1 / 47

Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica

Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica. Sommario. Richiami di Meccanica Quantistica Evoluzione temporale Rappresentazioni di Schroedinger e di Heisenberg Serie di Dyson Matrice S Probabilita ’ di transizione Regola d’oro Fattore di spazio delle fasi.

arlo
Download Presentation

Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. EvoluzioneTemporale in MeccanicaQuantistica

  2. Sommario • RichiamidiMeccanicaQuantistica • Evoluzionetemporale • RappresentazionidiSchroedinger e di Heisenberg • Seriedi Dyson • Matrice S • Probabilita’ ditransizione • Regolad’oro • Fattoredispaziodellefasi F. Bianchi

  3. Ket, Bra, Operatori (1) • |a> ket, vettoredistato in spaziovettorialecomplesso. • |a> + |b> = |c> sommadiket e’ un ket • c|a> =|a>c cnumerocomplesso • |a> e c|a> rappresentano lo stessostatofisico • Un’osservabile A puo’ essererappresentatada un operatore. • In generaleA|a> e’ diversodac|a> • Per gliautoketdi A vale la proprieta’ A|a1> = c1|a1>, A|a2>=c2|a2>,… • L’insiemedeinumerici e’ l’insiemedegliautovaloridi A • Glistatifisicicorrispondentiagliautoket |ai> sonochiamatiautostatidi A • Gliautoketdiun’osservabile A costituisconouna base in unospaziovettoriale: • Un genericoketpuo’ esserescritto come |b> = Sici|ai> F. Bianchi

  4. Ket, Bra, Operatori (2) • Spaziodei bra <a|, spaziovettorialedualedellospaziodeiket • ca|a> + cb|b>  c*a<a| + c*b<b| • Prodottointerno: <b|a> • <b|a> = <a|b>* • <a|a> >= 0 • |a> e |b> ortogonali se <a|b> = 0 • X|a> <a|X+ • X+ e’ operatoreaggiuntodi X (in rappresentazionematriciale, l’aggiuntodi X siottienesostituendoXij con X*ji) • OperatoriHermitiani: X=X+ • (XY)+ = Y+X+ • Autovaloridi un operatoreHermitianosonoreali • Autoketdi un operatorehermitianosonoortogonali e possonoesserenormalizzati: <ai|aj> = dij. Formanouna base • Relazionedicompletezza: Si|ai><ai| = 1  Operatoreidentita’ F. Bianchi

  5. RappresentazioneMatriciale • X=SiSj|ai><ai| X|aj><aj| • Cisono N2numeridella forma <ai| X|aj> • Possonoesseredisposti in unamatricequadrata (iindicediriga, j di colonna) • Gli |ai> sianouna base. Allora: F. Bianchi

  6. Misura in MQ • “Unamisurafasempresaltareilsistema in un autostatodellavariabiledinamicachesimisura” (P.A.M. Dirac) • Prima dellamisura: |b> = Sici|ai> • La misuradell’osservabile A fasaltareilsistema in |ai> unodegliautostatidi A • Eccezione: quandoilsistemasitrovagia’ in un autostatodi A • Il risultatodiunamisura e’ unodegliautovaloridi A. • Probabilita’ cheilsistemasaltinell’autostato |ai> e’ |<ai|b>|2 • Valorediaspettazionedi A in unostato |b>: <b| X|b>=<A> • Se ai e’ l’autovaloredell’autostato|ai>  <A> = Siai|<ai|b>|2 F. Bianchi

  7. OsservabiliCompatibili, OperatoriUnitari • Quandoicorrispondentioperatoricommutano: [A,B] = 0 • Sonodiagonalizzabilicontemporaneamente • Hanno autostaticomuni: |ai,bi> • A|ai,bi> = ai|ai,bi> • B|ai,bi> = bi|ai,bi> • Autovaloredegenere: quando a diversiautostatidi un operatorecorrisponde lo stessoautovalore. • Date due basidiketortonormali e complete |ai> e |bi>, esiste un operatoreunitario U (UU+=U+U=1) tale che: • |bi> = U|ai> • Uij=<ai|U|aj> = <ai|bj> • X’ =U+XU dove X e’ la rappresentazionematricialedi un operatorenella base |ai> e X’ e’ la suarappresentazionenella base |bi>, F. Bianchi

  8. EvoluzioneTemporale in MQ (1) • Tempo e’ parametro (e non un operatore) • A t= t0stato del sistema e’ |a> • Ad un tempo t>t0 lo stato del sistema e’|a,t0;t> • limt->t0 |a,t0;t> = |a,t0;t0>=|a>=|a,t0> • Vogliamostudiarel’evoluzionetemporale |a>  |a,t0;t> • Introduciamol’operatoredievoluzionetemporale U(t,t0) • |a,t0;t> = U(t,t0) |a,t0> • U+U=1 • U(t2,t0)=U(t2,t1)U(t1,t0)  proprieta’ dicomposizione • Operatoreinfinitesimodievoluzionetemporale: • |a,t0;t0+dt> = U(t0+dt,t0) |a,t0> • limdt->0 U(t0+dt,t0) = 1 • Tutterichiestesonosoddisfatte con U(t0+dt,t0) = 1-iWdt; W+=W • Identificando W con l’Hamiltoniana H: W=H/h: • U(t0+dt,t0) = 1-i(Hdt)/h F. Bianchi

  9. EvoluzioneTemporale in MQ (2) • Usando la proprieta’ dicomposizione: • Questa e’ l’equazionediSchroedinger per l’operatoredievoluzionetemporaleMoltiplicando ambo imembri per ilketdistato |a,t0>: • Che e’ l’equazionediSchroedinger per un ketdistato. • Se vienedato U(t,t0) e sappiamo come agiscesu |a,t0>, non abbiamobisognodioccuparcidell’equazionediSchroedinger per iketdistato, bastaapplicare U(t,t0) a |a,t0> per ottenere |a,t0;t>. Dobbiamotrovaresoluzionidell’equazionediSchroedinger per U(t,t0) con la condizioneiniziale U(t0,t0)=1 F. Bianchi

  10. EvoluzioneTemporale in MQ (3) • Equazionedarisolvere: • Trecasi: F. Bianchi

  11. EvoluzioneTemporale in MQ (4) • Occupiamoci del caso 1 (H non dipendedal tempo). Per sapere come agisce U(t,t=0) su un genericoket, dobbiamocapire come agisce sui ketdiuna base. • Scegliamo come base gliautoketdi un operatore A tale che [A,H]=0 •  autoketdi A sonoautoketdi H: H|a’>=Ea’|a’> • Se e’ nota l’espansione del ketiniziale |b>: N.B.: Le fasi relative delle diverse componenti Cambianonel tempo perche’ le frequenzedi oscillazionisono diverse F. Bianchi

  12. EvoluzioneTemporale in MQ (5) • Casospeciale: • Se ilsistema e’ in un autostatodi A ed H rimane in tale autostato • Se [A,H]=0 allora A e’ unacostante del moto • Si puo’ facilmentegeneralizzare al casodi diverse osservabilicompatibilitradiloro e con H. • E’ fondamentaletrovare un insiemediosservabilicompatibilifraloro e con H F. Bianchi

  13. EvoluzioneTemporale in MQ (6) • Consideriamooraunaosservabile B che non commutanecessariamente con A od H e calcoliamoneil valor medio in un autostatodi A • <B> e’ indipendentedal tempo  autostatidell’energiasonostazionari • Calcoliamo <B> in unostato non stazionario. Se lo stato non e’ stazionario, lo sipuo’ esprimere come unasovrapposizionediautostatidell’energia. F. Bianchi

  14. RappresentazionediSchroedinger • Quella vista finora: • Glistatievolvononel tempo, glioperatorisonostazionari Valorediaspettazione F. Bianchi

  15. Rappresentazionedi Heisenberg • Glistatirestanocostanti • Le osservabili (glioperatori) evolvononel tempo Equazione del motodiHeisemberg Valorediaspettazione Identiconelle due rappresentazioni F. Bianchi

  16. MomentoMagnetico in Campo Costante(1) F. Bianchi

  17. MomentoMagnetico in Campo Costante(2) F. Bianchi

  18. MomentoMagnetico in Campo Costante(3) F. Bianchi

  19. Rappresentazioned’Interazione(1) • Dovuta a Dirac • Utile quando H =H0 + H’(t) • H0terminelibero • V(t) termined’interazioneeventualmentedipendentedal tempo • Intermediatra la rappresentazionedi Heisenberg e quelladiSchroedinger • Osservabilivarianonel tempo: evoluzionedeterminatada H0 • Stativarianonel tempo: evoluzionedeterminatadaltermined’interazione F. Bianchi

  20. Rappresentazioned’Interazione(2) • Supponiamoche: H =H0 + H’(t) H0|n> = En|n> • Consideriamo un ketarbitrario, cheall’istante t=0 e’ datoda: |a> = Sncn(0)|n> • Il nostroproblema e’ determinareicn(t) taliche: |a,t=0;t>= Sncn(t)exp(-iEnt/h)|n> • Attenzioneallafattorizzazionedelladipendenzatemporale: • Il fattore exp(-iEnt/h) sarebbepresenteanche in assenzadi H’(t) • La dipendenzadal tempo dicn(t) e’ dovuta a H’(t). In assenzadi H’(t)  cn(t)= cn(0) F. Bianchi

  21. Rappresentazioned’Interazione(3) Sviluppodi un ketgenerico nella base diautostatidi H0 Moltiplichiamo ambo imembri dell’equaz. di Sch. per iket per <n| edusando la relazionedicompletezza Definizionedeicn(t) Equazionematriciale !!! F. Bianchi

  22. Seriedi Dyson(1) • Soluzionediequazionedifferenziale per cn(t) in generalecomplicata approccioperturbativo • Lavoriamo con l’operatoredievoluzionetemporale UI(t,t0) definitoda: |a,t0;t>I=UI(t,t0)|a,t0;t0>I • Chequindisoddisfaall’equaz: • Con la condizioneinizialeU(t0,t0)=1 F. Bianchi

  23. Seriedi Dyson(2) • Equazdifferenziale + condizinizialeequivalente a equazioneintegrale: • Soluzioneiterativa: F. Bianchi

  24. Probabilita’ diTransizione (1) • Relazionetra UI(t,t0) ed U(t,t0) (nellarappdiSchroedinger) • Elementodimatricedi UI(t,t0) traautostatidi H0: •  Ampiezzaditransizione: diversanellarappdiInterazioneed in quelladiSchroedinger • Ma la probabilita’ ditransizione: • E’ la stessa ! (N.B.: solo traautostatidi H0) F. Bianchi

  25. Probabilita’ diTransizione (2) • Supponiamoche a t =0 ilsistemasia in un autostatodi H0, |i>: • Confrontando con: • Si vedeche: • Ancheicn(t) possonoesseresviluppati in modoperturbativo: F. Bianchi

  26. Probabilita’ diTransizione (3) • Confrontando con lo sviluppoperturbativodi UI(t,0): • Ampiezzaditransizioneall’ordine j da|i> ad|n>: cn(j)(t) • Terminediordine 0: nessunainterazione • La Smnelterminediordine 2 ha ilsensodisomma sui possibilistatiintermedi • Probabilita’ ditransizioneda |i> ad |n> ( statidiversifraloro!): F. Bianchi

  27. Intuitivamente…. F. Bianchi

  28. PerturbazioneCostante (1) H’ = costante Sviluppodell’ampiezzaditransizione |i> |f>: F. Bianchi

  29. PerturbazioneCostante (2) • Termineordine zero: evoluzioneliberadellostatoinizialeda t0 a t senzascambioenergia con interazione • Termine primo ordine:evoluzioneliberadellostatoinizialeda t0 a t1 in cui avvienescambioenergia con interazionechelasciailsistemanellostato finale che evolve liberamenteda t1 a t • Terminesecondoordine: evoluzioneliberadellostatoinizialeda t0 a t1 in cui avvienescambioenergia con interazionechelasciailsistema in unostatointermedio |a> che evolve liberamenteda t1 a t2. Nell’istante t2c’e’ un ulteriorescambioenergia con interazionechelasciailsistemanellostato finale che evolve liberamenteda t2 a t. • Oltre ad integraresututtiipossibiliistanti t1 e t2occorreanchesommaresututtiipossibilistatiintermedi. • E cosi’ via per tuittiglialtriordiniperturbativi…. • Ad ogniordineilsistema evolve liberamente con H0fraivertici dove interagisce con la perturbazione H’ F. Bianchi

  30. Matrice S (1) • Finora: ampiezzaditransizione per intervallodi tempo finito • Per studio diproblemidi scattering e’ piu’ interessantel’estensione ad intervallodi tempo infinito. Introduciamo la matricedi Scattering: • Scambiodisommatoria e limiteforza un po’ la matematica…. • Il sistemasiconsidera non interagente con la perturbazione a tempi lunghinelpassato e nelfuturo. • Glistatiasintotici |i> ed |f> sonoautostatidi H0 F. Bianchi

  31. Matrice S (2) Sommasustatiintermedi include integrazionesugradidiliberta’ continui F. Bianchi

  32. Matrice T • Se la seriesisapessesommare, sipotrebbescrivere: • Dove T e’ la matriceditransizione, il cui sviluppoperturbativo e’: • Glielementidi T, trastatiimperturbati, rappresentano la somma (in principio infinita) delleampiezze per lo scambiodi 1,2,..n quantifrasistemaimperturbato e perturbazione • Interpretazione:negliordinisuperiori al primo compaionostatiintermedi (virtuali), checorrispondono a transizioni interne al processo in cui ilsistemascambiaenergia con la perturbazione • N.B: nelleinterazioniintermedieilsistema non conserval’energiachevieneinvececonservataglobalmente grazie aallad • Si puo’ far risalireallarelazionediindeterminazione tempo-energia. F. Bianchi

  33. Probabilita’ diTransizione (1) F. Bianchi

  34. Probabilita’ diTransizione (2) • Probabilita’ ditransizione al primo ordinetragliautostati |i> ed |f> di H0: • Probabilita’ ditransizione per unita’ di tempo: F. Bianchi

  35. Probabilita’ diTransizione (3) • Prob. di transizione per unita’ di tempo, al II ordine perturbativo: • Quando e’ importante considerare ordini perturbativi > 1 ? • Quando l’elemento di matrice al I ordine e’ = 0 • (P.es. per motivi di simmetria) • Quando e’ necessaria elevata accuratezza • N.B: Tutti gli elementi di matrice di processi relativistici fra particelle reali sono come minimo del II ordine; quelli del I ordine non conservano E,p F. Bianchi

  36. UnaRappresentazionedellad F. Bianchi

  37. LimitiSbarazzini F. Bianchi

  38. CommentisulleProbabilita’ diTransizione • Finora: transizionetrastati |i> ed |f> specificati solo dalleenergie • In generalefissareEf non fissaunivocamente lo stato finale: esisteunamolteplicita’ distatifinali (degeneri) corrispondenti ad una data energia • Questa molteplicita’ e’ funzionedell’energia. • Per una data Efsipuo’ determinare la densita’ deglistatifinali per intervallodienergia • In praticasiamointeressatiallaprobabilita’ ditransizione verso un gruppodistatituttiallaenergiaEf • Occorresommarewfisututtiglistatifinalichesiconsiderano. • Normalmentesipuo’ approssimare la somma con un integrale. F. Bianchi

  39. Regolad’Oro N. 2 • Se gli stati finali costituiscono un continuo: • Prob. (infinitesima) di transizione verso un “intervallo (infinitesimo) di stati” • Al I ordine: regola d’oro n. 2 (Dirac, Fermi): • Nel caso di transizioni verso lo spettro continuo la d di fatto scompare • dn/dEf :densita' di stati finali/Intervallo di energia; Fattore di spazio delle fasi • Fattore puramente cinematico (non dinamico) caratteristico dello stato finale • Incremento del numero di stati finali accessibili al sistema per incremento unitariodell’energiadisponibile F. Bianchi

  40. FattorediSpaziodelleFasi(1) Esempio 1: F. Bianchi

  41. FattorediSpaziodelleFasi(2) Esempio 2: F. Bianchi

  42. FattorediSpaziodelleFasi(3) • Esempio 3: • Due particelleliberesenzavincolitragliimpulsi • Quindi: F. Bianchi

  43. Atomod’Idrogeno in Condensatore (1) • Atomodi H, nellostatofondamentale in condensatore piano collegato a generatoredicorrentealternatadifrequenzaw • Generatoreacceso a t= 0 e spento a t=t0 • EI (energiaionizzazione) • Hamiltonianod’interazione: • Due casi: hw<EI e hw>EI F. Bianchi

  44. Atomod’Idrogeno in Condensatore (2) • Primo caso: hw<EI • Atomo non vieneionizzato, possiamocalcolareampiezzaditransizionefrastatofondamentaleedunodeglistatieccitati (insiemediscreto): • Da cui: F. Bianchi

  45. Atomod’Idrogeno in Condensatore (3) • Se Ef>Ei, solo ilsecondotermine e’ importante e la probabilita’ ditransizionediventa: • La probabilita’ ditransizioneoscillanel tempo in funzionedelladuratadellaperturbazione con la frequenzadibattimento (differenzafrafrequenzadellaperturbazione e frequenzanaturaledellatransizione) F. Bianchi

  46. Atomod’Idrogeno in Condensatore (4) • Secondocaso: hw>EI • L’atomosiionizza e lo stato finale appartiene al continuo. • Probabilita’ ditransizione verso un gruppodistati: • Poiche’ (slide 40): • Ne segue: F. Bianchi

  47. Atomod’Idrogeno in Condensatore (5) • Alcuneconsiderazioni: • Il volume diquantizzazione L3sicancella con ifattoridinormalizzazione L3/2dellefunzionid’onda • Per avereprobabilita’ ditransizionefinitaoccorreintegraresu range finitodienergiaedangolosolidodell’elettrone • Trattiamol’elementodimatrice come costante: F. Bianchi

More Related