Le geometrie non euclidee: il paese delle meraviglie

1. Campana Matteo Alberta Sassara Gianluca Proietti Giulia Vernali PRESENTANO Le geometrie non euclidee: il paese delle meraviglie

2. I postulati di Euclide • Tra due punti è possibile tirare una sola retta • Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente • Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio • Tutti gli angoli retti sono uguali • Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

3. Oppure… • Date due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli coniugati interni è pari ad un angolo piatto • Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data. (Assioma di Playfair) • Rette parallele sono equidistanti. (Posidonio, I sec. a. C.) • La totalità dei punti equidistanti da una retta data , e dalla medesima parte di essa, costituisce una linea retta. (Cristoforo Clavio, 1574) • Rette che non sono equidistanti convergono in una direzione e divergono nell'altra. (Pietro Antonio Cataldi, 1603) • Esiste una coppia di triangoli simili e non congruenti. (Gerolamo Saccheri, 1733) • In ogni quadrilatero con tre angoli retti, anche il quarto angolo è retto. (Alexis-ClaudeClairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)

4. L’origine delle geometrie non euclidee Vi è del vero in ciò: molte cose hanno un'epoca in cui sono scoperte allo stesso tempo in luoghi differenti, come viole a primavera. (lettera di FarkasBolyai al figlio Jànos) • Gauss, 1813 • Ferdinand Schweikart, 1818 • NicolajIvanovicLobacevskij, 1830 • JànosBolyai, 1831

5. Gauss Ho creato dal nulla un nuovo universo. (Gauss all’amico Farkas) Scrive lettere private agli amici pregando loro di mantenere il silenzio per evitare “strida dei beoti” • «Nella geometria non euclidea non esistono figure simili che non siano anche uguali; gli angoli di un triangolo equilatero non hanno misura costante ma, al crescere della lunghezza dei lati, diventano piccoli a piacere.» • La formula che esprime, nella geometria non euclidea, la misura della circonferenza di raggio R: k è una costante, della quale noi sappiamo per via d'esperienza che essa deve essere eccezionalmente grande: è l'unità assoluta di misura dei segmenti di cui parla Gauss

6. Ferdinand Schweikart(1780-1859) «Esistono due tipi di geometria - una geometria in senso ristretto, la euclidea; ed una seconda geometria astrale in cui i triangoli hanno la particolarità che la somma dei loro tre angoli non è uguale a due angoli retti ed è tanto più piccola quanto più è grande l'area del triangolo.» «L'altezza di un triangolo rettangolo isoscele, pur crescendo al crescere dei lati, tuttavia non può superare un certo segmento che io chiamo costante e che la geometria euclidea vale nell'ipotesi che la costante sia infinitamente grande.» Franz AdolphTaurinus(1794-1874) • Giurista • Geometria logaritmico-sferica: la somma degli angoli di un triangolo è minore di π e al tendere dei lati del triangolo a 0 la somma tende a π e i triangoli differiscono sempre meno da quelli euclidei • Le formule della nuova trigonometria si potevano ottenere da quelle dell'usuale trigonometria sferica considerando immaginario il lato della sfera: al posto di r

7. JànosBolyai Studio di una superficie a curvatura variabile Scienza dello spazio assolutamente vera: geometria indipendente dal V postulato «Per una sfera di raggio infinito F la geometria sferica è identica a quella piana.» • Sviluppala trigonometria piana nel caso non euclideo, ne applica le formule al calcolo delle aree e affronta il problema della costruzione di un quadrato equivalente ad un dato cerchio. NicolajIvanovicLobacevskij(1793-1856) Rifondazione globale della geometria. Sviluppò una geometria nella quale il V postulato non fosse vero, o meglio, non fosse indispensabile a qualunque geometria coerente.

8. Giovanni Girolamo Saccheri(1667-1733) Gesuita e matematico Vuole dimostrare il V postulato attraverso una dimostrazione per assurdo: Il quadrilatero Ipotesi sugli angoli del quadrilatero opposti a quelli costruiti retti: Gli angoli sono entrambi retti → si accetta il V postulato Gli angoli interni sono entrambi ottusi → si nega il V postulato Gli angoli interni sono entrambi acuti → si nega il V postulato «L'ipotesi dell'angolo ottuso è completamente falsa, poiché distrugge se stessa.» «L'ipotesi dell'angolo acuto è assolutamente falsa, poiché ripugna alla natura della linea retta.» Data l’inconsistenza della sua confutazione si sente la necessità di approfondire la questione e si apre la strada alle geometrie non euclidee.

9. La geometria iperbolica Negazione dell’assioma di Playfair: Esistono almeno un punto P ed una retta AB tali che: I) P non è su AB né sul suo prolungamento. II) Per P passano almeno 2 rette parallele ad AB

10. Le parallele iperboliche Teorema 1 Le infinite rette che entrano nell'angolo YPX, se prolungate, intersecano AB o il suo prolungamento Le infinite rette che entrano nell'angolo ZPX, per quanto prolungate, non incontrano mai la retta AB né il suo prolungamento. Queste sono dunque parallele ad AB

11. Definizione La distinzione tra parallelismo asintotico e parallelismo divergente è fatta in riferimento a punti specifici. Per ora non possiamo parlare di una retta semplicemente come di una parallela asintotica o di una parallela divergente senza fare riferimento ad un punto particolare.

12. Le parallele asintotiche Possiamo pensare che ciascuna delle parallele asintotiche punti in una direzione particolare (direzione di parallelismo): per WPX la direzione di parallelismo è da W verso X, e per YPZ è da Z verso Y. Teorema 2 Le parallele asintotiche ad una retta passanti per un punto formano angoli uguali e acuti con la perpendicolare condotta dal punto alla retta.

13. Teorema 3 Se una retta è la parallela asintotica per un punto dato, in una direzione data, a una retta data, allora essa è, per ognuno dei propri punti, la parallela asintotica nella direzione data alla retta data. Corollario Se una retta è per un punto una parallela divergente a una retta data, allora essa lo è anche per ciascuno dei propri punti. Possiamo concludere che la proprietà di parallelismo, sia asintotico che divergente, è una proprietà della retta globalmente intesa.

14. Il biangolo Se dagli estremi di un segmento di retta data, e da uno stesso lato vengono tracciate due rette parallele asintoticamente l'una all'altra nella direzione in cui si allontanano da essa, la figura che ne risulta si dice biangolo, e il segmento dato ne è la base. XABY è un biangolo. Ha solo due angoli, da cui il nome, poiché i prolungamenti di AX e di BY non si incontrano mai. AB è la base. WABZ non è un biangolo perché la direzione di parallelismo è verso AB e non a partire da AB come dovrebbe essere. Teorema 8 In un biangolo un angolo esterno è maggiore dell'angolo interno e opposto.

15. Le parallele divergenti Teorema 16 Se XABY è un biangolo e WCDZ è una figura composta da tre rette tali che CD=AB, ^WCD=^XAB e ^CDZ=^ABY, allora anche WCDZ è un biangolo. Teorema 17 Due parallele divergenti hanno un'unica perpendicolare comune.

16. Teorema 18 Due parallele divergenti si allontanano l'una dall'altra da parti opposte rispetto alla perpendicolare comune. La perpendicolare comune rappresenta la distanza di massimo avvicinamento di due parallele divergenti, e, scelto un punto su una delle due rette, più questo è distante dalla perpendicolare comune, maggiore è la lunghezza della perpendicolare condotta da questo punto all'altra retta.

17. L’angolo di parallelismo p(l) = ^XPQ = ^YPQ < 90° La grandezza dell'angolo rappresentato da p(l) non dipende dal punto P o dalla retta AB, ma soltanto dalla distanza l fra essi.

19. Teorema 12 La base e la sommità di un quadrilatero di Saccheri sono parallele divergenti, e tali sono pure gli altri due lati. Teorema 13 Gli angoli alla sommità di ogni quadrilatero di Saccheri sono acuti. Un altro modo di rappresentare il quadrilatero di Saccheri Gli angoli ^ADMe ^MCB sono effettivamente acuti, e la sommità del quadrilatero è più lunga della base.

20. I triangoli nella geometria euclidea E' evidente come l'invarianza della somma degli angoli interni di un triangolo discenda da una proprietà delle rette parallele che si fonda sul V postulato di Euclide. Nella geometria iperbolica non abbiamo il V postulato e di conseguenza il Teorema 29 di Euclide, non è quindi affatto scontato che gli angoli di un triangolo iperbolico si comportino come quelli di un triangolo euclideo.

21. I triangoli iperbolici In un triangolo la somma di due angoli è minore di un angolo piatto. Teorema 14 La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di 180°. Dimostrazione CAB = ^CAD + ^DAB^ABD = ^ABC + ^CBD → per costruzione → poichè i triangoli ACM e MBD sono congruenti ^ACB = ^CBD^CAD = ^ADB ^ABC + ^BCA + ^CAB = ^ABC + ^CBD + (^CAD + ^ DAB) =(^ABC + ^CBD) + ^CAD + ^DAB =^ABD + ^ADB + ^DAB ^ACB + ^ABC + ^CAB < 180° Corollario La somma degli angoli di ogni quadrilatero è minore di 360°.

22. Teorema 15 Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre angoli, allora sono congruenti. Inoltre, nella geometria iperbolica, non esiste la similitudine. Teorema 19 (generalizzazione) Se la somma dei tre angoli di un triangolo è uguale alla somma dei tre angoli di un altro triangolo, allora i due triangoli hanno la stessa area.

23. Il teorema di Pitagora Negli Elementi di Euclide viene dimostrato facendo uso del V postulato… Naturalmente nella geometria iperbolica non vale!!! Il Teorema 13 ci porta ad affermare che in un quadrilatero di Saccheri la sommità è sempre più lunga della base. Se, per assurdo, fosse valido il Teorema di Pitagora: • BC2=AB2+AC2 • DE2=AD2+AE2 Ma AD=1/2 AB e AE=1/2 AC, dunque DE2=(1/2 AB)2+(1/2 AC)2 =1/4 AB2+1/4 AC2=1/4 (AB2+AC2) E 1/4 (AB2+AC2) = 1/4 BC2 quindi DE2=1/4 BC2 → DE=1/2 BC Ma DE=1/2 FG … otteniamo che la sommità BC è uguale alla base FG. Questa è una contraddizione.

24. L’area di un triangolo iperbolico Quanto è più grande l’area di un triangolo iperbolico, tanto minore è la somma dei suoi angoli. Definizione Il difetto di un triangolo è ciò che manca alla somma dei suoi angoli per raggiungere 180°: d=180°-α-β-γ I difetti dei triangoli sono additivi. • d(ABD)+d(ADC) = (180°-α-β-γ) + (180°-δ-ε-+Φ) = • 180°-α-β-γ + 180°-δ-ε-Φ = • 180°-α-β - (γ + δ) + 180°-ε-Φ= • 180°-α-β - 180° + 180°-ε-Φ = 180°-α-β-ε-Φ = 180°-α- (β+ε) -Φ= 180°-α - ^BAC -Φ = d(ABC) Naturalmente il fatto che i difetti siano additivi è il motivo per cui i triangoli con area più grande hanno la somma degli angoli minore.

25. Il limite superiore per l’area dei triangoli È possibile costruire un triangolo la cui area sia maggiore di qualsiasi area data. Fra area e difetto di due qualunque triangoli iperbolici ABC e DEF vale la seguente proporzione: Area(ABC) : difetto(ABC) = Area(DEF) : difetto(DEF) Supponiamo ora che ABC sia un triangolo generico di cui vogliamo trovare l'area e DEF un triangolo particolare; sia poi k il valore del rapporto Area(DEF) / difetto(DEF). • Area(ABC) / difetto(ABC) = k → Area(ABC) = k difetto(ABC) K è una costante ed è indipendente dal particolare triangolo DEF utilizzato in origine per esprimerla. Il difettod=180° - α - β - γdi un triangolo ABC è sempre <180°. ↓ Area(ABC) = k difetto(ABC) < k 180° L'area di un triangolo iperbolico è limitata superiormente: nessun triangolo iperbolico può avere un'area che uguagli o superi il valore k 180°.

26. Coerenza di un sistema assiomatico formale Siamo sicuri che, negli sviluppi di questa nuova geometria, non incontreremo una contraddizione che la distruggerebbe dalle fondamenta? Un sistema assiomatico è detto coerente se non dà luogo ad alcuna contraddizione nei suoi fondamenti. Di solito, per dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico formale, se ne fornisce un "modello". Dicesi modello di un sistema assiomatico formale ogni interpretazione dei termini primitivi tale che gli assiomi diventino enunciati veri. Per la geometria iperbolica si conoscono solo dimostrazioni di coerenze relative.

27. Eugenio Beltrami (1835-1900) Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868) Aveva trovato all'interno della geometria euclidea, una superficie di rotazione, la pseudosfera, che poteva essere interpretata come un modello euclideo di geometria non euclidea. Trattice: quella curva per la quale è costante il segmento di tangente compreso tra il punto di contatto e una retta fissa del piano Pseudosfera: ha una curvatura costante come quella di una sfera, ma di segno negativo -1/k2 Il modello di Beltrami aveva il difetto di essere valido solo localmente.

28. Il modello di Poincaré(1854-1912) Lo scienziato non studia la natura perché è utile, ma perché ne prova piacere e ne prova piacere perché è bella. Se la natura non fosse bella, non varrebbe la pena studiarla e la vita non varrebbe la pena di essere vissuta. […] Gli assiomi della geometria sono delle convenzioni; la nostra scelta, fra tutte le convenzioni possibili, è guidata da fatti sperimentali, ma resta libera e non trova dei limiti che nella necessità di evitare le contraddizioni. […] Una geometria non può essere più vera di un'altra; può essere soltanto più comoda. Modello valido globalmente di geometria iperbolica

29. Lo spazio è un disco, le cui rette sono archi di circonferenza segmenti di retta perpendicolari al bordo del disco. Gli angoli formati fra due rette sono quelli usuali, ma la distanza fra due punti è definita in modo completamente differente da quella euclidea: questa tende a infinito quando uno dei due punti viene spostato verso il bordo del disco. I punti nel bordo sono quindi "punti all'infinito".

30. Modello di Klein Si fissa una conica K irriducibile (un'ellisse o una circonferenza), e si danno le seguenti interpretazioni degli enti primitivi: • Punto:un punto interno a K; quindi i punti appartenenti al bordo della conica non sono inclusi in questo modello • Retta: corda di K con estremi esclusi • Piano: l'insieme dei punti interni a K

31. Poligoni • Un quadrato è un poligono con 4 lati di eguale lunghezza e 4 angoli uguali α. Nella geometriaiperbolica α può essere un qualsiasi angolo acuto.

32. Un ottaedro iperbolico La geometria iperbolica si estende dal piano allo spazio, e anche in dimensioni arbitraria. Ciascuno dei modelli di spazio iperbolico ha infatti una naturale generalizzazione in dimensione n qualsiasi. Esiste quindi una geometria solida dello spazio iperbolico tridimensionale che è oggetto di studio della matematica contemporanea. Di particolare interesse sono i poliedri iperbolici, come l'ottaedro mostrato in figura.

33. BernhardRiemann Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria La geometria come un caso particolare di un nuovo concetto matematico ossia una varietà pluridimensionale. «È noto che la geometria presuppone, come qualcosa di dato, sia il concetto di spazio, sia i primi concetti fondamentali per le costruzioni nello spazio. Di essi dà soltanto definizioni nominali, mentre le determinazioni essenziali compaiono sotto forma di assiomi.» Introduce il concetto di grandezza molteplicemente estesa o molteplicità → nello spazio fisico possono essere applicate proprietà metriche diverse. La geometria euclidea vale solo a livello macroscopico. « Ora, sembra che i concetti empirici su cui sono basate le misurazioni spaziali, in particolare i concetti di corpo solido e di raggio luminoso, cessino di valere nell'infinitamente piccolo» La geometria ha il suo fondamento nell'analisi e analiticamente sono possibili geometrie diverse e le misurazioni empiriche non sono in grado di determinare con precisione le caratteristiche geometriche dello spazio fisico. Le nuove geometrie vennero bollate come "geometrie del soprasensibile" o "da manicomio".

34. Somma degli angoli di un triangolo euclideo

35. La geometria sulla sfera Il piano e la superficie di una sfera sono entrambi ambienti geometrici bidimensionali. È importante osservare che la corrispondenza tra punti e coordinate, oltre ad essere biunivoca, è bicontinua: se variamo di poco la posizione di P, cambieranno di poco le sue coordinate (e viceversa). La superficie di una sfera è un oggetto geometrico bidimensionale; ma possiamo concepirlo solo se immerso nello spazio tridimensionale. Il punto di vista di un essere bidimensionale, nello studio della geometria della sfera, lo chiameremo intrinseco. Chiameremo invece estrinseco il nostro punto di vista tridimensionale che ci consente di contemplare la superficie di una sfera immersa nello spazio. La nozione di centro della superficie sferica è una nozione intrinseca o estrinseca?

36. Circonferenze massime • Sfera: l'insieme dei punti dello spazio euclideo che hanno distanza minore o uguale a r da O • Superficie sferica: l'insieme dei punti che hanno distanza uguale a r da O • Ogni piano che tagli una sfera determina per sezione un cerchio; i cerchi sezione hanno naturalmente raggi diversi: si va da una situazione limite di raggio nullo alla situazione in cui il raggio è massimo ed è uguale al raggio della sfera. • Quando il piano che sega la sfera passa per il centro della sfera: la sezione è un cerchio massimo e sulla superficie sferica viene individuata una circonferenza massima.

37. Due punti P e P' sulla superficie di una sfera si dicono antipodali o opposti se sono allineati con il centro O della sfera (anche questa è una definizione estrinseca)

38. Proprietà 1 • Per ogni punto P sulla superficie di una sfera passano infinite circonferenze massime. • Dimostrazione • Per la prima osserveremo che per un punto P e il centro O passano infiniti piani (possono ruotare liberamente attorno all'asse PO). • Proprietà 2 • Sulla superficie di una sfera, per ogni coppia P, Q di punti non antipodali passa una e una sola circonferenza massima • Dimostrazione • Per tre punti non allineati P, Q ed O passa uno e un solo piano che, contenendo O, individua sulla superficie della sfera un'unica circonferenza massima

39. Analogamente sulla superficie di una sfera una circonferenza massima è individuata in modo univoco da due punti purché non siano antipodali. Possiamo allora assumere che le linee "rette" sulla superficie di una sfera siano le circonferenze massime?

40. I percorsi più brevi Tutti sanno che il percorso più breve che collega due punti P e Q nel piano euclideo è un segmento di linea retta. Le rette sono dunque caratterizzate da una proprietà di "minimo“. Proprietà 1 Comunque presi due punti P e Q su una retta r, il segmento PQ di r è il percorso più breve da P a Q tra tutti i percorsi possibili. Dovremmo allora verificare che esse ci forniscono il percorso più breve tra due punti di S2: si procede sperimentalmente.

41. Nozione intrinseca di distanza tra due punti: è la lunghezza dell'arco minore di circonferenza massima che collega P con Q. ).

42. Il concetto unificante di linea geodetica Diremo che una linea γ  tracciata sulla superficie Σ è una linea geodetica se ogni arco non troppo lungo di γ, i cui estremi siano i punti A e B, è il percorso più breve da A a B tra tutti quelli tracciabili su Σ.

43. Curvatura Le circonferenze sono linee piane a curvatura costante e la loro curvatura è uguale all'inverso del raggio. Facciamo tendere verso P sia il punto A che il punto B:individueremo una circonferenza limite, che prende il nome di cerchio osculatore a γ in P. Èanche chiaro cosa si debba intendere per raggio di curvatura e centro di curvatura per una curva γ in P: si tratta rispettivamente del raggio e del centro del cerchio osculatore a γ in P.

44. Maggiore il raggio della circonferenza ↓ minore la curvatura ↓ minore la lunghezza dell'arco AB di circonferenza

45. Geodetiche e curvatura intrinseca Da un punto di vista intrinseco le circonferenze massime non hanno curvatura. Nel caso del primo percorso le ruote si muovono su paralleli simmetrici rispetto all'equatore quindi percorrono la stessa distanza; nel secondo percorso la ruota più a nord percorre invece una distanza minore di quella più a sud (stiamo curvando).

46. Circonferenze intrinseche Nella figura a fianco è rappresentata una circonferenza intrinseca di centro P e raggio s. Ma da un punto di vista estrinseco avrebbe centro e raggio diversi:

48. La misura della raggio intrinseco r non è altro che la misura in radianti dell'angolo a r'=sena r Quindi c=2p sen r Quindi il rapporto tra circonferenza e diametro (intrinseco) non è, nella geometria sulla sfera, costante e vale c/(2r) = p sen r / r La costante p non può dunque essere definita in modo intrinseco come rapporto tra circonferenza e diametro. Si osservi tuttavia che per valori del raggio intrinseco r molto piccoli (prossimi a zero) si ritrova la situazione euclidea. infatti si ha lim   p sen r / r = p r®0 ricordando che lim  sen r / r = 1 r®0

49. Geodetiche e curvatura estrinseca

50. Triangoli sferici Nella figura a fianco vedete un triangolo sferico: i suoi tre lati sono naturalmente segmenti di S2, cioè archi geodetici. Chiamiamo triangolo sferico quella regione che ha area minore delimitata da tre archi minori venti a coppie un estremo in comune. Viene dunque a cadere il teorema euclideo sulla somma degli angoli di un triangolo. Ma c'è di più: mentre la somma degli angoli è costante per i triangoli euclidei, per i triangoli sferici tale somma varia al variare del triangolo.