Generadores de Radiación Ionizante Formulas & Ejercicios

1. Generadores de Radiación Ionizante Formulas & Ejercicios Dr. Willy H. Gerber Instituto de Fisica Universidad Austral Valdivia, Chile Dominar los modelos asociados a la generación de radiación ionizante mediante la resolución de problemas. Objetivos: www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

2. 1.2 Modelo del Filamento – Modelo Mecánico Cuántico Función de onda [-] n = 1, 2, 3,… numero de estado Vector de onda [m] Largo de onda [m] Impulso [kg m/s] z/L L z m h, Largo del conductor Posición dentro del conductor Masa del electrón [kg] (9.11x10-31 kg) Constante de Planck (6.63x10-34 Js, 1.055x10-34 Js) Energía [J] www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

3. 1.2 Modelo del Filamento – Distribución de electrones según Fermi Energía del Estado [J] Numero de Estado con Energía < E [-] 1 Numero de Estados con Energía entre E y E+dE EF=100kT F(E) Probabilidad de ocupación de estados EF=kT Energía de Fermi [J o eV] EF=2kT 0 EF=10kT 0 5 E/EF N: Numero de electrones / m3 www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

4. 1.2 Modelo del Filamento – Corriente de electrones libres Impulso mínimo para escapar conductor Distribución de electrones Densidad de corriente (Ecuación de Richardson-Dushman) Constante ϕ k e T Función de trabajo [J] Constante de Boltzmann [J/K] (1.38x10-23J/K) Carga elemental [C} (1.6x10-19 C) Temperatura absoluta www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

5. 1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Child-Langmuir Flujo de electrones [1/m2] *** ánodo cátodo Potencial entre Placas [V] Velocidad de los Electrones [m/s] Distribución de Electrones [-] ε0 Constante de campo 8.85x10-12 C2/N m2 Energía del Electrón [J o eV] *** Para j inferior al j calculado con la ecuación de Richardson-Dushman (efecto saturación) www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

6. Modelo de Filamento Modelamiento del sistema filamento-placas (p: placa, f: filamento, a: ánodo) S A L σ ε Superficie del filamento [m2] Sección del filamento [m2] Largo del Filamento [m] Constante de Stefan Boltzmann [5.6704x10-8 J/sm2K4] Grado de emisión [-] Caso Tungsteno: www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

7. 1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Betatrón Potencial inducido en el anillo Campo eléctrico en el anillo Impulso del Electrón en el anillo Fuerza de Lorentz para retener al electrón en el anillo Campo magnético operación [T] Campo magnético retención [T] Radio del anillo [m] Potencial inducido [V] Campo eléctrico [N/C=V/m] Impulso [kg m/s] Velocidad [m/s] Masa del electrón [kg] Carga del electrón [C] Impulso por efecto de la fuerza de Lorentz Relación de Wideroe Energía del electrón www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

8. 1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Ciclotrón Fuerza para Retener el electrón Velocidad angular Frecuencia angular de operación Periodo de campo acelerador www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

9. 1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón Energía inicial Energía tras buncher Señal en buncher Potencial en buncher www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

10. 1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón Aceleración en buncher Factor de propagación del haz Factor de acoplamiento Caso perfil cuadrado Angulo de transito Variación de energía www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

11. Guía de Ondas Periodo de la oscilación del generador RF: Distancia entre disco: En que la fase depende del diseño, o sea de la solución formal de la ecuación de las cavidad. www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

12. Guía de Ondas Ecuaciones claves para el calculo de la estructura de la guía de onda para el caso de alta velocidad: d1 d2 d3 d4 dn dn+1 Largo de cavidad 1 2 3 4 n n+1 Factor de propagación Haz Angulo de transición La energía ganada tras n cavidades www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

13. 1.4 Guía de Ondas – Ondas fuera de una cavidad Ecuación de onda Solución onda plana Relación de dispersión Velocidad de fase Velocidad de grupo Perpendicularidad Vector de onda y amplitud www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

14. 1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades infinita Ecuación de ondas Cavidad cilíndrica Condiciones de borde Solución Relación de dispersión Frecuencia de cut-off Velocidad de fase Velocidad de grupo www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

15. 1.4 Guía de Ondas – Funciones de Bessel del primer tipo Raíces Jn www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

16. 1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades periódicas Ansatz con Condiciones de borde Soluciones Modo TM010 Densidad de energía Energía www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

17. Cabezal del Linac Caso distintas velocidades (energías) www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

18. Perfil del haz Corrección de la forma del perfil del haz: modelo de la fuente puntual Rayos Gamma Compensador Colimador Intensidad www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

19. Perfil del haz Corrección de la forma del perfil del haz www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

20. Ejercicios 1 Mecánica Cuántica Cuales son los largos de onda de los primer tres estados en un filamento representado por un conductor “unidimensional” de largo 5 mm? (5.00x10-3m, 2.50x10-3m, 1.67x10-3m) Cuales son los impulsos para los estados descritos en 1? (1.33x10-31 kg m/s,2.65x10-31 kg m/s, 3.98x10-31 kg m/s) Cuales las energías de los estados descritos en 1? Exprese el resultado en eV (6.07x10-14 eV, 2.43x10-13 eV, 5.46x10-13 eV) Si el conductor se define como un volumen de 5 mm de largo y 0.1 mm de radio de Tungsteno (densidad 19.25 g/cm3, peso molar 183.84 g/mol) y cada átomo contribuye con un electrón; cuantos electrones de conducción contiene? (9.902x1018) Cual es la energía de Fermi del filamento antes descrito? Exprese el resultado en eV (5.83eV) Si se toma como referencia que las típicas energías de partículas son del orden de kT (donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura), a que temperatura correspondería la función de trabajo del Tungsteno que es 4.52 eV? Que significa que la temperatura que puede alcanzar del filamento antes de fundirse sea 3695 K? (5.24x10+4 K; muy pocos electrones contribuyen al flujo) Modelo del Filamento www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

21. Ejercicios 2 7. Si la función de trabajo del Tungsteno es 4.52 eV, cual es la velocidad mínima que tiene que tener el electrón para abandonar la superficie del filamento? Considere la aproximación no relativista. (1.90x10+6m/s) Cual es el error (diferencia entre masa relativista y masa no relativista) para la velocidad calculada en el ejercicio anterior? (2.01x10-5) Si se asume que el gamma es 0.5, cual seria la máxima densidad de corriente para las temperaturas 20C, 100C, 1000C, 2000C y 3000C? (3.63x10-67A/m2, 2.04x10-50A/m2, 1.67x10-6A/m2, 3.48x10+2A/m2, 7.91x10+5A/m2) Depende la velocidad final de los electrones de la distancia entre las placas? Porque? (No, la energía es igual a la fuerza por la distancia recorrido, pero la fuerza es proporcional al inverso de la distancia) Cual es la velocidad que tienen los electrones al alcanzar el ánodo si el potencial aplicado es 20 kV, 40 kV, 80 kV, 120 kV y 150 kV (8.38x10+7 m/s, 1.19x10+8 m/s, 1.68x10+8 m/s, 2.05x10+8 m/s, 2.30x10+8 m/s) Cual es la corriente que se puede generar entre filamento y ánodo si ambos están a 2 cm, el haz tiene un radio de 1 mm y el potencial aplicado es 1 kV, 5 kV, 10 kV, 20 kV y 50 kV (1.84x10+2 A/m2, 2.06x10+3 A/m2, 5.83x10+3 A/m2, 1.65x10+4 A/m2, 6.52x10+4 A/m2)) Modelo simple de placas www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

22. Ejercicios 3 13. Supongamos que un filamento de Tungsteno opera a 3300 K, cual seria la resistencia de este si su largo es de 5 cm y el radio es 0.02 mm. (41.16 Ω) Que corriente debe de existir si el filamento del ejercicio anterior se encuentra en equilibrio radiactivo y la temperatura ambiente es de 20C? Asuma el grado de emisión como 1. (1.013 A) Que potencial tiene que ser aplicado al filamento del ejercicio anterior para lograr la corriente calculada? (41.7 V) Uno de los primeros betatrón generaba electrones con energías de 2 MeV y tenían un radio del orden de 50 cm. De que orden tenían que ser los campos magnéticos? (0.0267 T) Cual es la masa relativista del electrón con la energía indicada en el ejercicio anterior? (6.67x10-3 kg) Cuanto le falta a la velocidad v del electrón para alcanzar la velocidad de la luz c? Indique el resultado como la fracción (c-v)/c. (6.83x10-29) Si con los parámetros del betatrón se construye un ciclotrón, con que velocidad angular tienen girar los electrones? (4.68 GHz) Betatrón/Ciclotrón www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

23. Ejercicios 4 Klistrón Si a la entrada del Klistrón se aplica un potencial de 80 kV, con que velocidad entra el electrón al buncher? (8.38x10+7 m/s) Si la señal que se aplica en el buncher opera con una frecuencia de 2.8 GHz. Cual es el largo del bunch que se genera? (18.8 cm) Considerando los datos del ejercicio anterior, cual es el factor de propagación del haz? (33.4 1/m) De que tamaño es el factor de acoplamiento si en el caso del ejercicio anterior se supone que el campo es constante a lo largo de un buncher de 1 cm? (98.2 1/m) Si el potencial aplicado al buncher es de 500 V, cual es la energía que se le “agrega” o “resta” a los electrones según el ciclo de la señal en el ejercicio anterior? Indique el resultado en keV. (49.08 keV) Si deseamos acelerar electrones hasta una energía de 6MeV, que velocidad debemos lograr? Indique el resultado en fracción de la velocidad de la luz (0.966) Si la guía es operada con una radio frecuencia de 2.8 GHz, de que largo debe ser la ultima cavidad? (53.3 mm) Guía de Ondas www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

24. Ejercicios 4 De que tamaño debe ser la primera cavidad si entra con la energía máximaque resulta de sumar la energía de entrada al Klistrón (ejercicio 20) y aquella que este le suma (ejercicio 24)? (53.3 mm – o sea en este caso las cavidades casi no varían desde la primera a la ultima porque la velocidad inicial es cercana a la de la luz) Cual es el largo máximo de las cavidades de la guía de onda descrita por los ejercicios anteriores? (53.7 mm) Cuanta energía suministra cada cavidad si esta tiene un largo de 53.3 mm, la radio frecuencia es de 2.8 GHz y el voltaje máximo es de 150kV? Indique el resultado en MeV. (95.98keV) Cuantas cavidades tenemos que tener en la guía para lograr electrones de 6 MeV si al ingresar tienen una energía de 50keV? (62) Para una guía de ondas de 1 cm de radio y largo infinito, cual es la primera frecuencia angular de corte? (7.22x10+10 1/s) Cual es la velocidad de grupo de una onda en una cavidad infinita para el caso de vector de onda cero? (cgrupo=c) Porque la guía de onda de largo infinito no logra acelerar electrones? (Porque la velocidad de grupo de las ondas (c) se adelantan a la de los electrones (v < c) que deben acelerar) www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

25. Ejercicios 5 Colimador y focalizador Si el electrón que sale del Linac tiene una energía de 6 MeV, que intensidad tiene que tener el campo magnético para que lo logre deflectar en tan solo 15 cm? (1.13x10-2 T) Si un electrón tuviese una energía en un 0.1% menor a los 6 MeV, cual seria la diferencia entre el radio de la trayectoria de este electrón con respecto del de 6 MeV? (0.658 mm) Si la distancia entre la fuente virtual y el paciente es de 2 m, el colimador esta a 50 cm de la fuente virtual y este ultimo tiene un ancho de 2 cm; cual es el ancho del haz a la altura del paciente y cual es el decrecimiento en el borde del haz respecto del centro si no existiera un filtro corrector? (8 cm, 0.998) www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08