskończoności

8. JAK JEST ZBUDOWANY MODEL POINCAREGO?

9. 3. ZASTOSOWANIE MODELU POINCAREGO • efektywne podejście do opisu złożonych układów fizycznych • dysk Poincarego może ilustrować hipotetyczny kształt wszechświata • model ten był inspiracją dla M. Eschera:

10. 4. BIBLIOGRAFIA Modele dysku wykonane w programie Cabri II Plus www.espis.com prezentacja multimedialna ,,Czwarty Wymiar” Łukasza Turskiego prezentacja multimedialna ,,O geometrii nieeuklidesowej” Andrzeja Kotańskiego artykuł ,,Hipoteza Poincarego?” Pawła Strzeleckiego www.wikipedia.org artykuł Zdzisława Pogody ,,Czterowymiarowa hipoteza Poincarego, czyli wyniki Freedmana” zdjęcie z gazety ,,EL PAIS” artykuł ,,Geometria nieeuklidesowa dla cthulthystów” Mateusza Kominiarczuka prezentacja multimedialna T. Lesiaka ,,Chaos” artykuł Krzysztofa Pawałowskiego ,,Od Poincarego do Perelmana (…)” www.mimuw.edu.pl/delta/artytkuly/artykuly_roku/hipoteza.pdf theta.uwb.edu.pl/~knmism/gazeta/nr015/tomek15.doc Paweł Strzelecki „Hipoteza Poincarego?”: Rys. krzywizny ujemnej Joanny Murawskiej http://www.geocities.com/CapeCanaveral/7997/noneuclid.html Prezentacja multimedialna T. Lesiaka „Dodatkowe wymiary” http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/sazdanovic/hyperbolicgeometry/hypge.htm http://math.youngzones.org/Non-Egeometry/poincare.html http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/sazdanovic/hyperbolicgeometry/hypge.htm http://www.sciagawa.pl/a/5259.html http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomaty_geometrii_euklidesowej http://matematyka.org/main32436530310,3,yisvp.htm http://www.britannica.com/ebc/art-67391/In-the-Klein-Beltrami-model-for-the-hyperbolic-plane-the http://www.geom.uiuc.edu/~crobles/hyperbolic/hypr/modl/pncr/ http://www.matematyka.pl/6470.htm Encyklopedia MEP2003