I: Kontekst

1. Skrivning i matematik gennem et start-skoleår – en elev Konferencen Faglighed og skriftlighedSDU 22 marts 2012 [udgave til hjemmeside] Lena Lindenskov Institut for Uddannelse og Pædagogik, (DPU) Århus Universitet i KBH lenali@dpu.dk

2. I: Kontekst • Øget interesse for skriftlighed i og på tværs af fag • Bestandige betingelser • Forandrede betingelser • ….Især fra 2008 • Fem dokumenter

3. På alle niveauer foregår der didaktiske overvejelser om skrivning • Fx på mit Institut for Uddannelse og Pædagogik (DPU), Århus Universitet i København • indgår der skrivning på Kandidatuddannelse i Didaktik som redskab for læring og for formativ og summativ evaluering • bl.a. med overblikspapirer undervejs på moduler med matematik i fagdidaktisk perspektiv • Bl.a. med blogs og case-synopser undervejs på modul Almen-didaktik

4. Skriftlighed i matematik er underlagt nogle bestandige betingelser • Skrivning af tal og andre symboler til kommunikation af matematisk mening starter før skrivning af bogstaver og verbalord (fylogenetisk som ontogenetisk) • Matematik er det fag i grundskolen med mest skrivning, målt på elevtid og tegnmængde • Skrivning i matematik er anerkendt middel til styrket matematikfaglig læring og til evaluering af matematikfaglig læring

5. Skriftlighed i matematik er underlagt nogle forandrede betingelser • Der er forandrede behov for matematikkompetence i ’det nye tekstsamfund’ med nye teknologiske hjælpemidler • Skrivning i matematik som middel til at styrke (specifikke dele af) generel skrivekompetence foreskrives for første gang i bekendtgørelser for HF/gymnasiet i bilag 2/bilag4. • Der er forandrede rammer for tid og indhold af skriftlige afleveringer i gymnasiets matematikundervisning • Fra afleveringer hver uge i startåret i 1980’erne til 15 afleveringer i 2010 - 2011 • Fra 2008 omtaler undervisningsvejledninger et udvidet repertoire på fem typer skriftlige arbejder

6. Undervisningsvejledningen STX B, 2008 Fem typer skriftlige arbejder Med følgende formål • traditionelle matematikopgaver • matematikrapport over projekter og emner • redigerede noter • udformning af skriveordrer og kommentering af besvarelser • formidlingsopgaver • at opøve eleverne i problemløsning, fra det simple til det mere komplicerede • at opøve elevernes evne til skriftlig formidling • forbedre notatteknik

7. Der foreligger fem dokumenter om skriftlighed i matematik Fire til elever Et til lærere • Dokumenter med fem kvalitetspinde • Bedømmelseskriterier for skriftlig eksamen stxA • Bedømmelseskriterier for skriftlig eksamen stxB • Råd om arbejdet med skriftlig matematik til daglig og til eksamen. • "Håndbog i skriftlig matematik” stx A • "Håndbog i skriftlig matematik” stx B • På http://uvmat.dk/skrift/index.htm • Opgavesamling om modellering: • A: Opgaver fra folkeskolens afgangsprøve.B: Gymnasieversioner af opgaverne i kategori AC: Eksamensopgaveversion af opgaverne i kategori A, som de kunne se ud på B-niveau i gymnasiet • På www.silkeborg-gym.dk

8. II Delprojektets design • To problemfelter • En elev • I et forløb over et år • Elevens interesser og opfattelser

9. Delprojektet analyserer to relaterede problemfelter • At opøve skrivekompetence gennem at skrive i matematikundervisningen • At opøve matematisk kompetence gennem at skrive i matematikundervisningen

10. Elevens forholden sig til lærerkommentarer til afleveringer • I interview fortæller eleven: • hvis der er mange lærerkommentarer, ignorerer eleven dem • hvis der er en mindre række lærerkommentarer, og især hvis der er konkrete forslag, så bruger eleven dem • MEN i matematik er eleven alligevel glad for at få mange lærerkommentarer, og eleven forventer at kunne bruge dem i lignende fremtidige opgaver

11. Elevens oplevelse af matematik samt af form og indhold i skriftlighed • Fra elevinterview: • Eleven oplever, at det er sjovt i matematik • Eleven mener, at skriftligt arbejde giver opmærksomhed på måden at formulere sig på • Eleven ser store fordele ved skriftlighed som et godt supplement, nemlig at det skriftlige arbejde giver bedre mulighed for at overveje, tænke, undersøge og overveje sine formuleringer.

12. III Resultater • Typer af skriftlige arbejder • Typer sprog • Skriveordrens forventninger og intentioner • Elevens konklusioner • Lærerkommentarens genstand • Kompleksitet i anvendelsesopgaver • Udvikling af elevens skriveridentitet • Elevens læring gennem året

13. Typer skriftlige arbejder, der afleveres gennem året • Læreren beskriver de 15 afleveringer som: - 9 traditionelle - 3 rapporter (Oktober, December, April) - 1 test (Marts) - 1 opsamling, redigerede noter (Januar) - 1 repetition (Maj)

14. Afleveringer sammenlignet med bestemmelser for Mat B • Udover bestemmelserne • test, opsamling, repetition • Der mangler fra bestemmelserne • udformning af skriveordrer og kommentering af besvarelser • formidlingsopgaver

15. 15 afleveringer i alt8 med fuldt tilgængelige data

16. De 15 afleveringer over for de 8 afleveringer • De 15 fordeler sig med 7 i efteråret, 8 i foråret • De 8 fordeler sig med 1 (den første) fra efteråret, 7 fra foråret 2011 • Det giver mulighed for analyser af de 8 samlede konstellationer hver for sig og gennem skoleåret • Og af analyser af delvise data fra 15 afleveringer gennem skoleåret

17. Analyser af • Fordelinger af verbal- og symbolsprog • Skriveordrens forventninger og intentioner • Elevens konklusioner • Lærerkommentarens genstand • Kompleksitet i anvendelsesopgaver • Udvikling af elevens skriveridentitet – genre • Elevens læring gennem året

18. Verbal og symbolsprog i elevtekst og lærerkommentar

19. Verbal og symbolsprog i elevtekst og lærerkommentar I elevtekst I lærerkommentar • Næsten halvdelen består af symboler • En femtedel af elevteksten fyldes af tal, • Verbalord udgør godt en tredjedel af elevteksten • En fjerdedel af verbalordene er matematiske • Ingen symboler • Ingen tal • Kun verbaltekst • En fjerdedel af verbalordene er matematiske

20. Hvilke forventninger opridser den skriftlige skriveordre? • Om særlige repræsentationsformer og notation? • Om præcision? • Om faglig redegørelse? • Om dokumentation? • Om argumentation? • Om layout? • Om konklusion?

21. Forventninger udtrykkes ikke eksplicit i skriftlig skriveordre • Forventninger kan være udtrykt mundtligt. • I optakt til aflevering 1 siger læreren, at eleverne skal gøre det så godt de kan og bruge det de har med fra folkeskolen. • I optakt til aflevering 4 siger læreren, at eleverne skal prøve at skrive med sådan en tekst som hører til en autoriseret aflevering i matematik.

22. Forventninger udtrykkes i verber og hv-ord Skriveordre 2, en samling enkelt-stående opgaver • Tegn – den rettelinje • Opskriv – en ligning for hveraftrelinjer • Hvor mange – m3 vand • Hvor mange – liter vand • Hvormeget – kander spares • Vildetkunnebetale sig • Gang – parenteserud • Reducer - udtrykket • Reducer - udtrykkene

23. Forventninger udtrykkes i verber og hv-ord Skriveordre 13,en rapport • Giv en definition – med dine egne ord • Opskriv - renteformlen • Forklar - begreberne • Opstil og bevis - formlerne • Anvend - til at løse case og krimigåde • Afgør om

24. Forventninger i verber og hv-ord Skriveordre 15repetition • Bestem – linjens ligning • Bestem – skæringspunkt • Beregn – vinklerne • Beregn – arealet • Bestem – kvartilsættet • Udregn – frekvenserne • Bestem – forskrift • Bestem – konstant • Løs - ligning

25. Forventninger skrivekompetence? • Man kan som matematiklærer overveje hvordan bydeform og hv-ord giver potentialer og begrænsninger for at skrivning i matematik kan støtte elevernes udvikling af generel skrivekompetence?

26. Verbalsprog i elevtekst 1’s konklusioner • Enten intet verbalsprog, kun tal eller tal og symboler • Eller ”Nu har jeg fundet….” • Eller ”Allan giver 110 kr,…..” • Eller - ved kognitive snublestene - længere verbale udtryk som • ”Y skulle efter arket være 2,4. Men da 4,40 og 2,4 ikke er det samme tal, påviser dette at 4,40 ikke ligger på m linjen” • Så det kan være fordelagtigt for læringsprocessen at opleve og formulere sig om kognitive snublestene [Se Lindenskov, 2003. Kan det være rigtigt at regne forkert og forkert at regne rigtigt]

27. Mange udtryk for ”jeg handler” i elevtekst til samling enkelte opgaver Elevtekst i aflevering 1 Elevtekst i aflevering 9 • 31 jeg og mine (procedurer, begreber, resultater) • Fx ’Så nu går jeg i krig med at finde samme x’ • 1 argument uden jeg: dette påviser • 29 ord, 73 tal, 175 matematiske tegn på første side • Ingen jeg og mine • 3 vi • 1 man • 26 ord, 93 tal, 110 matematiske tegn på første side

28. Lærerkommentarer har varieret verbal-sprog, er faktuelle og henvendt til eleven Lærerkommentar til aflevering 3 Lærerkommentar til aflevering 13 • Formlen og beviset er to forskellige ting • Korrigerer konventioner: • tilføj af ’A,B and C’ • påpeger hverdagsbrug af lighedstegn • Beviset er desværre ikke helt fuldført. Pointen er… • Øh ja men hvor er grafen? • Ja,…., men….. • Hvad mener du helt præcist? • Det er nu ikke nok at vise…. • Hvis…, kunne du også bare • Hvordan er du kommet frem til denne ligning?

29. Et eksempel på en opgave med sådanne data fra folketingsvalg 2010:

30. Der er konflikt mellem lærer- og elev- tolkninger af opgavens meningsfuldhed

31. Lærer- og elevtolkninger af opgavens meningsfuldhed mødes ikke • Eleven tolker skriveordren ud fra, hvad det er meningsfyldt for politikere at få af viden om stemmetal • Læreren tolker skriveordren ud fra, hvad beregningsalgoritmen forudsætter om de givne data om stemmetal

32. Hvilken kompetence i argumentation dokumenteres i elevteksten? Aflevering 1, samling af enkeltstående opgaver Aflevering 3, rapport • Elevbesvarelse: jeg skal bruge bevisformel for a • Lærerrespons: Det er nu bare formlen du bruger. Den hedder ikke bevisformel. • Elevbesvarelse: Bevisformel for a: Til at bevise formlen a,…. • Lærerrespons: Formlen og beviset er to forskellige ting

33. Elevteksternes udvikling gennem året Ved årets start Ved årets afslutning • både matematisk brug og hverdagsbrug af af lighedstegn • jeg som grundled • uformel reportage fra eget studerekammer, aláfacebook • temporale forbindende småord (så, nu o.lign.) • kun matematisk brug af lighedstegn • vi, man og substantiver som grundled • formel autoriseret besvarelse • logiske forbindende småord (dermed o.lign.)

34. TAK for opmærksomheden • Nu er det tid til: • Forståelsesspørgsmål til oplægget • Gruppearbejde om en skriveordre, elevtekst og lærerrespons • Samlet diskussion af brugbarhed for praksis og forslag til videre analyser

35. IV Gruppearbejde • Om karakterisering af tekster • med hensyn til typer af sprog • med hensyn til sammenhængs-småord • Diskussion af tekster

36. Karakterisér eksempel på skriveordre og elevtekst • Verbalsprog – matematisk, hverdag, andre fag • Tal • Symboler – matematiske, hverdag, andre fag • Forbindende småord – generelle, logiske, rumlige, temporale, kausale

37. Karakterisér lærerrespons • Om præcision • Om uddybningsgrad • Om begrebsforståelse • Om valg af metode og procedurer • Om elevtekst og om eleven

38. V Afsluttende diskussion af brugbarhed for praksis og forslag til videre analyser • Bekræftelse på • at det synes givende at se på skriveordre, elevtekst og lærerrespons som en helhed, som det gøres i forskningsprojektet • at det synes givende at se på forløb, fx gennem et år, som det gøres i forskningsprojektet • Et ønske om at der skabes mere forskningsviden om • Hvilke potentialer og ulemper kan dokumenteres ved brug af CAS-værktøjer i afleveringer, og hvordan imødegås eventuelle ulemper?

39. V Afsluttende diskussion af brugbarhed for praksis og forslag til videre analyser • Hvilke forskelle giver det formativt, hvorvidt lærerrespons indeholder • karakterbedømmelse eller ej? • sammenligning med præstationer ved tidligere afleveringer eller ej? • Elevers udbytte ved henholdsvis skriftlig og mundtlig matematik • Hvordan adskiller elevteksters udvikling over et år, alt efter om der er tale om ’traditionelle opgaver’ eller andre genrer • Hvordan kan man karakterisere unge i dag’s læring sammenlignet med den læring, der fandt sted blandt unge, dengang lærerne var unge