Processus de Hawkes Applications en Finance

1. Processus de HawkesApplications en Finance Soutenance du projet Innovation Sami BEN EL MAMOUN Edouard MAFTEI

2. Plan: • I) Présentation du projet • II) Introduction des processus • 1) Processus de poisson • 2) Processus de Hawkes monodimensionnel • 3) Processus de Hawkes multidimensionnel • III) Applications • IV) Conclusion

3. Processus de Poisson Processus de comptage {N(t), t≥0} tel que: N(0)=0 Accroissements indépendants et stationnaires Pas d’occurrences simultanées On a que: N(t) suit une loi de Poisson Le temps d’attente suit une loi exponentielle Ex: Théorie des queues, l’émission radioactive

4. λ>0, P{N(t+τ)-N(t)=k}= e-λτ (λτ)k/k!, k=0, 1... Processus de Poisson homogène • λ = 1.8

5. λa,b=∫abλ(t)dt, P{N(b)-N(a)=k}= e-λτ (λa,bτ)k/k! λ(t)= λ0+αe-βt , λ0=0.1, α=4.5, β=0.7 Processus de Poisson non-homogène

6. Modèle de prix • 2 processus de comptage {N+(t), t≥0} et {N-(t), t≥0} et le prix P est: • P(t)=Δp(N+(t)- N-(t)) • On utilise le théorème de Donsker pour faire le scaling de prix et le faire tendre en loi vers un mouvement brownien

7. Théorème de Donsker Suite des v.a d’espérance nulle et variance σ²>0, et tend en loi vers un MB

8. 1er cas: scaling des processus de Poisson [(N+(t)- N-(t))-∫t λ(t)+- λ(t)-dt]/t1/2 → N(0, ∫t λ(t)++ λ(t)-dt)

9. Processus ponctuel linéaire auto-excité ou l’intensité λ(t) a la forme suivante: Processus de Hawkes et avec v un noyau exponentiel (le cas mono-varié)

10. Simulation d’un Hawkes mono-varié • λ=1, • α=0.6 • β=0.8

11. La condition pour avoir stationnarité de processus est que le rayon spectral de la matrice (αmn/βmn)m,n=1,...M soit plus petit que 1. λ=1, α=0,99 β=1 Stationnarité

12. Scaling

13. 3) Processus de Hawkes multidimensionnel • a) Simulation du processus • b) Vérification de la simulation • c) Détermination des prix pour un scaling donné

14. a) Simulation du processus • simulation des instants d’arrivée t[i]. • attribution à un processus donné.

15. b) Vérification de la simulation • Calcul des intégrales entre deux instants d’arrivée tiet ti+1 : = • Etude de leur distribution • Calcul de la moyenne et de la variance • Test de KolmogovSmirinov.

17. c) Détermination des prix pour un scaling donné • ) - - E( • - E() – (

18. III) Applications • The lead-lageffect:

20. Microstructure noise

21. Conclusions • Clustering • Cross correlation • Lead-lag effet • Calibration d’un système(déterminer les paramètres) • Carnet d’ordre • Processus de Hawkes marqué