3. gyakorlat

1. Az informatika logikai alapjai INCK401Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2014/2015. I. félév 3. gyakorlat

2. Nulladrendű logika Egy olyan logikai rendszer, amely • a nulladrendűnyelvből, • a nyelvhez kapcsolódó nulladrendűinterpretációból, • az interpretációra támaszkodó nulladrendűszemantikai szabályokból, • a nulladrendűcentrális logikai fogalmakból épül fel.

3. A nulladrendű nyelv • L(0)=〈LC,Con,Form〉 ahol • LC={¬,⊃,∧,∨,≡,(,)} (a nyelv logikai konstansainak halmaza) • Con≠∅ a nyelv nemlogikai konstansainak (állítás- vagy kijelentés-paramétereinek) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza • LC∩Con=∅ • A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form halmazt az alábbi induktív definíció adja meg:

4. A Form halmaz induktív definíciója • Con⊆Form (Con elemei az atomi formulák) • Ha A∈Form, akkor ¬A∈Form. • Ha A,B∈Form, akkor • (A⊃B)∈Form, • (A∧B)∈Form, • (A∨B)∈Form, • (A≡B)∈Form.

5. Példák formulákra • atomi formula (eleme a Con halmaznak) p, q, r, s, t,… • atomi formulából képzett formula ¬p, ¬q, ¬r, …… • formulákból képzett formula (A ⊃ B), (A ∧ ¬ B),… • formulából képzett formula ¬ (A ⊃ B), (¬ (A ∧ ¬ B) ∨C),…..

6. Példák formulákra • Legyen Con = {p, q}. • Ekkor Form= {p, q, • ¬p, ¬q, • (p ⊃ q), (p ∨q), (p ∧q), (p≡q), • ¬(p ⊃ q), ¬(p ∨q), ¬(p ∧q), ¬(p≡q), • ((p ⊃ q)⊃(p ∨q)), ((p ⊃ q)∧(p ∨q)), … • …. }

7. 1. feladat Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja a formulában szereplő zárójelek számát! f: Form ->N • Ha p∈Con, akkor f(p) = 0 • Ha p∈Con, akkor f(¬p) = 0 • Ha A∈Form, akkor f(¬A) = f(A) • Ha A,B∈Form, akkor f( (A*B) ) = f(A)+f(B)+1, ahol * ∈{∧, ∨, ⊃, ≡}

8. 1. feladat - példa Alkalmazd lépésenként azt a függvényt, amely minden nulladrendű formula esetén megadja a formulában szereplő zárójelek számát, a ((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t)nulladrendű formulára (Con = {p, q, r, s, t})! f(((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t))=f((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) )+f(t)+1= = f(¬(¬t ∨ r))+f(s)+1+0+1=f((¬t ∨ r))+0+1+0+1 =f(¬t)+f(r)+1+0+1+0+1=0+0+1+0+1+0+1=3

9. 2. feladat Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok számát! (a definiálandó függvény adja meg a formula logikai összetettségét.) f: Form ->N • Ha p∈Con, akkor f(p) = 0 • Ha p∈Con, akkor f(¬p) = 1 • Ha A∈Form, akkor f(¬A) = f(A)+1 • Ha A,B∈Form, akkor f( (A*B) ) = f(A)+f(B)+1, ahol * ∈ {∧, ∨, ⊃, ≡}

10. 2. feladat - példa Alkalmazd lépésenként azt a függvényt, amely minden nulladrendű formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok számát, a ((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t)nulladrendű formulára (Con = {p, q, r, s, t})! f(((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) ⊃ t))=f((¬(¬t ∨ r) ⊃ s) )+f(t)+1= =f(¬(¬t ∨ r))+f(s)+1+0+1=f((¬t ∨ r))+1+0+1+0+1= =f(¬t)+f(r)+1+1+0+1+0+1=1+0+1+1+0+1+0+1=5

11. Formula részformuláinak halmaza Legyen A∈Form az L(0) nyelv tetszőleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF(A)], amelyre teljesül, hogy • A∈RF(A), azaz az A formula részformulája önmagának; • ha ¬B∈RF(A), akkor B∈RF(A); • ha (B⊃C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A); • ha (B∧C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A); • ha (B∨C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A); • ha (B≡C)∈RF(A), akkor B,C∈RF(A).

12. Példa részformulákra Legyen D=(¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬A). Ekkor RF(D) = { (¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬A), ¬(A ∨ ¬B), ¬A, (A ∨ ¬B), A, ¬B, B}

13. Közvetlen részformula • Ha p atomi formula (azaz p∈Con), akkor nincs közvetlen részformulája; • ¬A egyetlen közvetlen részformulája A; • Az (A⊃B),(A∧B),(A∨B),(A≡B) formulák közvetlen részformulái az A és a B formulák.

14. Példa közvetlen részformulákra • p∈Con, KRF(p) = ∅. • KRF(¬A) = {A}; • KRF(A⊃B) = {A, B} • KRF(¬A⊃(B∧A)) = {¬A, (B∧A)}

15. Részformula vs. közvetlen részformula

16. Részformula másik definíciója Egy A formula részformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz [jelölés: RF(A)], amelyre teljesül, hogy • A∈RF(A), (azaz az A formula részformulája önmagának); • ha Aʹ∈RF(A) és B közvetlen részformulája Aʹ- nek, akkor B∈RF(A) (azaz, ha egy Aʹ formula részformulája A-nak, akkor Aʹ összes közvetlen részformulája is részformulája A-nak).

17. Feladat • Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja, hogy a formulának legfeljebb hány részformulája lehet!

18. Feladat: Soroljuk fel az alábbi formulák összes részformuláit! Húzzuk alá a közvetlen részformulákat! • (((X ⊃ Y) ∧ (Y ⊃ Z)) ⊃ (¬X ∨ Z)) • ((X ⊃ Y) ⊃ ((X ⊃ ¬Y) ⊃ ¬Y)) • ((¬X ∨ Y) ⊃ ¬Z) • ¬((X ∨ Y) ∧ ¬X) • ¬((X ∨ Y) ∨ Z) • ¬((X ∨ Y) ⊃ (X ∧ Y)) • ((X ∧ Y) ≡ (Y ∧ X))

19. Szerkezeti fa Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges rendezett fát értünk, amelynek csúcsai formulák • gyökere az A formula, • ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula, • (B⊃C),(B∧C),(B∨C),(B≡C) alakú csúcsainak két gyermekét a B, illetve a C formulák alkotják, • levelei prímformulák (atomi formulák).

20. Példa szerkezeti fára ¬((¬A⊃(B∧A)) ∨ ¬(A ⊃ ¬B)) ((¬A⊃(B∧A)) ∨ ¬(A ⊃ ¬B)) (¬A⊃(B∧A)) ¬(A ⊃ ¬B) (A ⊃ ¬B) ¬A (B∧A) A B A A ¬B B

21. Feladat • HF. Add meg annak a függvénynek az induktív definícióját, amely minden formula esetén megadja, hogy a formula szerkezeti fájának hány csúcsa van!

22. Segédletek logikából • Dr. Mihálydeák Tamás: • http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_html_2011_11_15.zip • http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Logika_my_twt-treeview.html • http://www.inf.unideb.hu/~mihalydeak/Inf_log_ea_06_07_1.pdf • Dr. Várterész Magda: • http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf • http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/matlog.pdf • http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika_peldatar/megoldas.pdf • Lengyel Zoltán: • http://www.inf.unideb.hu/~lengyelz/docs/logika.pdf