Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych

1. Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych • Podamy kilka przykładów modeli systemów dynamicznych budowanych w oparciu o wykorzystanie praw zachowania • Systemy dynamiczne leżące w obszarze naszych zainteresowań – systemy techniczne, środowiskowe … są różnej natury • Wśród systemów technicznych możemy wyróżnić systemy: • mechaniczne • elektryczne • elektromechaniczne • płynowe (gazy, ciecze) • cieplne ........

2. Co różni modele matematyczne tych systemów? • charakter najczęściej stosowanych przybliżeń • „technologie” wyboru zmiennych modelu • stosowane równania równowagi i spójności • stosowane zależności wiążące zmienne poszczególnych elementów systemu W podręczniku: Robert H. Cannon jr., Dynamika układów fizycznych – przedstawione są szczegółowe procedury precyzujące wymienione elementy budowy modeli matematycznych dla różnych systemów technicznych

3. Systemy elektryczne – przykładowe modele Pokażemy jak korzystając z praw Kirchhoff’a (przykład praw zachowania) można budować fenomenologiczne modele systemów elektrycznych eBA iA iC Prawa zachowania C A B iB B eAZ A eZC C Z Z Równanie spójności Równanie równowagi

4. Elementy elektryczne i odpowiadające im zależności wiążące Źródło napięcia Źródło prądu Rezystor Indukcyjność Pojemność Przekładnik (transformator)

5. Przykład 1. Dany jest układ nie obciążanego prądowo czwórnika RLC Cel modelowania: a napięciem Interesuje nas zależność pomiędzy napięciem wejściowym wyjściowym Prawo zachowania – równanie spójności dla wejściowego oczka (II prawo Kirchhoff’a)

6. Zależności wiążące dla poszczególnych elementów układu: Tożsamości: Z warunku nie obciążania prądowego czwórnika: Podstawienie:

7. Porządkując: Dla znalezienia rozwiązania potrzebne – warunki początkowe: Uzyskany model: model wejście - wyjście Postać standardowa: Warunki początkowe:

8. Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń: - wejście - parametry przy zmiennej wejścia - parametry przy zmiennej wyjścia - wyjście

9. Model: Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe niejednorodne (w dziedzinie czasu) Warunki początkowe Uzyskany model wejście – wyjście dany jest w formie równania różniczkowego (zwyczajnego) Postać standardowa: gdzie, , , Warunki początkowe

10. Czy można zapisać model wejście – wyjście w innej formie? Fakt: Uzyskany model wejście – wyjście jest liniowy Poddajmy obustronnie uzyskany model transformacji Laplace’a przy zerowych warunkach początkowych Otrzymamy równanie operatorowe w dziedzinie zmiennej zespolonej s: lub z postaci standardowej

11. W rozważanym przykładzie lub z postaci standardowej

12. Stąd łatwo inna forma modelu transmitancja operatorowa: lub w postaci standardowej Transmitancja widmowa: lub w postaci standardowej

13. W rozważanym przykładzie transmitancja operatorowa lub z postaci standardowej

14. W rozważanym przykładzie transmitancja widmowa lub z postaci standardowej

15. Różne formy modeli wejście – wyjście: - równanie różniczkowe - równanie operatorowe (system liniowy) - transmitancja operatorowa (system liniowy) - transmitancja widmowa (system liniowy) - …..

16. Modele wejście – wyjście  modele zewnętrzne Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść m – najwyższa pochodna wejść, n – najwyższa pochodna wyjść Ogólna struktura modelu zewnętrznego Warunek początkowy:

17. Model zewnętrzny macierzowo – system wielowymiarowy (MIMO): Warunek początkowy:

18. System jednowymiarowy – jedno wejście i jedno wyjście (SISO) Warunek początkowy: Rząd systemu – rząd najwyższej pochodnej wyjścia Wymiarowość systemu – określona liczbą wejść - wyjść

19. Przyjmijmy: Model rozważanego układu możemy zapisać: Stan układu: Warunki początkowe: Wyjście układu: Uzyskany model – model stanu (model przestrzeni stanu)

20. Wykorzystując pierwotne oznaczenia zmiennych: Równania stanu Równanie wyjścia Ostatecznie:

21. Modele stanu  modele wewnętrzne Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść, n – liczba stanów Ogólna struktura modelu wewnętrznego Równania stanu: Wektor stanu Wektor wejścia Warunek początkowy: Równania wyjścia: Wektor wyjścia

22. Modele stanu – notacja wektorowa - równanie stanu - równanie wyjścia

23. Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń: - wejście, wektor o wymiarze p, - wyjście, wektor o wymiarze q, - stan, wektor o wymiarze n,

24. Fakt: Uzyskany model stanu jest liniowy i stacjonarny Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego

25. Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego stacjonarnego : macierz stanu (systemu, dynamiki), stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : macierz wejścia (sterowania), stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : macierz wyjścia, stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : macierz bezpośredniego przejścia (sterowania), stała, rzeczywista, wymiaru , tzn.

26. W rozważanym przykładzie Postać macierzowa

27. czyli

28. Systemy mechaniczne – przykładowe modele Pokażemy jak korzystając z praw Newton’a (przykład praw zachowania) można budować fenomenologiczne modele systemów mechanicznych Ruch postępowy Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać modele systemów mechanicznych z ruchem postępowym – jest to inna postać II prawa dynamiki Newton’a gdzie sumowanie obejmuje wszystkie siły zewnętrzne działające ma masę m Jeżeli zdefiniować siłę bezwładności masy m Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a

29. Ruch postępowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności wiążące Masa Element sprężysty prostoliniowy ks – współczynnik sprężystości Element tłumiący prostoliniowy kt – współczynnik tłumienia Przekładnik (dźwignia)

30. Przykład 2. x2 x1 k12 f(t) k1 m2 m1 B2 B1 B12 f(t) m2 m1

31. Model wejście - wyjście

32. Naturalny (fizykalny) wybór zmiennych stanu - jako zmienne stanu wybieramy wyjścia wszystkich integratorów prowadzących do uzyskania zmiennej z całkowania najwyższej pochodnej tej zmiennej; robimy to dla wszystkich zmiennych wyjścia Na przykład  i są zmiennymi stanu, nie jest zmienną stanu

33. Dla rozważanego przykładu, zmienne są naturalnymi zmiennymi stanu, które charakteryzują system

34. Model stanu: Jedno równanie dla pierwszej pochodnej każdej zmiennej stanu Dla rozważanego przykładu

35. Po uporządkowaniu: Równania stanu Warunki początkowe:

36. Zapis macierzowy Oznaczając: Możemy zapisać

37. Drugi składnik modelu przestrzeni stanu – równanie wyjścia Równania wyjścia oblicza wyjścia, to znaczy zmienne, które wybraliśmy do obserwacji (pomiarów) Weźmy w naszym przykładzie Wówczas lub macierzowo

38. Oznaczając: Możemy zapisać

39. Ruch obrotowy Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać również modele systemów mechanicznych z ruchem obrotowym – jest to inna postać II prawa dynamiki Newton’a dla ruchu obrotowego gdzie sumowanie obejmuje wszystkie momenty zewnętrzne działające ma ciało o bezwładności J Jeżeli zdefiniować moment bezwładności Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a

40. Ruch obrotowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności wiążące Bezwładność Element sprężysty obrotowy ks – współczynnik sprężystości Element tłumiący obrotowy kt – współczynnik tłumienia Przekładnik (przekładnia zębata)

41. Przykład 3a – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez elastyczny wał

42. - z II zasady dynamiki Newtona Konwencja: - z II prawa Kirchhoff’a lub

43. 1 wejście: 5 zmiennych stanu: , , , , 1 wyjście:

44. Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu:

45. Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

46. Przykład 3b – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Teraz

47. Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

48. Przykład 3c – model małego silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Model podsystemu elektrycznego Model podsystemu mechanicznego bez zmian Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia

49. Równania stanu w postaci macierzowej: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

50. Systemy elektromechaniczne – przykładowy model Przykład 4 Cel modelowania: zbudować model obcowzbudnego silnika prądu stałego (SPS) pozwalający badać zachodzące w nim procesy przejściowe elektromechaniczne