Estadística Clase 3

1. Estadística Clase 3 Intervalos de confianza

2. Intervalo de confianza Está compuesto por: LIS: (X £ Z(1- a/2)s / √ n ; X £ Z(1- a/2)s / √ n) estimador coeficiente de confianza error estándar

3. Intervalo de confianza El error estándar Es posible tener cierto control sobre el intervalo manejando el tamaño de la muestra ya que es la variable sobre la que se puede intervenir en el error. LIS: (X - Z(1- a/2)s / √ n ; X + Z(1- a/2)s / √ n) Entonces, si: D+ n => D- (s / √n) => D- IC D- n => D+ (s / √n) => D+ IC

4. El coeficiente de confianza LIS: (X -Z(1- a/2)s / √ n ; X +Z(1- a/2)s / √ n) El coeficiente de confianza depende del nivel de significancia a: “representa la probabilidad de que el parámetro no sea considerado en el intervalo”. Entonces, si: D+a => D- Z(1 – a/2) => D- IC D-a => D+ Z(1 – a/2) => D+ IC

5. ¿Por qué? a es el nivel de significancia, es decir, a medida que aumenta la probabilidad de que el parámetro buscado quede fuera del intervalo que se intenta construir el valor de Z disminuye, por lo tanto, disminuye la probabilidad de que el intervalo contenga al verdadero valor y disminuye el intervalo. a

6. Ejemplo

7. Longitud del intervalo La longitud está dada por: L = 2 z (s / √ n) Es decir, al aumentar el nivel de confianza (y disminuye el nivel de significancia) aumenta la longitud del intervalo. La longitud del intervalo es una medida de precisión del intervalo.

8. Entonces, para que algún intervalo sea considerado de interés el nivel de confianza debe ser alto y por ello los niveles de confianza que reportan utilidad son a partir del 90%.

9. Intervalo de confianza Con media normal y varianza conocida LIS: (X - Z(1- a/2)s / √ n ; X + Z(1- a/2)s / √ n) Permite estimar, con cierto grado de certeza, que el verdadero valor de m esté incluido en él.

10. Ejemplo Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos dio un contenido promedio de nicotina de 3,0 milígramos. Supongamos que la distribución es normal con desviación igual a 1,0 milígramos. a.-) Obtener e interpretar un intervalo con el 95 % de confianza para el verdadero promedio de nicotina. b.-) El fabricante garantiza que el contenido promedio de nicotina es de 2,9 milígramos, ¿Qué se puede concluir?

11. Solución Sea: mx = contenido promedio de nicotina X = 3,0 a = 5% = 0,05 Z (1 – 0.05/2) = Z 0,975 = 1.96 s = 1,0 n= 36

12. LIS: (X - Z(1- a/2)s / √ n ; X + Z(1- a/2)s / √ n) LIS : [3,0 – 1,96 (1 / √36) ; 3,0 + 1,96 (1 / √36)] LIS : [2,67 ; 3,33] Es decir, tenemos una certeza del 95% de que el verdadero valor promedio de la nicotina se encuentra entre 2,67 y 3,33. Si el fabricante garantiza 2,9 milígramos de nicotina por cigarrillo. Existe evidencia para corroborar los datos entregados, por lo tanto no se puede entregar el valor dado de fábrica.

13. Intervalo de confianza Con media normal y varianza desconocida LIS: [X - t(n – 1; 1 – a/2 ) (s / √ n) ; X +t(n – 1; 1 – a/2 )(s / √ n)] Donde: s = desviación estándar muestral (n – 1) = grados de libertad t(n – 1); (1 – a/2) = valor tabla

14. Ejemplo Los siguientes son los registros de las mediciones del tiempo (en minutos) que tardaron 15 operarios para familiarizarse con el manejo de una máquina moderna recientemente adquirida por la empresa: 3,4; 2,8; 4,4; 2,5; 3,3; 4;0; 4,8; 2,9; 5,6; 5,2; 3,7; 3,0; 3,6; 2,8; 4,8. a.-) Construir e interpretar un intervalo con un 95% de confianza para el verdadero tiempo promedio empleado. b.- ) El instructor afirma que el tiempo promedio empleado está por sobre los 5 minutos, ¿qué se puede afirmar?.

15. Solución mx = tiempo promedio X = 3,8 a = 5% = 0,05 t (16 - 2; 1 - 0.05/2 ) = t 0,975 = 2,145 s = 0,971 n= 15

16. LIS: [X - t(n – 1; 1 – a/2 ) (s / √ n) ; X +t(n – 1; 1 – a/2 )(s / √ n)] LIS: [3,8 – 2,145(0,971 / √ 15) ; 3,8 +2,145 (0,971 / √ 15)] LIS: [3,26 ; 4,34] Se puede afirmar con un 95% de certeza que se necesitan entre 3,26 y 4,34 minutos para que los operarios puedan familiarizarse con la máquina. Hay evidencia que permite cuestionar la afirmación del supervisor puesto que los 5 minutos están fuera del intervalo.