Vlny

1. Vlny

2. Postupné vlny u ? výchylka jiné částice (v místě x) výchylka počátku provazu „libovolná“ funkce času zpoždění částice opakuje stejný pohyb se zpožděním

3. Postupné vlny u „libovolná“ funkce popisuje postupnou vlnu jdoucí rychlostí v ve/proti směru osy x

4. Příčné a podélné vlny Příčná (transverzální) vlna Polarizace - směr výchylky zde lineárně polarizovaná vlna Existují dvě ortogonální polarizace Podélná (longitudinální) vlna

5. Postupná rovinná vlna Příčná (transverzální) vlna Polarizace - směr výchylky zde lineárně polarizovaná vlna Existují dvě ortogonální polarizace Podélná (longitudinální) vlna

6. Vlny v přírodě

7. Přenos informace?

10. Sinusové (harmonické) postupné vlny u „libovolná“ „libovolná“ harmonická („sinusová“)

11. Sinusové (harmonické) postupné vlny u Všechny body kmitají se stejnou frekvencí a amplitudou. Fáze se mění lineárně s polohou. „libovolná“ „libovolná“ harmonická („sinusová“)

12. Sinusové (harmonické) postupné vlny u u - vlnový vektor udává směr šíření vlny fázová rychlost

13. Proč fázová? u poloha myšleného bodu (ne částice prostředí!), jehož stav (=fáze) se nemění rychlost bodu jehož fáze je konstantní

14. Proč fázová? x poloha myšlených bodů, jejichž fáze je konstantní (tyto body tvoří tzv. vlnoplochu) rovnice roviny => vlnoplocha je rovina rychlost postupu vlnoplochy

15. Pozn. různá vyjádření sinusové postupné vlny komplexní vyjádření - Re si musíme domyslet konvence v HRW

16. Modelový příklad:Vlny na struně

17. Vlny na struně přejdeme od „korálků na (nehmotné) struně“ ke struně se spojitě rozloženou hmotností T T T - napětí ve struně x pohybová rovnice: ?

18. pohybová rovnice: ? 0pro

19. pohybová rovnice: vlnová rovnice Jsou postupné vlny řešením této rovnice? derivujeme složenou funkci Ano, pokud

20. Vlnová rovnice a postupné vlny (shrnutí) (bezdisperzní) vlnová rovnice Postupná vlna je řešením vlnové rovnice. postupná vlna dvakrát diferencovatelná funkce Pro postupné vlny dále platí rovnice postupných vln

21. Energie a výkon vlny Aby vytvořil harmonickou vlnu, musí konat práci, tedy dodávat výkon vlně. Energie se šíří prostředím s rychlostí šíření vlny (?) - upřesníme později. Pro harm. oscilátor Přenášený výkon = rychlost šíření energie × energie (na jednotku délky) (důkaz později)

22. Princip superpozice Důkaz: je lineární lineární kombinace řešení je také řešení: řešení řešení tedy také řešení (stačí dosadit)

23. Princip superpozice

24. Odraz na pevném a volném konci Pevný konec pro harmonickou vlnu: odražená vlna je v protifázi s přicházející vlnou. Volný konec pro harmonickou vlnu: odražená vlna je ve fázi s přicházející vlnou. (podrobně později) x

25. Interference vln u uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které jsou navzájem fázově posunuty a postupují stejným směrem dráhový rozdíl v HRW to už známe, jedná se o skládání stejnosměrných harmonických kmitů (případ kdy jsou stejné frekvence i amplitudy) Záleží na fázovém rozdílu

26. Interference vln u uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které jsou navzájem fázově posunuty a postupují stejným směrem dráhový rozdíl vnikne opět harmonická vlna o stejné vlnové délce postupující stejným směrem Interference: amplituda výsledné vlny se v závislosti na fázovém rozdílu může měnit z minimální hodnoty do maximální hodnoty

27. Interference vln u u (plně) konstruktivní interference (plně) destruktivní interference fázový rozdíl: dráhový rozdíl: - lib. celé číslo vnikne opět harmonická vlna o stejné vlnové délce postupující stejným směrem Interference: amplituda výsledné vlny se v závislosti na fázovém rozdílu může měnit z minimální hodnoty do maximální hodnoty

28. Interference vln u u (plně) konstruktivní interference (plně) destruktivní interference fázový rozdíl: dráhový rozdíl: - lib. celé číslo

29. (pozn. konvence v HRW) y

30. Stojaté vlny uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které postupují navzájem opačným směrem u Není to postupná vlna! pohyb každého bodu prostředí je harmonický amplituda kmitů se mění harmonicky v prostoru

31. Stojaté vlny uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové délce, které postupují navzájem opačným směrem nepohybují se dvojnásobná amplituda Není to postupná vlna! pohyb každého bodu prostředí je harmonický amplituda kmitů se mění harmonicky v prostoru

32. Stojaté vlny zvolme počátek osy x tak, aby v něm byl uzel uzel uzel uzel kmitna kmitna x 0 polohy uzlů: - libovolné celé číslo - libovolné celé číslo polohy kmiten:

33. Jak vytvoříme stojaté vlny? Pomocí odrazu Pevný konec - uzel pro harmonickou vlnu: odražená vlna je v protifázi s přicházející vlnou. Volný konec - kmitna pro harmonickou vlnu: odražená vlna je ve fázi s přicházející vlnou. x

34. Stojaté vlny konečné struny polohy uzlů: na obou koncích struny musí být uzel

35. Vlastní kmity (mody), rezonance vlastní funkce vlastní frekvence V každém okamžiku lze popsat tvar struny pomocí superpozice modů. vlastní funkce pro první 3 harmonické frekvence

36. Vlastní kmity (mody), rezonance (2D) http://en.wikipedia.org/wiki/File:Drum_vibration_mode12.gif

37. Charakteristická impedance (struna jako nucený oscilátor) y Aby vytvořil vlnu, musí působit silou. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. T - napětí ve struně

38. Charakteristická impedance (struna jako nucený oscilátor) y Aby vytvořil vlnu, musí působit silou. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. charakteristická impedance Z = příčná síla / rychlost částice je vlastností struny a napětí, nezávisí na tvaru pulzu

39. Postupná vlna a přenos energie y Aby vytvořil vlnu, musí konat práci, tedy dodávat výkon vlně. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. T - napětí ve struně

40. Energie (pro strunu) u x hustota kinetické energie hustota potenciální energie = práce potřebná ke změně délky / délka = napětí × změna délky / délka změna délky / délka hustota potenciální energie

41. Energie (obecně pomocí Z a v) hustota kinetické energie hustota potenciální energie (platí pro libovolnou vlnu) pro postupnou vlnu

42. Postupná vlna a přenos energie y Aby vytvořil vlnu, musí konat práci, tedy dodávat výkon vlně. Podobně pro každé dvě sousední částice struny. harmonická vlna Platí pro bezdisperzní postupné vlny, tj. splňují

43. Disperze a grupová rychlost

44. Připomeňme si korálky na struně... T T T - napětí ve struně

45. Disperze Disperzní závislost (3 příklady) předpokládané řešení Bezdisperzní vlny - křivka (a) př.: ohebná struna, zvukové vlny v plynu, em vlny ve vakuu Vlny s disperzí - křivky (b) nebo (c) př.: „korálky na struně“, tuhá struna, vlny na vodě, em vlny v látkovém prostředí

46. Pulz (vlnový balík) Princip superpozice: obecný pulz vyjádříme jako superpozici harmonických vln v čase 0 je dáno inverzní Fourierovou transformací funkce (nyní ale proměnná k) rozkládáme prostorovou závislost nebo (snadná substituce v integrálu) v poloze x = 0 to je inverzní Fourierova transformace funkce rozkládáme časovou závislost bez disperze disperze (slabá)

47. Šíření pulzu Princip superpozice: obecný pulz vyjádříme jako superpozici harmonických vln v čase 0 je dáno inverzní Fourierovou transformací funkce (nyní ale proměnná k) rozkládáme prostorovou závislost nebo (snadná substituce v integrálu) v poloze x = 0 to je inverzní Fourierova transformace funkce rozkládáme časovou závislost V disperzním systému se každá harmonická vlna šíří jinou fázovou rychlostí. Dojde tedy k postupnému rozplývání pulzu při jeho postupu.

48. Šíření pulzu vstupující pulz - známe ? vystupující pulz Disperzní prostředí délky x (lineární systém) (srv. Jak najít odezvu na libovolný signál?)

49. Šíření pulzu vstupující pulz - známe vystupující pulz - malé rychle se měnící člen, který se pohybuje fázovou rychlostí pomalu se měnící obálka, která se pohybuje grupovou rychlostí

50. Disperze, grupová rychlost Frequency dispersion in groups of gravity waves on the surface of deep water. The red dot moves with the phase velocity, and the green dots propagate with the group velocity. In this deep-water case, the phase velocity is twice the group velocity. The red dot overtakes two green dots when moving from the left to the right of the figure. http://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity Obálka („amplituda“) a tedy i energie se šíří grupovou rychlostí rychle se měnící člen, který se pohybuje fázovou rychlostí pomalu se měnící obálka, která se pohybuje grupovou rychlostí