ME623A Planejamento e Pesquisa

1. ME623APlanejamentoePesquisa

2. 5. ExperimentosFatoriais • ExperimentoFatorial com DoisFatores • ExperimentoFatorialGeneralizado (kFatores) • ExperimentoFatorial 2k • ÚnicaReplicação de Um Fatorial 2k • BlocagemeConfundimentoemFatoriais 2k • ExperimentoFatorialFracionado 2k-p

3. Blocagem emFatoriais 2k • Jávimosanteriormentecomoanalisarexperimentosfatoriais com replicaçõesemblocos • Se existemnreplicações, cadareplicação do fatorialcompletoérodadadentro um bloco, istoé, cadablococontémtodosostratamentos • A aleatorizaçãoacontecedentro de cadabloco • Vamosvoltar no exemplodapipoca, emquetínhamosdoisfatores (marcae tempo no microondas) e 3 replicações • Suponha agora queossacos de pipocausadosemcadareplicaçãoforamcompradosemsupermercadosdiferentes. Nessecaso, cadasupermercadoconstitui um bloco

4. Exemplo – Pipoca Experimento da Pipoca em Blocos

5. Blocagem emFatoriais 2k • Todas as SSsãocalculadasdamesma forma que no experimentofatorial 2k • A SSBlocoécalculadapelo total dos blocosB1, B2eB3:

6. Blocagem emFatoriais 2k • A Tabela ANOVA (compare com a ANOVA semblocos): • anova(lm(dados~factor(bloco) + factor(marca)*factor(tempo)))

7. ConfundimentoemFatoriais 2k • A técnica de blocagemémuitoútilquandoépossívelaplicartodasostratamentosdentro de cadabloco • Masequandonãoépossívelrealizarumareplicaçãocompletadentro de um bloco? • Usamosumatécnicachamada de confundimento • Essatécnicaarranja um experimentofatorialcompletoemblocos, ondeotamanho do blocoémenorqueonúmero de tratamentosnumaúnicareplicação • Issofaz com quecertosefeitos (usualmenteinterações de ordemmaisalta) sejamconfundidoscom osblocos

8. ConfundimentoemFatoriais 2k • Os experimentosqueiremosestudaraquisãodelineamentosemblocosincompletos, jáquecadabloconãocontémtodosostratamentos • Aindaassim, a estrutura especial dos fatoriais 2kpermiteumamétodo de análisesimplificado • Iremosconsiderar a construçãoeanálise de fatoriais 2kem 2pblocosincompletos, ondep < k • Issoquerdizerquepodemosusardoisblocos (p=1), quatroblocos (p=2), oitoblocos (p=3) eassimpordiante

9. Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos • Suponhaqueiremosrodarumaúnicareplicação de um fatorial 22, ouseja, 4 tratamentoseestesnecessitam de um certaquantidade de matéria-prima • Cadalote de matéria-prima ésuficienteparaapenas 2 tratamentosseremtestados • Então, precisamos de 2 lotes de matéria-prima ecadaloteéconsiderado um bloco

10. Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos • A ordememquecadatratamentosãorodadosdentro dos blocoséaleatória • Além disso, aleatoriamentedecidimosqualblocorodarprimeiro

11. Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos • Tabela dos sinaispara um fatorial 22 • Cálculo dos efeitosprincipais (ignorandoosblocos) • Os efeitos de A e B nãosãoafetadospelosblocos (note um + e um − nostratamentos de cadabloco)

12. Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos • Vamosagora calcular o efeito da interação AB: • Note que a interaçãoécalculadacomo a diferença dos tratamentos no Bloco1 [(1) e ab] e ostratamentos no Bloco 2 [a e b] • Entãooefeitodainteração AB éidênticoaoefeito do bloco

13. Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos • Nessecasodizemosque AB estáconfundidacom blocos (veja a relaçãonatabela dos sinais) • Essatécnicapode ser usadaparaconfundirqualquerefeito (A, B ou AB) com blocos • Emgeral, usamosessatécnicaparaconfundir a interação de maiorordem

14. Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos • Tabela dos sinaispara um fatorial 23 • Para confundir a interação ABC com blocos, bastaescolherosblocospelascolunas de sinaiscorrespondenteaoefeito ABC

15. Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos bc abc • Esseesquemapode ser usadoparaconfundirqualquerfatorial 2kem 2 blocos c ac ab b Fator B (1) a

16. Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos • No final das contas, o modelofatorialemblocos, emtermos de parâmetrosé o mesmoque o modelofatorial com a interação • Entãoporqueprecisamos saber estemodelo?

17. Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos • No final das contas, o modelofatorialemblocos, emtermos de parâmetrosé o mesmoque o modelofatorial com a interação • Entãoporqueprecisamos saber estemodelo? • Porquealgunsexperimentossãoplanejadosdestamaneira • Podemosentãosimplesmenteconstruir a ANOVA?

18. Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos • No final das contas, o modelofatorialemblocos, emtermos de parâmetrosé o mesmoque o modelofatorial com a interação • Entãoporqueprecisamos saber estemodelo? • Porquealgunsexperimentossãoplanejadosdestamaneira • Podemosentãosimplesmenteconstruir a ANOVA? • Estimar o erroreplicando o desenho. • Ler no livro a extensãopara 2kem 2p blocos

19. ExperimentosFatoriaisFracionados • Jádissemosinúmerasvezesquenosexperimentosfatoriaisonúmero de tratamentosaumentaconsideravelmenteàmedidaqueosaumentamosonúmero de fatores no estudo • Porexemplo: fatorial 26 = 64 tratamentos • Com apenasumareplicação, temos 63 graus de liberdade no total, que se dividemdaseguinte forma: • 6 glparaosefeitosprincipais • 15 glpara as interações de 1ª ordem (interações com doisfatores) • 42 glparainterações de 2ª ordemesuperiores (interações com 3 oumaisfatores)

20. ExperimentosFatoriaisFracionados • Emmuitoscasos, nãoépossívelobterobservaçõesparatodosostratamentos • Se pudermosassumirqueinterações de ordemmaisaltassãonãosignificativas, entãopodemosobterinformaçãosobreosefeitosprincipaiseinterações de ordemmaisbaixarodandoapenasuma parte (oufração) de um experimentofatorialcompleto • Essesexperimentossãochamados de FatoriaisFracionados • Muitousadosemdesenvolvimento de produtosemelhoria de processos

21. ExperimentosFatoriaisFracionados • O uso principal dessetipo de delineamentoéemexperimentospilotos (screening experiments) • Experimentospiloto: realizado com muitosfatores com opropósito de identificarosefeitosquesãorealmentesignificativos • Geralmenterealizadonafaseinicialeosfatoresidentificadoscomoimportantesserãoentãoestudados num experimentomaiscompleto

22. FatoriaisFracionados: IdéiaBásica • Esparsidade: Quandoexistemmuitasvariáveis, o processo/sistemaédominadoporalgunspoucosefeitosprincipais e interações de baixaordem • Projeção: Osfatoriaisfracionadospodem ser projetadosemexperimentosmaiscompletosdentro de um subconjunto de fatoressignificantes • ExperimentaçãoSequencial: Doisoumaisfatoriaisfracionadospode ser combinados, sequencialmente, e assimestimarosefeitosprincipais e interações de interesse

23. MeiaFração (1/2) do Fatorial 2k ouFatorial 2k – 1 • Considere a situaçãonaqual 3 fatores, cada um com doisníveis, são de interesse • Temosentão 23 = 8 tratamentos • O experimentador tem recursosparaobterapenas 4 observações, istoé, metade de umareplicaçãocompletadessefatorial 23 • Metade de um experimentofatorial 23échamado de fatorial 23 – 1

24. FatorialFracionado 2k – 1 • Veja a tabela dos sinais • O fatorial 23 – 1éformadopelostratamentosque tem osinal “+” nacoluna ABC

25. FatorialFracionado 2k – 1 • A colunaABC équedetermina a fração do experimentoqueserárodada • EntãoABC échamado de geradordafração • Além disso, como a coluna I ésempre +, dizemosque I = ABC é a relação de definição • No geral, a relação de definiçãoserásempreoconjunto de todas as colunasquesãoiguaisàcolunaidentidadeI • No nossoexemplo, a únicacolunaigual a IéABC

26. As DuasMetades de um Fatorial 23 bc abc c ac ab b Fator B Fator B (1) a Fração Principal I = ABC Fração Alternada I = −ABC

27. FatorialFracionado 23 – 1 • Tabela dos sinaispara a metadequefoirealizada: • Estimativa dos efeitosprincipaiseinterações:

28. FatorialFracionado 23 – 1 • Notamosque: [A] = [BC] [B] = [AC] [C] = [AB] • Dessa forma, éimpossíveldiferenciar A de BC, B de ACeC de AB • Na realidade, estamosestimando: A + BC, B + ACeC + AB • Doisoumaisefeitos com estapropriedadesãochamados de associados(aliases) • Portanto, AeBCsãoassociadoseindicamospor [A] A + BC • Estimativa dos efeitosprincipaiseinterações:

29. FatorialFracionado 23 – 1 • No nossoexemplotemos: [A] A + BC [B] B + AC [C] C + AB • A estrutura dos associadospode ser encontradausando a relação de definiçãoI = ABC daseguinte forma: • Essameiofração, com I = ABC,échamada de fração principal

30. FatorialFracionado 23 – 1 • A meiafraçãocomplementardesseexperimentoéformadapelostratamentos(1), ab, ac ebc • A relação de definiçãoé I =− ABC • As combinaçõeslinearesparaessafraçãosão: [A]’ A − BC [B]’ B − AC [C]’ C − AB • EntãoquandoestimamosA, BeC com estafração particular, estamosnaverdadeestimandoA − BC, B − AC eC − AB

31. FatorialFracionado 23 – 1 • Na prática, nãointeressaqualfraçãoéusada (principal oucomplementar) • Ambasfraçõespertencemàmesmafamília, istoé, as duasmeiafraçõesformam um fatorial 23completo • Se depois de rodaruma das metades de um fatorial 23, a outrameiafraçãotambémérodada, obtemosentãoinformaçãosobretodosos 8 tratamentos • A partir disso podemosobterestimativas de todososefeitosanalisando as 8 rodadas com um fatorial 23 completoemdoisblocos com 4 rodadascada

32. FatorialFracionado 23 – 1 • Estimativas de todososefeitospodem ser obtidastambématravés do seguinte: • Para todosos pares de combinaçõeslineares, temos:

33. FatorialFracionado • O problemaéquenemsempreépossívelexecutarmais de um fração • Nessecaso, temosqueescolher, previamente, osfatores “maisimportantes” a seremconsiderados • Fazsentido um modelosomente com fatoresprincipais, masnãofazsentido um modelosomente com interações • Além disso, omodelodevepermitir a existência de númerorazoável de glparaosresíduos

34. Resolução de um Delineamento • Resolução III: Os efeitosprincipaisnãoestãoassociados(aliased) com qualquer outro efeito principal, mas efeitosprincipaisestãoassociados com interações de doisfatores e interações com doisfatorespodemestarassociadas entre elas. O fatorial 23 – 1 anterior é de resolução III (2III3 – 1 ) • Resolução IV:Os efeitosprincipaisnãoestãoassociados com qualqueroutroefeito principal ou com qualquerinteração de doisfatores, masinterações com doisfatoresestãoassociadas entre elas.

35. Resolução de um Delineamento • Resolução V: Os efeitosprincipaisouinterações com doisfatoresnãoestãoassociadoscom qualquer outro efeito principal ouinteração com doisfatores, mas interações com doisfatoresestãoassociadas com interações de trêsfatores • Emgeral, a resolução de um fatorialfracionadoemdoisblocoséigualaomenornúmero de letrasemqualquergeradornarelação de definição • Geralmente, prefere-se delineamentos com a maisaltaresoluçãopossíveldentro do nível de fracionamentorequerido

36. Fatorial 24-1 • O experimento original é uma única replicação de um fatorial 24 • Exercício: Quais as conclusões se apenas meia fração do experimento é rodada?