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Bloque I * Tema 008

Bloque I * Tema 008. LOGARÍTMOS. Raíces y logaritmos. La potenciación tiene dos operaciones inversas: n a = √ b Raíz n-sima. a n = b n = log b Logaritmo

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  1. Bloque I * Tema 008 LOGARÍTMOS Matemáticas Acceso a CFGS

  2. Raíces y logaritmos • La potenciación tiene dos operaciones inversas: • n • a = √ b Raíz n-sima. • an = b • n = log b Logaritmo • a • IMPORTANTE: • En toda expresión o ecuación algebraica donde la incógnita esté en el exponente, para resolverla, en general hay que aplicar logaritmos. • Ejemplo: 2x = 5 Matemáticas Acceso a CFGS

  3. LOGARITMOS • DEFINICIÓN • Si a > o y a <> 1, se llama logaritmo en base a de P, y se designa loga P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. • loga P = x ↔ ax = P • Ejemplos: • log3 9 = 2 ↔ 32 = 9 • log5 125 = 3 ↔ 53 = 125 • log10 10000 = 4 ↔ 104 = 10000 Matemáticas Acceso a CFGS

  4. Logaritmos decimales • Sea la expresión: • loga P = x ↔ ax = P • Cuando el logaritmo es de base 10 se suele omitir el subíndice que indica la base. • log P = x ↔ 10x = P • Cuando presenta dicha base (a=10) se llama LOGARITMO DECIMAL. En la calculadora la tecla log • log 2 = 0,301030 • log 20 = 1,301030 • log 200 = 2,301030 • log 2000 = 3,301030 Matemáticas Acceso a CFGS

  5. Logaritmos neperianos • Cuando el logaritmo es de base e también se omite el subíndice que indica la base, pero modificando la notación de la siguiente manera: • ln P = x ↔ ex = P • Cuando presentan dicha base se llaman LOGARITMOS NEPERIANOS, en honor a su creador, Neper, hacia 1614 . • En la calculadora la tecla ln • ln 2 = 0,693147 • ln 20 = 2,995732 • ln 200 = 5,298317 • ln 2000 = 7,600902 Matemáticas Acceso a CFGS

  6. PROPIEDADES • 1.- Dos números distintos tienen logaritmos distintos. • Si P <> Q  log P <> log Q • a a • Y además si a > 1 y P < Q  log P < log Q • a a • Ejemplos • Sea 2 <> 3  log 2 <> log 3  0,301030 <> 0,477121 • Sea - 2 <> 2  log (-2) <> log 2  No existen logaritmos de base negativa. • Sea 2 < 3  log 2 < log 3  0,301030 < 0,477121 • Sea 2 < 4  log 2 < log 4  - 1 < - 2 Falso, pues a < 1 • 1/2 1/2 Matemáticas Acceso a CFGS

  7. 2.- El logaritmo de la base es 1 • log a = 1  a1 = a • a • Ejemplos • Log 2 = 1 , pues 21 = 2 • 2 • Log 5 = 1 , pues 51 = 5 • 5 • 3.- El logaritmo de 1 es 0, sea cual sea la base • log 1 = 0  a 0 = 1 , pues todo número elevado a 0 es la unidad. • a • Ejemplo • Log 1 = 0 , pues 10 0 = 1 • ln 1 = 0 , pues e 0 = 1 Matemáticas Acceso a CFGS

  8. 4.- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. • loga x1 + loga x2 = loga (x1 x2) • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. • Hallar sin calculadora: • a) log 6 • log 6 = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151 • b) log 48 • Log 48 = log 2.2.2.2.3 = log 2+ log 2+ log 2+ log 2+ log 3 = • = 4 . 0,301030 + 0,477121 = 1,204120 + 0,778151 = 1,982271 Matemáticas Acceso a CFGS

  9. 5.- El logaritmo de una división es la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. • loga x1 - loga x2 = loga (x1 / x2) • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. • Hallar sin calculadora: • a) log 0,5 • log 0,5 = log 1 / 2 = log 1 - log 2 = 0 – 0,301030 = - 0,301030 • b) log 250 • Log 250 = log 1000 / 4 = log 1000 – log 4 = 3 – log 2.2 = • = 3 – (log 2 + log 2) = 3 – 0,301030 – 0,301030 = 2,397940 Matemáticas Acceso a CFGS

  10. 6.- El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. • p.loga x= loga x • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. • Hallar sin calculadora: • a) log 1024 • log 1024 = log 210 = 10. log 2 = 10 . 0,301030 = 3,010301 • b) log 81 • Log 81 = log 34 = 4. 0,477121 = 1,908484 Matemáticas Acceso a CFGS

  11. Ejemplos • Halla el valor de x en la expresión: • 32000 . 23000 • x = ---------------------- • 52657 • Tomamos logaritmos decimales: • log x = log ( 32000 . 23000 / 52657 )= • = log 32000 + log 23000 - log 52657 )= • = 2000.log 3 + 3000. log 2- 2657.log 5 = • = 2000.0,477121 + 3000. 0,301030 – 2657. 0,698970 = • = 954,242509 + 903,090000 – 1857,163301 = • = 1857,332509 – 1857,163301 = • = 0,179208 • Luego si log x = 0,179208  x = 10 0,179208 = 1,510803 Matemáticas Acceso a CFGS

  12. 7.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando , partido por el índice de la raíz. • n loga x • loga√ x = ----------- • n • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: • a) log √2 • log √2 = (log 2) / 2 = 0,301030 / 2 = 0,150515 • 3 • b) log √ 9 • 3 • log √ 9 = (log 9) / 3 = (log 32) / 3 = (2. log 3) / 3 = 2. 0,477121 / 3 = • = 0,318080 Matemáticas Acceso a CFGS

  13. 8.- El logaritmo de un número en una base cualquiera, a, es igual al logaritmo del mismo número en una base distinta, b, dividido por el logaritmo de la base, a, en base b. • logb x • loga x = ---------- • logb a • EJEMPLO DE CAMBIO DE BASE • ¿Cuál es mayor, log 7 10 o log 5 7 ? • Al ser las bases distintas, 5 y 7, no podemos comparar sus logaritmos. • Al no ser ni logaritmos decimales ni neperianos, no podemos calcular sus valores. • Es obligado el cambio de base. • log 7 10 = x  7x = 10  log 7x = log 10 • log 5 7 = y  5y = 7 log 5y = log 7 •  x. log 7 = log 10  x = log 10 / log 7 = 1,183294 •  y. log 5 = log 7 y = log 7 / log 5 = 1,209061 • Como y > x  log 5 7 > log 7 10 Matemáticas Acceso a CFGS

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