BAB 8 FUNGSI DAN OPERASI LANJUT

1. BAB 8 FUNGSI DAN OPERASI LANJUT • FUNGSI LANJUT • DIAGRAM FUNGSI KOMUTATIF • PEMBATASAN FUNGSI • PERLUASAN FUNGSI • FUNGSI BERHARGA NYATA • ALJABAR FUNGSI BERHARGA NYATA • FUNGSI KARAKTERISTIK • FUNGSI PILIH

2. OPERASI LANJUT • OPERASI KOMUTATIF • OPERASI ASOSIATIF • OPERASI DISTRIBUTIF • ELEMENT IDENTITAS • ELEMENT INVERS

3. D j h i f g A C B DIAGRAM FUNGSI KOMUTATIF • Suatu diagram fungsi disebut komutatif bila untuk setiap himpunan X dan Y, setiap lintasan dari X ke Y selalu sama A  B : f = i h D  C : j = g i A  C : g f = j h = g i h

4. PEMBATASAN FUNGSI ( Restriction of Function) Misalkan f : A  C, B  A, maka f’: B  C disebut pembatasan dari fungsi f ke B yang didefinisikan dengan : f’(b) = f(b) ditulis f | B Contoh 8.1 f : R# R# f = x2, N = bilangan asli f | N = {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16) …….}, Contoh 8.2 g ={(2,5), (5,1), (3,7), (8,3), (9,5)} g: {2,5,3,8,9}N f | {2,3,9} = {(2,5), (3,7), (9,5)}

5. PERLUASAN FUNGSI ( Extension of Function) Misalkan f : A  C, BA, maka F: B  C disebut perluasan dari fungsi f ke B yang didefinisikan dengan : F(a) = f(a) Contoh 8.3 f ={(1,2), (3,4), (7,2)} g: {1,3,7}N F = {(1,2), (3,4), (5,6), (7,2)}

6. FUNGSI BERHARGA NYATA ( Real-Valued Functions) f : A  R# disebut fungsi berharga nyata p(x) = ao xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 +……. an-1 x + an t(x) = sin x, cos x, tg x f(x) =log x, ex Polinomial, trigonometri, eksponensial

7. ALJABAR FUNGSI BERHARGA NYATA Bila f : D  R# dan g: D  R#, k R# maka fungsi-fungsi berikut didefinisikan : (f+k): D  R# oleh (f+k)(x)=f(x)+k (|f|):D  R# oleh (|f|)(x)=|f(x)| (fn): D  R# oleh (fn(x)=(f(x))n (fg) : D  R# oleh (fg)(x)=f(x) g(x) kf: D  R# oleh kf(x) (fg) : D  R# oleh f(x)g(x) (f/g):D  R# oleh f(x)/g(x), (g(x)0)

8. Contoh 8.4 Misalkan D = {a,b}, f:DR# dan g:DR# didefinisikan sebagai : f(a) = 1, f(b)=3 dan g(a)=2, g(b)=-1 atau f={(a,1),(b,3} dan g={(a,2), )b,-1} maka : (3f-2g)(a)=3f(a)-2g(a)=3(1)-2(2)=-1 (3f-2g)(b)=3f(b)-2g(b)=3(3)-2(-1)=11 3f-2g={(a,-1),(b,11)}

9. Contoh 8.5 Misalkan f: R# R# dan g: R# R# didefinisikan sebagai : f(x) = 2x-1 dan g(x)=x2 maka : (3f-2g)(x)=3(2x-1)-2(x2) = - 2x2 +6x-3 (fg)(x)=(2x-1) (x2) = 2x3-x2

10. FUNGSI KARAKTERISTIK ( Characteristic Functions) Misalkan A adalah sembarang himpunan bagian dari himpunan semesta U, maka fungsi berharga nyata :xA: U  {1,0} yang didefinisikan sebagai disebut fungsi karakteristik dari himpunan A

11. a b c d e 1 0 Contoh 8.6 Misalkan U={a, b,c,d,e}dan A={a,d,e}, maka fungsi f:U {1,0} dengan diagram fungsi : f adalah fungsi karakteristik dari A

12. FUNGSI PILIH ( Choice Functions) Misalkan {Ai}iI adalah himpunan keluarga yang tidak kosong  B, maka fungsi : f: {Ai}iI B disebut suatu fungsi pilih bila untuk setiap i I f(Ai)  Ai

13. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 A1 A2 A3 A1 A2 A3 g f Contoh 8.7 Misalkan A1={1,2,3} A2={1,3,4}, A3={2,5} f bukan fungsi pilih karena f(A2) = 2 A2 g adalah fungsi pilih karena g(A1) A1, g(A2) A2 dan g(A3) A3

14. OPERASI-OPERASI ALJABAR, HIMPUNAN DAN FUNGSI a+b=c a.b = c AB=C AB=C g.f = h :AxA A (operasi biner) OPERASI KOMUTATIF Suatu operasi : AxA A disebut komutatif bila untuk setiap a,b A, maka (a,b) = (b,a)

15. Contoh 8.8 Penjumlahan dan perkalian dari bilangan nyata adalah operasi komutatif, karena : a+b = b+a dan a.b = b.a, Operasi pengurangan :(x,y)x-y, dimana (5,1)=4  (1,5)=-4 bukan operasi komutatif Operasi gabungan dan irisan adalah operasi komutatif, karena : AB= BA AB= B  A

16. OPERASI ASOSIATIF Suatu operasi : AxA A disebut asosiatif bila untuk setiap a,b A, maka  ((a,b),c) =  ( a,(b,c)) Bila (a,b) ditulis dengan a*b (a*b)*c=a*(b*c) Contoh 8.9 Penjumlahan dan perkalian dari bilangan nyata adalah operasi asosiatif, karena : a+(b+c) = a+(b+c) dan a.(b.c) = (a.b).c

17. Operasi pembagian :(x,y)x/y, dimana  ((12,6),2)  (2,2)=1  (12,(6,2)=  (12,3)=4 bukan operasi asosiatif Operasi gabungan dan irisan adalah operasi asosiatif, karena : (AB)  C= A(B  C) (AB)  C= A  (B C)

18. OPERASI DISTRIBUTIF Suatu operasi : AxA A disebut distributif bila untuk setiap a,b A, maka :  (a,(b,c)) =  ( (a,b), (a,c)) Bila (a,b) ditulis dengan a*b dan (a,b) ditulis ab a*(b c)=(a*b) (a*c)

19. Contoh 8.10 Operasi perkalian terdistribusi terhadap operasi penjumlahan, karena : a(b+c) =a.b+a.c Tetapi operasi penjumlahan tidak terdistribusi terhadap operasi perkalian, karena : a+(b.c)  (a+b).(a+c) Operasi gabungan terdistribusi terhadap operasi irisan demikian juga sebaliknya, karena : A(B  C)= (AB)  (A C) A(B C)= (A  B) (A C)

20. ELEMENT IDENTITAS Misalkan : AxA A adalah suatu operasi yang ditulis  (a,b) = a*b, maka suatu elemen e  A disebut sebagai elemen identitas bila untuk setiap a  A e*a = a*e = e Bila (a,b) ditulis dengan a*b dan (a,b) ditulis ab a*(b c)=(a*b) (a*c)

21. Contoh 8.11 Misalkan :R#x R# R#adalah operasi penjumlahan, maka elemen 0 adalah elemen identitas karena : 0*a=a*0=a  a + 0 = 0 + a = a Misalkan :R#x R# R#adalah operasi perkalian, maka elemen 1 adalah elemen identitas karena : 1*a=a*1=1  a.1 = 1.a = a Misalkan :R#x R# R#adalah operasi perkalian, maka elemen 1 adalah elemen identitas karena : 1*a=a*1=a  a.1 = 1.a = a

22. Misalkan :R#x R# R#adalah operasi irisan, maka himpunan semesta U adalah elemen identitas karena untuk setiap himpunan A : U*a=a*U=a  U  A = A  U = A