Localización de puntos en una subdivisión del plano

1. Localización de puntos en una subdivisión del plano

2. PSLG

3. Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de no dejar de observarlos una vez siquiera: Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución. El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente. Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada. René Descarte (31 de marzo, 1596 - 11 de febrero, 1650) Discurso del método

4. Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de no dejar de observarlos una vez siquiera: Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución. El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente. Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada. René Descarte (31 de marzo, 1596 - 11 de febrero, 1650) Discurso del método

5. PSLG

6. PSLG

9. Teorema 2.1: Toda línea poligonal cerrada C divide el plano en dos regiones, una acotada y la otra no. Además, se puede determinar si un punto p está en la región acotada contando el número de veces que cualquier semirrecta que comienza en p atraviesa a C; p estará en dicha región si y sólo si dicho número es impar. Corolario 2.1: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por una línea poligonal simple cerrada en tiempo O(n). ¿Es óptimo?

10. ¿La repetición n veces de un algoritmo óptimo es la estrategia óptima?

11. SI NO ¿4 < 8? SI NO ¿4 < 5? SI NO ¿4 < 2? 4 está inmediatamente a la derecha de 2 Insertarunnúmeroenunalistaordenada (Búsqueda binaria) 4 1 2 5 6 8 9 10 11 13 1 2 5 6 8 9 10 11 13 1 2 5 6 1 2

12. O(nlog n) • Ordenarnnúmeros • Insertarunnúmeroenunalista ordenada (Búsqueda binaria) O(log n)

13. ¿La repetición n veces de un algoritmo óptimo es la estrategia óptima?

15. 1.- Localizar un punto en el interior del polígono

16. 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente.

17. 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n)

18. 4.- Localizamos en qué región angular estamos.

19. 4.- Localizamos en qué región angular estamos.

20. 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono.

21. 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n)

22. Teorema 2.2: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por un poligono convexo en tiempo O(log n), con O(n log n) de preprocesamiento. 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n) 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n)

29. Decimos que p está en el núcleo de P (p  ker P), si para todo q  P se verifica que el segmento pq está incluido en el interior de P. Lema: El núcleo de un polígono puede calcularse en tiempo O(n log n) núcleo 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n) 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n)

30. Teorema: La intersección de n semiplanos puede calcularse en tiempo O(n log n) Lema: El núcleo de un polígono puede calcularse en tiempo O(n log n)

31. núcleo 1.- Localizar un punto en el interior del polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto pasando por los vértices del polígono. 3.- Ordenar dichas semirrectas según su pendiente. O(n log n) 4.- Localizamos en qué región angular estamos. 5.- En dicha región determinamos si estamos dentro o fuera del polígono. O(log n)

33. Problema de la Galería de Arte  En 1973, Víctor Klee planteó el problema de determinar el mínimo número de guardias suficientes para cubrir el interior de una galería de arte con un número n de paredes. C  En 1975, Chvatal dio la respuesta a dicha pregunta y en 1978 Fisk dio otra demostración.

34. Teorema: n/3 guardianes son siempre suficientes y ocasionalmente necesarios para vigilar un polígono de n lados.

35. http://www.ual.es/~jcaceres/ArtGallery/portada.htm http://www.cs.mcgill.ca/~thierry/artgallery.html

36. PSLG

43. Elmétododelasbandas • Rectas horizontales por los puntos. Preprocesamiento • Ordenar las rectas por ordenada. • Ordenar los segmentos en cada banda. • Localizar la banda en la que está el punto. • Localizar los dos segmentos entre los que se • encuentra el punto.

44. Elmétododelasbandas • Rectas horizontales por los puntos. Preprocesamiento • Ordenar las rectas por ordenada. • Ordenar los segmentos en cada banda. • Localizar la banda en la que está el punto. • Localizar los dos segmentos entre los que se • encuentra el punto.

45. Elmétododelasbandas • Rectas horizontales por los puntos. Preprocesamiento • Ordenar las rectas por ordenada. • Ordenar los segmentos en cada banda. • Localizar la banda en la que está el punto. • Localizar los dos segmentos entre los que se • encuentra el punto.

46. Elmétododelasbandas • Rectas horizontales por los puntos. n2log (n) Preprocesamiento • Ordenar las rectas por ordenada. • Ordenar los segmentos en cada banda. • Localizar la banda en la que está el punto. log (n) • Localizar los dos segmentos entre los que • se encuentra el punto.

47. Bibliografía Computational Geometry: an introduction. F. P. Preparata y M. I. Shamos. Springer-Verlag, 1985. Computational Geometry in C. J. O’Rourke. Cambridge University Press, 1998.