Supponiamo il problema risolto .

1. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.1 Supponiamo il problema risolto. Allora AP sarà uguale ad un pezzo di PQ, sia PX, e BQ sarà uguale a QX. Ma se AP = PX, a che cosa è uguale l’angolo PXA? PQ è parallelo ad AB; a che cosa è uguale PXA? Allora perché BAX = XAP? Analogamente si ragiona per QBX eXBA

2. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.2 Supponiamo il problema risolto. Allora AP sarà uguale ad un pezzo di PQ, sia PX, e BQ sarà uguale a QX. Ma se AP = PX, a che cosa è uguale l’angolo PXA? PQ è parallelo ad AB; a che cosa è uguale PXA? Allora perché BAX = XAP? Analogamente si ragiona per QBX eXBA Sintesi Analisi

3. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.3 I primi riferimenti ad un procedimento di tale tipo dimostrativo si trovano nella Repubblica di Platone: nel celebre passaggio sulla dialettica l’autore espone l’idea di un doppio percorsodalle idee ai principi (ascendente) e dai principi alle idee (discendente). Questo doppio percorso rappresenta un processo completo di conoscenza. In tale forma viene ripreso, meglio definito e chiarito da Aristotele. Egli riesce a farne un procedimento dimostrativo. Nel Commento al primo libro degli Elementi di Euclide (V sec. d. C.) Proclo dice che Platone insegnò il suo metodo (analisi) a Leodama [di Taso], che pare abbia fatto molte scoperte geometriche per mezzo di esso.

4. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.4 Dalle Collezioni matematiche di Pappo (ediz. di Commandino 1660, Urbino): “Scripserunt autem hac de rerum Euclides, qui elementa tradit, tum Apollonius Pergaeus, tum Aristaeus senior. Quae quidem per resolutionem, & compositionem procedit. Resolutio igitur est via a quaesito tamquam concesso per ea, quae deinceps consequuntur ad aliquod concessum in compositione: in resolutione enim id quod quaeritur tamquam factum ponentes, quid ex hoc contingat, consideramus: & rursum illius antecedens, quousque ita progredientes incidamus in aliquod iam cognitum, vel quod sit è numero principiorum. Et huismodi processum resolutionem appellamus, veluti ex contrario factam solutionem. In compositione autem per conversionem ponentes tamquam iam factum id, quod postremum in resolutione sumpsimus: atque hic ordinantes secundum naturam ea antecedentia, quae illic consequentia erant; & mutua illorum facta compositione ad quaesiti finem pervenimus, & hic modus vocatur compositio”

5. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.5 In italiano il brano è tradotto in Fonti per la storia della matematica di U. Bottazzini, P. Freguglia, L. Toti Rigatelli (1992), p. 88 “Fu scritto in merito da tre insigni matematici: Euclide, l’autore degli Elementi, Apollonio di Perga ed Aristeo il Vecchio, e il loro approccio [allo studio della geometria] avviene appunto attraverso i metodi dell’analisi e della sintesi. L’analisi è dunque la via, la procedura, che parte da ciò che si cerca, considerato come concesso, per giungere passo dopo passo alla sintesi. Cioè in analisi noi assumiamo ciò che è cercato come se già fosse stato ottenuto, e cerchiamo la cosa da cui esso segue, e ancora ciò che viene prima di questa,...”

6. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.6

7. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.7

8. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.8 Problema VIII (Ghetaldi, 1630, pp.92-93): Data base trianguli, angulum rectum subtendente, & differentia crurum. Invenire triangulum. 90°, base D, differenza lati B. 90°, base AB, differenza lati Z

9. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.9 Presentiamo la dimostrazione secondo lo schema (“conspectus”) Supponiamo il problema risolto. Sia A = somma lati A/2 + B/2 = lM A/2 B/2 = lm lM2 + lm2 = D2 A2/2 + B2/2 = D2 A2 + B2 = 2D2 A2 = 2D2B2 [questo, come osserva l’autore stesso, è il porisma che permette di trovare la somma dei lati] DB2 + ED2 = AB2 EB2/2 + FB2/2 = AB2 EB2 + FB2 = 2AB2 EB2 = 2AB2FB2 EB2 = 2AB2Z2 EB2 = CB2EC2

10. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.10 Per analisi Per sintesi

11. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.11

12. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.12 Le uguaglianzesono fondamentali in algebra, ma non sono proprie solo dell’algebra Euclide, Elementi, Libro I, Nozioni comuni: 1. Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro 2. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali 3. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali. (2) e (3) sono in Al-Khwarizmi (al-jabr = restaurare, completare e al-muqabala = bilanciare, confrontare) Euclide le usa in una forma ‘quasi algebrica’ (vedere Prop.III-35)

13. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.13 Euclide, Elementi, Libro II Le prime 10 proposizioni possono essere viste come identità algebriche provate geometricamente; la 11 e la 14 sono equazioni - i numeri sono sostituiti da segmenti di retta - la somma e la differenza tra numeri è l’ordinaria somma o differenza tra segmenti - il prodotto di due numeri è l’area di un rettangolo i cui lati rappresentano i numeri dati - il prodotto di tre numeri è il volume

14. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.14 Euclide, Elementi, Libro II, 4 Si divida AB nel punto C e si costruisca il quadrato di lato AB. Preso sul lato BE il punto K tale che BK = CB si traccino da C e da K le parallele rispettivamente ai lati BE e DF. In tal modo il quadrato ABED risulta scomposto nei due quadrati CBKG, HGFD e nei due rettangoli uguali GKEF e ACGH. Posto a = AC, b = BC. Si ha: (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

15. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.15 L’uso delle uguaglianze in Euclide è caratterizzato da un ambiente non numerico. Si confrontano grandezze, non la loro misura. Le operazioni che si fanno sono “mettere insieme”, “ottenere un rettangolo con due dati lati”, ...

16. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.16 Si può parlare di una aritmetica delle grandezze, ma il significato è molto diverso rispetto a quella dei numeri. Non ci sono i simboli numerici, qui i simboli (per esempio, AC per indicare un segmento) non hanno significato per loro stessi. Le grandezze risultato di un’operazione hanno significato in relazione a quelle da cui provengono.

17. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.17 Il Libro V degli Elementi riguarda la teoria delle proporzioni Def. V.3. Rapporto fra due grandezze omogenee è un certo modo di comportarsi rispetto alla quantità Def.V.5. (in termini moderni)  m,n Î N, ma >nbÞma >nd ma =nbÞma = nd ma < nbÞma < nd

18. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.18 L’uguaglianza di rapporti coinvolge non solo le grandezze, ma anche relazioni fra esse. Siamo ad un secondo livello di astrazione in cui usiamo relazioni di primo livello (uguale, maggiore, minore).

19. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.19 • Riassumendo: • Le uguaglianze presso i Greci hanno due aspetti: • uguaglianze di grandezze • uguaglianze di rapporti (proporzioni) • Due grandezze che sono uguali devono essere dello stesso tipo (segmenti, aree, volumi). Per i rapporti ciò è solo parzialmente vero: si confrontano rapporti che possono essere da una parte tra aree ed aree e dall’altra tra segmenti e segmenti.

20. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.20 Lo storico danese Zeuthen (1892) ha introdotto il nome di “Algebra geometrica” a proposito del metodo e del trattamento delle quantità usati per risolvere i problemi nel libro II degli Elementi. Discussione accesa (anni 1975-79): da una parte Zeuthen, Tannery, Neugebauer, van der Waerden; dall’altra Freudenthal, Mahoney, Seidenberg, Unguru, A. Weil. Questa discussione è collegata alla risposta che si dà alla domanda “Che cosa è l’algebra?” Per esempio, quando proponiamo agli studenti un problema del tipo 5 + ∆ = 14, chiediamo di risolvere un’equazione o solo di fare dei calcoli su numeri?

21. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.21 Van der Waerden (1976) dice: “Quando parlo di algebra babilonese o greca o araba, intendo algebra nel senso di Al-Khwarizmi o dell’Ars Magna di Cardano, o nel senso della nostra algebra scolastica. L’algebra, allora, è l’arte di manipolare espressioni algebriche come (a + b)2e di risolvere equazioni come x2  ax = b[...] senza curarsi del simbolismo usato nel testo. Se questa definizione è applicata ad un testo arabo o babilonese è irrilevante quale simbolismo il testo usa”.