Kombinatorik, sandsynlighed og statistik

1. Kombinatorik, sandsynlighed og statistik Hold 3: uge 6 – opgaveaflevering mandag i uge 8 Hold 2: uge 9 – opgaveaflevering mandag i uge 11

2. Mål for perioden: • Kombinatorik og sandsynlighed • At kende, kunne gøre rede for og kunne anvende begreberne: • - ordnet/uordnet stikprøve med/uden tilbagelægning • - fakultet • At kende, kunne gøre rede for og kunne anvende begreberne: • - udfald, hændelse, udfaldsrum, sandsynlighed • - at kende forskel på eksperimentel (statistisk) og beregnet sandsynlighed Statistik A. At kunne lave en komplet statistisk analyse: - både ud fra enkeltobservationer og grupperede observationer - analysen kan indeholde: - tabel over hyppighed, summeret hyppighed, frekvens, summeret frekvens, - beregning af middeltal (gennemsnit), - tegne boksplot ud fra median, øvre/nedre kvartil , mindste- og størsteværdi, - vælge og tegne relevante diagrammer for hyppighed, frekvens m.v. - redegøre for betydning af typetal, median, middeltal, kvartilsæt - diagramtyperne pindediagram, søjlediagram, histogram, trappediagram, sumkurve, cirkeldiagram, boksplot

3. Mål 1A) Og hvad betyder det så ???? Hvad er n og hvad er p og hvad betyder ! Jo, altså, n er det samlede antal som stikprøven kan tages fra fx der er 5 forskellige typer is – altså er n = 5 Og…. p er det antal der udvælges i stikprøven fx der skal laves en is med 3 kugler – altså er p = 3 ! (læses fakultet) betyder: n! = n*(n-1)* (n-2)….. fx 5! = 5*4*3*2*1

4. Ordnet eller uordnet? Med eller uden tilbagelægning? Eksempel: Hvor mange måder kan man med bogstaverne A,B,C,D E lave kombinationer på tre bogstaver? Her er n = 5 og p = 3 Ordnet stikprøve betyder at rækkefølgen har betydning Fx stikprøverne ABC og ACB er to forskellige muligheder Uordnet stikprøve betyder at rækkefølgen er ligegyldig Fx stikprøverne ABC og ACB er kun en mulighed Med tilbagelægning betyder at samme udtræk kan bruges igen Fx AAB er en mulighed da bogstaverne gerne må bruges flere gange Uden tilbagelægning betyder at hvert bogstav kun kan bruges en gang Fx er AAA, ABB m.v. ikke brugbare muligheder da hvert bogstav kun må bruges 1 gang

5. Placer hver af nedenstående stikprøver i det felt hvor det hører hjemme: Du skal lave en spilleliste til en fest. Du vil ikke spille det samme nummer flere gange. Du har et musikbibliotek på 500 numre og vil lave en spilleliste med 80 numre. Hvor mange muligheder er der? Hvis ikke det er muligt at beregne med 500 numre, så udregn det med 100 numre i musikbiblioteket Hvor mange 4-cifrede tal kan man lave af cifrene 1-9 Træk tre kort fra et spil kort (52 kort). Hvor mange muligheder er der for udfaldet. Det er ligegyldigt hvilken rækkefølge kortene er trukket Lav en is med 3 kugler. Der er fem slags is at vælge i mellem. Det må gerne være flere kugler af samme slags. Det er ligegyldigt hvilken rækkefølge kugler tages. e) Lav en is med 3 kugler. Der er fem slags is at vælge i mellem. Det må ikke være flere kugler af samme slags. Det er ligegyldigt hvilken rækkefølge kuglerne tages. Beregn antal muligheder i hver af de fem muligheder

6. Sandsynlighed Når man skal beregne sandsynlighed, skal man bruge beregninger over antal muligheder. Både antal muligheder i alt og antal muligheder for det man skal beregne sandsynligheden for. Nogle begreber: Udfald Hændelse Udfaldsrum Sandsynlighed De enkelte muligheder i et eksperiment Et eller flere udfald i et eksperiment Samtlige forskellige udfald i et eksperiment Sandsynligheden for en bestemt hændelse i et eksperiment er lig med antallet af udfald (gunstige udfald) divideret med samtlige forskellige mulige udfald i udfaldsrummet

7. Eksperiment: kast med to terninger. Hvad er sandsynligheden for at få summen 8? Definer ud fra dette eksperiment: Udfald, hændelse, udfaldsrum og sandsynlighed Find selv på et eksperiment. Definer også ud fra dette eksperiment udfald, hændelse, udfaldsrum og sandsynlighed. Beregn sandsynligheden for en bestemt hændelse. Lotto: Hvad er sandsynligheden for at få 7 rigtige i Lotto (med 36 kugler), hvis du har 10 rækker på din kupon? Start med at definere udfald, hændelse, udfaldsrum og beregn derefter sandsynligheden for den gunstige hændelse (7 rigtige lottotal)

8. Flere opgaver i sandsynlighed Under 2 af disse 5 æggebægre anbringes en en-krone. Hvor stor er sandsynligheden for at du i første forsøg kan gætte, hvor de ligger? Hvis dette spil skal spilles af to personer, hvor den ene har udsat de to en-kroner som præmie. Hvor meget er det så rimeligt, at den anden betaler pr spil? Begrund svaret. I en krukke ligger 3 røde kugler samt et antal hvide kugler. Alle kuglerne har samme størrelse og vægt. Ved en tilfældig udtagelse af 4 kugler er sandsynligheden for at netop tre af disse kugler er hvide lig med 0,5. Hvor mange hvide kugler er der i krukken? Søren har 5 par sko stående tilfældigt placeret i et mørkt skab. En morgen hvor han er meget søvnig, tager han 2 tilfældige sko på. Hvor stor er sandsynligheden for at han har taget: a) En højresko og en venstresko? b) To sko der hører sammen?

9. Fortsat sandsynlighed! Den modsatte hændelse! …..eller dette Enten sker dette…. Et lige tal eller et ulige tal Plat Krone Regn Ikke regn Brug den modsatte hændelse til at udregne i disse to opgaver: Beregn sandsynligheden for at få mindst en sekser ved at kaste en terning fire gange Beregn sandsynligheden for at få mindst to seksere ved at kaste to terninger 24 gange

10. 3 opgaver med sandsynlighed: Den lette: I en klub er der 15 piger i en bestemt aldersgruppe der går til håndboldtræning. Af de 15 piger skal der udtages et hold på 7. Da alle spillere er stort set lige gode vælger træneren at trække lod om pladserne på holdet. Mette er en af de 15 piger. Hvor stor er sandsynligheden for at Mette kommer med på holdet? Mette og Anne er veninder. Hvor stor er sandsynligheden for at de begge kommer med på holdet? Lidt sværere: Træk 2 kort fra et sæt spillekort (52 kort). Hvad er sandsynligheden for at mindst 1 af de to kort er et billedkort eller et es? Hvad er sandsynligheden for at begge de to kort er billedkort eller es? Den svære: I en klasse med 25 elever. Hvor stor er da sandsynligheden for at der er mindst to elever der har fødselsdag samme dag?