Distribusi Bentuk Kuadra t

1. Distribusi Bentuk Kuadrat Definisi Jika y adalah sebuah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I, maka y΄y mengikuti noncentral chi-square distribution dengan derajat bebas k dan parameter non sentralitas λ=1/2(μ΄μ). Notasi dari variabel random tsb:

2. y berdistribusi normal dengan rata-rata μ, makavariabel random y1, y2, … , ykberdistribusi normal dengan rata-rata masing-masingμ1, μ2, … , μk, artinyasatudengan yang lain tidakharussama. • Var(y)=I artinyabahwamatriksvarianskovariansdari y adalahmatrikidentitas. Variansdarivariabelrandom y1, y2, … , ykadalah 1 dancovariansadalahsamadengan 0. • y´y merupakanjumlahkuadratatau Teorimenyatakanbahwajumlahkuadratdari k variabelindependenberdistribusi normal denganvarians 1 mengikutidistribusi yang disebutdengannoncentral chi-squared distribution. Distribusiinidicirikandengandua parameter, yaitu k (derajatbebas) danλ (parameter noncentral)

3. Theorema merupakan n variabel random independen berdistribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k1, k2, …, kn dan paramater noncentral λ1, λ2, …, λn. Maka: mengikuti distribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k= k1+k2+ … +kn dan parameter noncentral λ= λ1+λ2+ …+ λn. Atau

4. Theorema Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan A adalah matrik simetris n x n. Maka y´Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2)μ´Aμ jika dan hanya jika A matrik idempoten dengan rank k. (Buktikan!)

5. Akibat: • Jika y adalahvektor random berdistribusi normal dengan rata-rata 0 danvarians I. Dan A adalahmatriksimetris n xn. Makay’Aymengikutidistribusi chi-square denganderajatbebas k jikadanhanyajika A idempotendengan rank=k. • Jika y adalahvektor random berdistribusi normal denganμdanvariansσ2I, σ2>0. Dan A adalahmatriksimetris n xn. Maka (1/σ2)y’Aymengikutidistribusi chi-square noncentraldenganderajatbebas k dan parameter noncentralλ=(1/2σ2)μ´Aμjikadanhanyajika A matrikidempotendengan rank samadengan k.

6. Distribusi Multivariate Normal Definisi Jika y adalah vektor random n x 1 berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan C adalah matrik nonsingular n xn, serta kita tentukan vektor z= C’y. Maka z mengikuti distribusi multivariate normal. z disebut sebagai variabel random normal multivariat.

7. Implikasidaridefinisiiniadalah: • Setiapkomponenvektor z merupakankombinasi linier dari random variabel (y1, y2, …,yn) yang berdistribusi normal. • Aturanekspekatasidanvariansdapatdigunakanuntukmembuktikanbahwa E(z)=C´μdanvar(z)= C´IC= C´C. Varins-kovarinsmatrikdari random variabelmultivariat normal dapatdinyatakandalambentuk C´C untuksetiapmatrik nonsingular C.

8. Theorema Jika y adalah variabel random berdistribusi multivariat normal dengan rata-rata μ dan variance V. Dan A matrik simetris n x n. Maka y΄Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) μ΄Aμ jika dan hanya jika AV idempoten dengan rank k.

9. Bukti: Jika y adalah variabel random berdistribusi normal multivariat maka terdapat matrik non singular C shg V=C´C. Misal didefinisikan z dengan z=(C´)-1(y-μ) Dengan mengalikan dengan C´ diperoleh y= C´z+ μ Sehingga bentuk kuadrat menjadi y´Ay= (C´z+ μ)´A(C´z+ μ) Persamaan di atas dapat dinyatakan sbg y´Ay= u´Bu Dengan u=z+(C´)-1μ dan B=CAC´

10. u berdistribusi normal dengan rata-rata (C´)-1μ dan varians I. Berdasarkan theorema sebelumnya maka u´Bu mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) [(C´)-1μ]´B[(C´)-1μ], jika dan hanya jika B=CAC´ idempoten dan rank=k. Maka perlu dibuktikan bahwa B idempoten dan rank=k jika dan hanya jika AV idempoten dan rank=k.

11. B idempoten artinya B2=B. B2=B (CAC´) (CAC´) = CAC´ CA(C´C)AC´= CAC´ CAVAC´ = CAC´ C-1CAVAC´C = C-1CAC´C AVAC´C = AC´C (AV)(AV)=AV

12. Akibat: • Jika y adalahvektor random n x 1 berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variance V. Dan A matriksimetris n x n. Maka y΄Ay mengikutidistribusi chi-square denganderajatbebas k jikadanhanyajika AV idempotendengan rank k. • Jika y adalahvektor random n x 1 berdistribusi normal dengan rata-rata μdan variance V. Maka y΄V-1y mengikutidistribusi chi-square noncentraldenganderajatbebas n dan parameter noncentralλ=(1/2) μ΄V-1μ .

13. IdependensiBentukKuadrat LEMMA Jika A1, A2, …, Amadalahsekumpulanmatriksimetris k x k. Kondisiperludancukup agar terdapatorthoganlmatriks P sehingga P´AiPmerupakan diagonal adalahAiAj=AjAiuntuksetiappasangan (i,j).

14. Theorema Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AVB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AVB =0.

15. Akibat dari theorema di atas: Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians σ2I. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AB =0.

16. Theorema: Jika y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A matriks simetris n x n dan B matriks m x n. Jika BVA =0, maka y΄Ay dan By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan By saling independen, maka BVA =0.

17. Theorema Mis y adalah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians I. Dan y´A1y, y´A2y, …, y´Amy adalah bentuk kuadrat sebanyak m, Ai adalah matriks simetris dengan rank ri. Jika terdapat dua dari tiga pernyataan dibawah ini benar, maka untuk setiap i, y´Aiy mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas ri dan parameter noncentral λi =(1/2)μ´Aiμ. Demikian juga y´Aiy dan y´Ajy saling bebas untuk i≠j dan ∑ ri =r dengan r adalah rank dari ∑ Ai. 1. Semua Ai idempoten 2. ∑ Ai idempoten 3. AiAj=0; i≠j