Expresiones Algebraicas

1. Expresiones Algebraicas • Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. • Ejemplos

2. Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas Racionales Irracionales Enteras Fraccionarias

3. Expresión Algebraica Racional • Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación • Ejemplo

4. Expresión Algebraica Irracional • Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación • Ejemplo

5. Expr.Algebraica Racional Entera • Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural. • Ejemplo

6. Expresión Algebraica Racional Fraccionaria • Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. • Ejemplo

7. Polinomios • Son las expresiones algebraicas más usadas. • Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma: a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn

8. Ejemplos de polinomios A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

9. Términos • Monomio : polinomio con un solo término. • Binomio : polinomio con dos términos. • Trinomio : polinomio con tres términos. • Cada monomio aixi se llama término. • El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an0. • A a0 se lo llama término independiente. • A an se lo llama término principal.

10. Ejemplos El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x). No se le asigna grado.

11. Ejercicio • Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.

12. Polinomios iguales • Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son. • Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

13. Suma de Polinomios • Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. • Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

14. Propiedades de la Suma • Asociativa • Conmutativa • Existencia de elemento neutro • Existencia de elemento opuesto

15. Resta de Polinomios • Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ] • Ejemplo: Restar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

16. Multiplicación de Polinomios • Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado. • Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2 P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

17. Propiedades del Producto • Asociativa • Conmutativa • Existencia de elemento neutro.

18. Algunos productos importantes • (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2 • (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2-2ax + a2 • (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 • (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3 • (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2

19. Ejercicio • Escribir los desarrollos de

20. Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.

21. Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.

22. División de polinomios • Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros. • Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

23. División entre números enteros • En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que D = d . C + r 0 ≤ r < |d| • Si r=0 se dice que D es divisible por d.

24. División entre números enteros • Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: • 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6 • 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6| ¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

25. División de polinomios • Dados los polinomios D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8 d(x) = 3x – 4 determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + r(x) de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)

26. 0x3 - 9x2+ 15x 9x2- 12x 0x2+ 3x - 8 -3x + 4 0x - 4 Ejemplo 6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4 -6x3 + 8x2 2x2 - 3x + 1 6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

27. Ejercicios • D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x d(x) = x2 – 3x • D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4 d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2 • D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2 d(x) = x-2

28. División de Polinomios • Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que D(x) = d(x) . c(x)

29. Ejercicios • Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro • P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1 Q(x) = x3 + x2 + x + 1 • P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16 Q(x) = x5 - 32

30. Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 -3 División de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2 - 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3 4x2 – 5x - 4x2 + 8x 3x – 9 -3x + 6 -3 6 8 6 3 4 3 3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)

31. División de un polinomio por otro de la forma (x-a) • División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 6 8 6 3 4 3 -3 1º operación : 3.2 -2 = 4 2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3 3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3

32. Raíces de un polinomio • Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 • Ejercicio: Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5

33. Raíces de un Polinomio • Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente. • Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24

34. Ver x=2 también es raíz de 2x2 + 2x -12 2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6) Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24 • Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24. • Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x) 2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)

35. Ejercicio • Calcular las raíces de P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8 P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)

36. Resolver la siguiente ecuación

37. Soluciones de la Ecuación Fraccionaria