Lógica

1. Lógica M.C. Juan Carlos Olivares Rojas

2. Agenda Representación del Conocimiento Lógica de Proposiciones Lógica de Predicados Deducción Automática

3. Representación del Conocimiento • El conocimiento debe estar expresado en un lenguaje simbólico para que pueda ser reconocido por una computadora o ‘agente’. • Los agentes pueden consultar a la base de conocimientos para resolver problema o bien agregar nuevos conocimientos. • Los agentes pueden obtener esta nueva información a través de la inferencia lógica.

4. Representación del Conocimiento • Inicialmente el agente cuenta con unos conocimientos básicos llamados antecedentes o hechos. • Se cuenta con una serie de reglas que definen la forma de deducir conocimiento. • El agente pregunta a estas reglas y hechos para poder razonar que opción le conviene más ejecutar.

5. El Juejo del Wumpus Percepciones: (4 sensores) {Hedor, Brisa, Resplandor, Nada} El agente no percibe su situación Acciones: Ir hacia adelante, girar izda/dcha 90º Agarrar (estando en la casillla) Disparar (sólo una flecha) Objetivo: salir con el oro lo antes posible 1000 ptos: salir con el oro 1 pto penaliza cada acción. Penaliz. Máxima: 10000 ptos

6. Lógica de Proposiciones • La sintaxis nos indica cuáles son los enunciados que se pueden construir. • Los enunciados atómicos se componen de una sola proposición. • Una proposición tiene un solo valor de verdad: Verdadero o Falso.

7. Lógica de Proposiciones • Los enunciados complejos se forman a partir de enunciados más simples y el empleo de conectivos lógicos. • Los Conectivos Lógicos son cinco: • NO (~) también conocida como Negación. • Y (^) también conocida como Conjunción. • O (v) también conocida como Disyunción. • Implicación (⇒) también conocida como Condicional. • Sí y sólo si (⇔) también conocida como Bicondicional.

8. Lógica de Proposiciones • Las expresiones que contienen conectivos lógicos se interpretan siguiendo el orden de precedencia que corresponde al mostrado en la tabla anterior. • Por ejemplo: ~P ^Q v R ⇒ S equivale a: • (~(P) ^(Q v R)) ⇒ S • Además, se emplean los paréntesis para evitar ambigüedades.

9. Lógica de Proposiciones • La semántica nos define las reglas que permiten determinar el valor de verdad de un enunciado respecto de algún modelo. • Con dos símbolos proposicionales existen 4 modelos posibles para cada uno de los 5 conectivos lógicos, ¿Cómo quedarían las tablas de verdad?

10. Lógica en Wumpus • Regresemos al mundo del Wumpus para visualizar la construcción de la base de conocimiento. • Notación: • Bij indica que hay brisa en la celda (i,j). • Pij indica que hay un pozo en la celda (i,j). • A partir de un conocimiento inicial: • E1: ~P11

11. Lógica en Wumpus • Cuando hay brisa en una casilla implica que en una casilla contigua hay un pozo: • E2: B11 ⇔ P12 v P21 • Ahora agregamos la primera percepción, no se percibe brisa en la celda (1,1): E3: ~B11 • ¿Cómo relacionar los enunciados 2 y 3 para obtener nuevo conocimiento?

12. Lógica de Proposiciones • Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos verdaderos, a esa proposición compuesta se le llama Tautología. Como ejemplo tenemos a: (p v ~p) • Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos falsos, a esa proposición compuesta se le llama Contradicción. Como ejemplo tenemos a: (p ^ ~p)

13. Lógica de Proposiciones • Básicamente la inferencia es la implementación de una implicación. • Los enunciados conocidos como verdaderos forman parte del antecedente. • El consecuente es un nuevo enunciado cuya veracidad se desprende de los anteriores. Simbólicamente se representa así: • antecedente :: consecuente

14. Lógica de Proposiciones • La equivalencia lógica se presenta cuando dos enunciados α y β tienen los mismos valores de verdad para el mismo conjunto de modelos. • A continuación mostramos una tabla con las equivalencias lógicas más comunes: • Doble Negación: ~( ~p ) ≡ p

15. Lógica de Proposiciones • Leyes Conmutativas ( p v q ) ≡ ( q v p ) ( p ^ q ) ≡ ( q ^ p ) • Leyes Asociativas ( p v q ) v r ≡ p v ( q v r ) ( p ^ q ) ^ r ≡ p ^ ( q ^ r )

16. Lógica de Proposiciones • Leyes Distributivas p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r ) p ^ ( q v r ) ≡ ( p ^ q ) v ( p ^ r ) • Leyes de Idempotencia ( p v p ) ≡ p ( p ^ p ) ≡ p

17. Lógica de Proposiciones • Leyes de DeMorgan ~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q • Leyes de Identidad ( p v ~p ) ≡ t ( p ^ ~p ) ≡ f ( p v f ) ≡ p ( p v t ) ≡ t

18. Lógica de Proposiciones • Leyes de Identidad ( p v f ) ≡ f ( p v t ) ≡ p • Leyes de la Implicación (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ^ (q ⇒ p) (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p) (q ⇒ p) ≡ (~p ⇒ ~q) (p ⇒ q) ≡ (~p v q)

19. Lógica de Proposiciones • Reglas de Inferencias • La siguiente implicación lógica se llama Modus Ponens y corresponde a la siguiente inferencia: p ^ ( p ⇒ q ) :: q • Ejemplo: p: Estudio p ⇒ q: Si estudio aprobaré Matemáticas q: Entonces, Aprobaré Matemáticas

20. Lógica de Proposiciones • La siguiente implicación lógica se llama Modus Tollens y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ~q :: ~p • Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas ~q: No aprobé Matemáticas ~p: Entonces, no Estudié

21. Lógica de Proposiciones • La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Hipotético y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ( q ⇒ r ) :: ( p ⇒ r ) • Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas q ⇒ r: Si apruebo Matemáticas me regalan un auto p ⇒ r: Entonces, Si estudio me regalan un auto

22. Lógica de Proposiciones • La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Disyuntivo y corresponde a la siguiente inferencia: ( p v q ) ^ ~p :: q • Ejemplo: p v q: Hay que estudiar Francés o Alemán ~p: No estudio Francés q: Entonces, Estudio Alemán

23. Lógica de Proposiciones • La simplificación conjuntiva consiste en eliminar uno de los términos de una conjunción: ( p ^ q ) :: q o también: ( p ^ q ) :: p • Por el otro lado, la amplificación disyuntiva permite agregar un nuevo término: p :: ( p v q )

24. Lógica en Wumpus • Se tiene que: • E2: B11 ⇔ P12 v P21 • E3: ~ B11 • Por lo que tenemos el siguiente razonamiento: • E4: (B11 ⇒ (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) ⇒ B11) • E5: ((P12 v P21) ⇒ B11) • E6: ~B11 ⇒ ~(P12 v P21) • E7: ~(P12 v P21) • E8: ~P12 ^ ~P21

25. Lógica en Wumpus • Del razonamiento anterior concluimos que no hay un pozo en la casilla (1,2) ni en la (2,1). • Ahora veamos el razonamiento cuando el agente llega a la celda (1,2). • E9: ~B12 • E10: B12 ⇔ P11 v P13 v P22 • E12: ~P22

26. Lógica en Wumpus • Concluimos que no hay pozo ni en la casilla (1,3) ni en la (2,2). • E11: ~P13 • E12: ~P22 • Pero cuando el agente visitó la celda (2,1) percibió una brisa: • E13: B21 • E14: B21 ⇔ P11 v P31 v P22

27. Lógica en Wumpus • Dado que ya verificamos que no hay pozo en las celdas (1,1) y (2,2), resulta evidente la conclusión que: • E15: P31 • Es conveniente que nuestra base de conocimiento esté basada solamente en conjunciones y disyunciones.

28. Lógica Proposicional • Cualquier enunciado compuesto puede ser transformado a uno equivalente que esté en la FNC • La Forma Normal Conjuntiva es la conjunción de n disyunciones de k elementos: ( p11 v … v p1k ) ^ … ^ ( pn1 v … v pnk )

29. Lógica Proposicional • A continuación se describe un procedimiento para convertir a nuestra FNC: • Eliminar ⇔ usando la equivalencia: (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ^ (q ⇒ p) • Eliminar ⇒ usando la equivalencia: (p ⇒ q) ≡ (~p v q)

30. Lógica Proposicional • Simplificar ~ usando las equivalencias: ~( ~p ) ≡ p ~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q • Finalmente, aplicar la ley distributiva donde sea necesario. p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r )

31. Lógica Proposicional • E2: B11 ⇔ (P12 v P21) (B11 ⇒ (P12 v P21)) ^ ((P12 v P21) ⇒ B11 ) (~B11 v P12 v P21) ^ (~(P12 v P21) v B11 ) (~B11 v P12 v P21) ^ ((~P12 ^ ~P21) v B11 ) (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11)

32. Lógica Proposicional • Para demostrar que una implicación BC :: α es válida, se utiliza el método de reducción al absurdo. • Esto es, probar que su negación: BC ^ ~α es una contradicción. • Para ello se lleva a la FNC y luego se prueba que es equivalente a una cláusula vacía.

33. Lógica Proposicional • Probar que: E2 ^ E4 :: ~P12. • (B11 ⇔ (P12 - P21)) ^ ~B11 :: ~P12 • Se convierte a FNC: • (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (¿P21 v B11) ^ ~B11 :: ~P12

34. Lógica Proposicional • Y para probar por reducción al absurdo, tenemos la negación: • (~B11 v P12 v P21) ^ (~P12 v B11) ^ (~P21 v B11) ^ ~B11 ^ P12 • El proceso de simplificación funciona como sigue: • Si tomamos los primeros dos paréntesis, observamos que contienen a: ~B11 y B11, respectivamente.

35. Lógica Proposicional • Como no pueden ser ambos verdaderos simultáneamente, entonces, o (P12 v P21) o bien (~P12 ) son verdaderos, lo que se reduce a la siguiente expresión: • (P12 v P21 v ~P12) • Como (P12 v ~P12 ) es una tautología, la expresión anterior se reduce a: (P21)

36. Lógica Proposicional • Similarmente, los dos paréntesis siguientes, también contienen a: ~B11 y B11, por lo que la • expresión simplificada queda: (~P21) • Como ambas no pueden ser verdaderas, la conjunción resulta en una expresión nula.

37. Ejercicios • ( p ⇒ q ) ^ ( q ⇒ r ) • p ^ ( p ⇒ q ) • ((p ^ q) ⇔ (p v ~q)) • ((~(p ⇒ q) ^ r ) v ~(p ⇔ ~q))

38. Lógica de Predicados • Hay que aprovechar la característica declarativa y la composicionalidad de la lógica proposicional. Para ello definimos dos tipos de elementos: • Los objetos (Agente, Flecha, Wumpus, Pozo) • Las relaciones entre ellos, generalmente vinculadas por un verbo. • El Agente lanzó una Flecha

39. Lógica de Predicados • Las relaciones unitarias también se conocen como Propiedades y se vincula un objeto con una característica por el verbo SER: • La Pelota es roja. • Las Funciones son un tipo especial de relación que involucra un solo objeto y devuelven un valor: • El padre de • Uno más que

40. Lógica de Predicados • Uno sumado a Dos es igual a Tres • Objetos: Uno, Dos y Tres. • Relación: es igual a. • Función: sumado a; el resultado es un objeto, llamado: Uno sumado a Dos. • Las Casillas que rodean al Wumpus apestan. • Objetos: Casillas y Wumpus. • Relación: que rodean al. • Propiedad: apestan.

41. Lógica de Primer Orden • La lógica de primer orden se construye sobre: Hechos, Objetos y Relaciones. • La lógica de primer orden es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada. • El dominio de un modelo es el conjunto de objetos que contiene.

42. Lógica de Primer Orden • Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados. • Por ejemplo, si Hugo, Paco y Luis son hermanos se denota así: • H = { (Hugo, Paco), (Hugo, Luis), (Paco, Luis), • Por ejemplo, si Pepe es el padre de Hugo, Paco y Luis, tenemos entonces:

43. Lógica de Primer Orden • Padre_de(Hugo) → Pepe • Padre_de(Paco) → Pepe • Padre_de(Luis) → Pepe • Padre_de(Pepe)  ? • A continuación se muestra la gramática de la LPO en BNF.

44. Lógica de Primer Orden • Los símbolos se agrupan en tres clases: • Símbolos de constante, que representan a los Objetos. Cada símbolo constante nombra a exactamente un objeto en el mundo, no todos los objetos necesitan tener nombres y algunos pueden tener más de un nombre. • Ejemplo: Juan, Casa, Wumpus.

45. Lógica de Primer Orden • Símbolos de predicado, que representan a las Relaciones. Ejemplos: Vecino, Hermano, … • Símbolos de función. Ejemplos: Coseno, Padre_de, Oficina_de • Los símbolos de predicado y de función tienen una Aridad que establece el número de argumentos.

46. Lógica de Primer Orden • 〈Enunciado〉 → 〈Sentencia Atómica〉 | (〈Enunciado〉〈Conector〉〈Enunciado〉) | 〈Cuantificador〉〈Variable〉…〈Enunciado〉 | ~〈Sentencia〉 • 〈Sentencia Atómica〉 → 〈Predicado〉(〈Término〉…) | 〈Término〉 = 〈Término〉 • 〈Término〉 → 〈Función〉(〈Término〉…) | 〈Constante〉| 〈Variable〉

47. Lógica de Primer Orden • 〈Conector〉 → . | - | ⇔ | ⇒ • 〈Cuantificador〉 → ∀ | ∃ • 〈Constante〉 → Martin | 59302 | Gato | X | … • 〈Variable〉 → a | x | s | … • 〈Predicado〉 → Previo | Gusta | Llueve | Falla | … • 〈Función〉 → Padre_de | Cabello_de | Oficina_de | …

48. Lógica de Primer Orden • Un término es una expresión lógica que se refiere a un objeto. • Los símbolos constantes son términos • Los símbolos de función son términos. • Las variables también son términos. • Una sentencia atómica está formada por un símbolo predicado seguido por una lista entre paréntesis de términos.

49. Lógica de Primer Orden • Por ejemplo: Hermano(Roberto,Juan) indica que Roberto es el hermano de Juan. • Las sentencias atómicas pueden tener argumentos que son términos complejos: Casado(Padrede(Roberto),Madrede(Juan)) • Se pueden usar conectores lógicos para construir sentencias más complejas.

50. Lógica de Primer Orden • Ejemplo: • Hermano(Roberto,Juan) ∧ Hermano(Juan,Roberto) • Es verdadero si Juan y Roberto son hermanos, pues la relación es simétrica. • Los cuantificadores nos permiten expresar propiedades de colecciones de objetos.