Le Geometrie non euclidee

1. Le Geometrie non euclidee Prof. Claudio Rosanova Liceo Scientifico E. Medi Barcellona P.G.

2. L’opera “Elementi” di Euclide • Euclide (300 a.C.) riorganizza la geometria in forma sistematica di tipo ipotetico-deduttivo • Raccoglie tutte le conoscenze dei matematici in 13 libri • Nei primi 4 vi sono i concetti fondamentali della geometria piana

3. Il Primo Libro degli Elementi • 23 definizioni: descrizione intuitiva dei concetti geometrici con riferimento al reale • “”Punto è ciò che non ha parti” • Assiomi o nozioni comuni: verità di carattere generale che hanno validità universale • 5 postulati: verità evidenti, caratteristiche della geometria

4. Costruzione della geometria euclidea DEFINIZIONI POSTULATI ASSIOMI TEOREMI

5. Il V Postulato • “Se due rette con una trasversale formano angoli coniugati interni la cui somma è minore di due retti, quelle due prolungate si incontrano dalla stessa parte in cui stanno gli angoli” A P   B

6. Altre formulazioni • “Due rette parallele formano con una trasversale angoli coniugati interni supplementari” (Tolomeo) • “Due rette complanari equidistanti sono parallele” (Posidonio)” • “Per un punto fuori da una retta si può condurre una ed una sola retta parallela alla retta data” (Proclo)

7. Il gesuita Saccheri (1677-1733) • Opera: “Euclide emendato da ogni macchia” (1733) • Tenta di dare una dimostrazione per assurdo del quinto postulato • “Ammettiamo i primi 4 postulati e neghiamo il quinto: se si ottiene il teorema T e il nonT allora il V è valido!”

8. L’opera di Saccheri • Trovò teoremi poco intuibili, ma logicamente validi, e credette di aver trovato la contraddizione! Getta invece le basi per le geometrie non euclidee. • Utilizza il cosiddetto “Quadrilatero Birettangolo Isoscele”

9. Il QUADRILATERO BIRETTANGOLO ISOSCELE D M C      A N B

10. D C      A B L’ipotesi dell’angolo retto • AB=CD • Somma angoli interni triangolo = 180° • Corrisponde alla geometria euclidea

11. D C      A B L’ipotesi dell’angolo ottuso • AB>CD • Somma angoli interni triangolo > 180° • Vale se vale il V postulato, ma ciò implica l’ipotesi dell’angolo retto: è pertanto contraddittoria.

12. D C      A B L’ipotesi dell’angolo acuto • AB<CD • Somma angoli interni triangolo < 180° • Conduce all’esistenza di rette complanari asintotiche: Saccheri la esclude perché contraria all’intuizione, sebbene logicamente valida.

13. Lambert e Legendre • Riprendono l’opera di Saccheri ma le loro ricerche sono viziate da un errore filosofico: “il V postulato è una verità assolutamente indimostrabile e non può essere negato!”.

14. Il russo Lobatceskij • Gauss (1824) afferma che una geometria fondata sui primi 4 postulati e sulla negazione del V non è contraddittoria, ma non ha il coraggio di pubblicare la sua opera • Lobatceskij nel 1829 fonda la geometria iperbolica

15. Il ragionamento di Lobatceskij P s l l’ r A B O t

16. Il ragionamento di Lobatceskij • Per P passano secanti e non secanti: l e l’ sono le due rette parallele ad r • () è l’angolo di parallelismo • La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due retti • 2R-(++)=  è il difetto angolare • L’area del triangolo vale A=k2 

17. Il ragionamento di Lobatceskij • Se A tende a 0,  tende a zero e la somma degli angoli interni di un triangolo vale 2R • Allora la geometria euclidea è il limite della geometria iperbolica al tendere di A a zero • In generale, A k2 (se =  allora la somma degli angoli vale zero) • La geom. euclidea vale su scala terrestre e astronomica

18. Riemann (1826-66) • Costruisce la geometria ellittica • Assioma di Riemann: “Due rette hanno sempre in comune un punto”, quindi non esistono rette parallele • Viene modificato il postulato dell’infinità della retta, introducendo il concetto di ILLIMITATO

19. La teoria di Riemann • L’illimitato come relazione di estensione: non legittima lo spazio come infinito • L’infinito come relazione metrica • Se lo spazio ha curvatura costante, allora sarebbe finito appena la curvatura avesse un valore positivo • Non vi è accordo tra relazioni metriche e postulato di Euclide

20. C A B D Caratteri della geometria ellittica • La retta è una linea chiusa • Non vale la relazione d’ordine euclidea • Per ordinare i punti è necessaria la relazione di separazione • S(A,B/C,D)  A,B separano C,D

21. . B . r1 A r1 r2 Caratteri della geometria ellittica • Segmento AB: • per Euclide “insieme dei punti di r che stanno tra A e B” • Per Riemann: PR Q  non S(A,B/C,D) è una relazione di equivalenza e vi sono due classi r1 e r2 dette segmenti

22. . . B B . . r r A A Caratteri della geometria ellittica • Una retta non divide il piano

23. Il modello di Beltrami (1835-1900) • Esistono linee su una superficie che hanno le stesse proprietà delle rette nel piano: le GEODETICHE • Le geodetiche sono linee i cui tratti rappresentano la minima distanza tra due punti della superficie

24. Il modello di Beltrami (1835-1900) • Si hanno tre casi: • 1) la curvatura vale zero: si ha il piano e quindi la geometria euclidea; • 2) la curvatura è negativa: si ha la superficie a curvatura negativa e quindi la geometria iperbolica; • 3) la curvatura è positiva: si ha la superficie a curvatura positiva e quindi la geometria ellittica;

25. Il modello di Beltrami (1835-1900) • Intoduce tre superfici curve dello spazio: • La sfera (geom. ellittica) • il cilindro (geom. euclidea) • la pseudosfera (geom. iperbolica)

26. P B A Il modello di Klein (1849-1925) • Sostituisce il V postulato con il seguente: • “Per un punto P fuori da una retta passano due rette parallele alla retta data”