Vytváření pojmu číslo

1. Vytváření pojmu číslo

2. Koupil bych dva plus jedna, ale mám jen mega. Jako čtvrtá přijela sedmička a vystoupilo z ní pět lidí. Za druhé auto – škodovku dvanáctistovku – jsem dal padesát táců. Kdo mi půjčí dvě kila? Popojeď o deset metrů! Kup půldruhého kila masa. Významy čísel

3. Koupil bych dva plus jedna, ale mám jen mega. Jako čtvrtá přijela sedmička a vystoupilo z ní pět lidí. Za druhé auto – škodovku dvanáctistovku – jsem dal padesát táců. Kdo mi půjčí dvě kila? Popojeď o deset metrů! Kup půldruhého kila masa. Počet Pořadí událostí Kódy (označení věcí) Míra hodnoty Operátor (vyjadřuje, jak provést určitou operaci) Významy čísel

4. Koupil bych dva plus jedna, ale mám jen mega. Jako čtvrtá přijela sedmička a vystoupilo z ní pět lidí. Za druhé auto – škodovku dvanáctistovku – jsem dal padesát táců. Kdo mi půjčí dvě kila? Popojeď o deset metrů! Kup půldruhého kila masa. Počet Pořadí událostí Kódy (označení věcí) Míra hodnoty Operátor (vyjadřuje, jak provést určitou operaci) Významy čísel

5. Koupil bych dva plus jedna, ale mám jen mega. Jako čtvrtá přijela sedmička a vystoupilo z ní pět lidí. Za druhé auto – škodovku dvanáctistovku – jsem dal padesát táců. Kdo mi půjčí dvě kila? Popojeď o deset metrů! Kup půldruhého kila masa. Počet Pořadí událostí Kódy (označení věcí) Míra hodnoty Operátor (vyjadřuje, jak provést určitou operaci) Významy čísel

6. Koupil bych dva plus jedna, ale mám jen mega. Jako čtvrtá přijela sedmička a vystoupilo z ní pět lidí. Za druhé auto – škodovku dvanáctistovku – jsem dal padesát táců. Kdo mi půjčí dvě kila? Popojeď o deset metrů! Kup půldruhého kila masa. Počet Pořadí událostí Kódy (označení věcí) Míra hodnoty Operátor (vyjadřuje, jak provést určitou operaci) Významy čísel

7. Koupil bych dva plus jedna, ale mám jen mega. Jako čtvrtá přijela sedmička a vystoupilo z ní pět lidí. Za druhé auto – škodovku dvanáctistovku – jsem dal padesát táců. Kdo mi půjčí dvě kila? Popojeď o deset metrů! Kup půldruhého kila masa. Počet Pořadí událostí Kódy (označení věcí) Míra hodnoty Operátor (vyjadřuje, jak provést určitou operaci) Významy čísel

8. Obsah • Historické poznámky k vytváření pojmu číslo • Důležité matematické myšlenky • Didaktický model budování pojmu přirozené číslo

9. Historické poznámky k vytváření pojmu přirozené číslo Obtíže se získáváním poznatků v této oblasti. Pravděpodobný vývoj konstruován na základě studia: • způsobů počítání u etnických skupin stojících na nízké úrovni svého kulturního vývoje • jazyka, protože je konzervativní • srovnávání různých lidových počtářských praktik v různých oblastech světa • analogie mezi ontogenezí a fylogenezí • nálezů z prehistorie, tj. hmotných předmětů

10. Model historického vývoje Aproximace reálného vývoje aritmetiky • velmi dlouhý pomalý vývoj aritmetiky • velmi nerovnoměrný • podmíněn • společenskou dělbou práce • rozvojem směny

11. Dvě linie • Postupné a velmi pomalé chápání a vyjadřování počtu předmětů • Chápání ekvivalence

12. Postupné chápání a vyjadřování počtu předmětů • počet předmětů zprvu pevně spojován s předměty, které se počítaly • obor přirozených čísel se rozšiřoval velice pomalu, pravděpodobně vždy po skupinách čísel • nejprve jen číslovky pro 1, 2, o něco později i 3 a "mnoho" • pak počítání po skupinách předmětů a skupinách skupin (např. po trojicích až ke třem trojicím) • překlenutí nedostatku terminologie a pojmových problémů

13. Postupné chápání a vyjadřování četností předmětů Počet předmětů zprvu pevně spojován s předměty, které se počítaly „jeden, jedna, jedno“ „dva, dvě“

14. Postupné chápání a vyjadřování četností předmětů Pozůstatky primitivního číselného systému „jeden, dva, mnoho“ v mnoha evropských jazycích v ustálených rčeních - číslovka „tři“ ve smyslu „mnoho“: • latinsky „ter-felix“ = velmi šťastný • francouzsky „tres bien“ = velmi dobře • česky „jí za tři“ • pohádky?

15. Postupné chápání a vyjadřování četností předmětů Počítání po skupinách • počítání „párů“ ve všech indoevropských jazycích • dvojné číslo v gramatice mnoha jazyků Tvoření názvů skupin v češtině: • do šesti koncovkou -ice (dvojice, trojice, …., šestice) • do sedmi a osmi - sedma, osma • devět, deset jedenáct - názvy tvořené od názvů číslic (devítka, desítka, jedenáctka, …)

16. Řada číslovek Počítání po jedné – pravidla • Počítáním prvního předmětu začínáme • Pak pokračujeme a ukážeme na každý předmět jen jednou • Poslední vyslovená číslovka označuje počet

17. Peanova množina Guiseppe Peano Peanovy axiomy vyjadřují následující vlastnosti přirozených čísel: • 1 je přirozené číslo. • Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem. • Číslo 1 není následovníkem žádného přirozeného čísla. • Různá přirozená čísla mají různé následovníky. • Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 1 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

18. Uspořádání • „je před“, „je za“ • Babička je za dědečkem, vnučka je za babičkou a za dědečkem, …, kočka je za pejskem, vnučkou, babičkou a dědečkem, … • Antisymetrická, tranzitivní relace • Babička je za dědečkem, vnučka je za babičkou – vnučka je za dědečkem • „je hned před“, je hned za“

19. Ekvivalence • rozvinutější dělba práce - vytváření ekvivalentů při směně mezi dvěma typy výrobků, které nezáviselo na počítání. • opakované vytváření skupin stejných předmětů • intuitivní představa „stejné množství předmětů“ • vyjádření ekvivalencí skupin předmětů (resp. ekvivalentů) • počet (mnohost skupin) nemusí vůbec být předmětem zájmu • směna ekvivalentních množství zboží

20. Ekvivalence Z pohledu matematické teorie: • Relace • Reflexivní • Symetrická • Tranzitivní • Množin • Existuje prosté zobrazení množiny na množinu

21. Ekvivalence jako relace „Studenka x má stejné křestní jméno jako studentka y“ • Reflexivní relace? • Symetrická relace? • Tranzitivní relace?

22. Ekvivalence • Věstonická vrubovka - prof. Absolon (1936) • 18 cm dlouhá vřetení kost mladého vlka s 55 vyrytými zářezy, stáří 10 - 30 000 let. • Co zápis znamená? • Vrbovky, rabuše, rováše, počítací hůlky, patřily mezi početní instrumenty prostých negramotných lidí i v Evropě až do minulého století. „Dej mi to na sekyru“. „Máš u mě vroubek.“

23. Spojení obou linií • Obě linie se asi sešly při přiřazování předmětů (ekvivalentů, zboží množině použitelné pro každého člověka - prsty ruky, obou rukou, rukou i nohou • Prsty se staly „mírou množství“ • První rozšíření oboru přirozených čísel na 5, 10, 20, spolu s vytvořením číslovek pro všechna takto vyjadřovaná množství • číslovky mnohdy termínově příbuzné s počítáním na prstech Užívání desítkového systém • počítání na abaku • vytvoření dalších aritmetických operací - zdvojnásobování a půlení • pomocí nich pak prováděno násobení a do určité míry i dělení • zlomky

24. Počítání na prstech • Počítání na prstech a soustavy číslovek - latinské slovo „digitus“ (prst) – souvislost s moderním významem jednotka (digitální počítače, hodinky) • Počítání na prstech u kmenů na nízkém stupni vývoje se opírá o odpočítání předmětů podle prstů rukou a nohou - při počítání větších množství se zaznamenává počet osob, případně se modeluje počet na přítomných osobách. Domorodci používali "pozičního, dekadického systému" - jeden domorodec ukazoval na prstech jednotky, druhý desítky, třetí stovky. • Počítání na částech těla: prsty ruky od malíčku - palec, zápěstí, loket, podpaždí, rameno, klíční kost, hruď, …symetricky pravá strana - počet je dán částí těla, ke které se dopočítám (Pět = pěst) • Úsloví „vypadá jakoby neuměl do pěti počítat“

25. Důležité matematické myšlenky "Ve třetí třídě MŠ jsou tři děti, kterým jsou tři roky." Přirozená čísla jako čísla kardinální • "Tři" - společná vlastnost všech tříprvkových množin. Je možné zdůraznit porovnáváním pomocí dvojic. Pochopení přichází, když dítě začíná chápat tři jako předmět, nejen jako přívlastek. Přirozená čísla jako čísla ordinální – • označení a uspořádání věcí • „počítání po jedné“ má blíže k ordinální interpretaci Během období vytváření pojmu čísla dojde k propojení obou interpretací - dítě pochopí, že pořadí posledního prvku je zároveň počtem prvků množiny

26. Důležité matematické myšlenky • Ekvivalence: „je stejně“, „není stejně“ • Pořadí: „je před/je za“, „je hned před/hned za“ • Počet je možné znázornit prostřednictvím reprezentanta (např. prsty) • Řada číslovek je specifický soubor: • Má prvek, který nenásleduje za žádným prvkem (jedna) • Pro každý prvek známe prvek, který za ním následuje • Dva různé prvky mají dva různé následovníky

27. Jak děti vnímají čísla? Přicházejí do kontaktů se zvuky, symboly a významy, které se vztahují k číslům: rozpočitadly, svým věkem, hodinami a kalendářem, domovními čísly, čísly autobusů, ale také rozpoznávání malých počtů věcí (bonbónů, sušenek, kostek, teček na kostce). Z toho se naučí, že čísla mají různé významy a funkce: • počet (V sáčku je 5 bonbónů.) • pořadí (Pátý bonbón je červený.) • míra (Je mi pět let.) • operátor (Chodím cvičit dvakrát týdně.)

28. Aktivity • Obecný termín uspořádání se procvičuje určování prvků „vedle“, „hned před/hned za“, „před/za“ v uspořádané řadě předmětů. • Přiřazení „jedna k jedné“ obecně se procvičuje umisťováním věcí na svá místa a tvořením dvojic předmětů, které patří k sobě (spojování šálku a podšálků, střech a domů, dětí a koloběžek + zjišťování čeho a více/méně/stejně) • Vytváření představ o číslech 1 – 5 • Na koláči mají být 4 mandle. Dokresli. • Počítání předmětů. • Děti si zdobí dort takovým počtem svíček, kolik je jim let. • Přiřazování různých souboru s daným počtem k sobě – např. k číslu 4 přiřadíme obrázek automobilu (4 kola), stolu (4 nohy), rodiny (4 členové), hudebního kvarteta, číslici 4, slovo „čtyři“ • Tečky v číselných obrazcích (uspořádání teček jako na dominové kostce) přiřazovat k souborům se stejným počtem.