INDUKCJA MATEMATYCZNA

1. INDUKCJA MATEMATYCZNA

2. Liczby naturalne Zasada indukcji matematycznej (zupełnej) jest jedną z metod dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb naturalnych. Są to twierdzenia postaci: nN p(n) gdzie {p(n)}nN jest ciągiem zdań • Aksjomaty arytmetyki: • Jeden jest liczbą naturalną • Jeden nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej • Dla każdej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna liczba s(n), która jest • następnikiem n • Jeżeli k jest następnikiem n i k jest następnikiem m, to m=n • 5. Zasada indukcji zupełnej • Jeżeli A jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych N takim, że 1. 1  A 2. Dla każdej liczby naturalnej n, jeżeli n  A i m jest następnikiem n, • to m A • to A = N.

3. Liczby naturalne cd. UWAGA: Można wprowadzić liczby naturalne począwszy od zera wtedy zmieni się pierwszy i drugi aksjomat Zdefiniujmy (indukcyjnie) operacje dodawania i mnożenia: n+1=s(n) n*1=n n+s(m)=s(n+m) n*s(m)=n*m+n UWAGA: W przypadku zliczania od zera n+0=n n*0=0

4. Zasada indukcji dla liczb naturalnych Jeśli W jest własnością określoną w zbiorze liczb naturalnych N, spełniającą założenia: 1. 1 ma własność W (ozn. W(1)) 2. dla dowolnej liczby naturalnej n, jeśli W(n), to W(n+1), to każda liczba naturalna ma własność W. Twierdzenie (zasada minimum) W każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza • Dowód: (hip.) Niech A, A N i w A nie ma liczby najmniejszej. • Weźmy B = {n : m n (m A)} – wszystkie liczby nie należące do A mniejsze • od każdej liczby należącej do A • 1 1 B • 2 Załóżmy, że n B • gdyby n+1A, to byłaby to najmniejsza liczba w A, czyli n+1A, • a zatem n+1B. Na mocy zasady indukcji B=N. Oznacza to, że zbiór A jest pusty. Sprzeczność z zał.

5. Przypomnienie - uzupełnienie Definicja Relację binarną R określoną w zbiorze X nazywamy dobrym porządkiem wttw R jest liniowym porządkiem oraz w dowolnym niepustym podzbiorze zbioru X (AX) istnieje element minimalny. Czyli najmniejszy, bo porządek jest liniowy. UWAGA: Zasadę minimum można wywieść z faktu, że zbiór liczb naturalnych jest dobrze uporządkowany przez relację  (niewiększości).

6. Druga zasada indukcji matematycznej Niech { p(n) }nN( p(1), p(2),.... ) będzie ciągiem zdań. Jeżeli: 1. Zdanie p(1) jest prawdziwe 2. Jeżeli wszystkie zdania p(1),...,p(m-1) są zdaniami prawdziwymi, to p(m) też jest zdaniem prawdziwym to nN p(n) jest zdaniem prawdziwym • Dowód: (hip.) nN p(n) jest fałszywe • Zasada minimum mówi, że każdy niepusty podzbiór zbioru N ma element najm. • Niech k będzie najmniejszą liczbą, dla której p(k) jest fałszywe • k=1, p(1) fałszywe – sprzeczność z założeniem • k>1, stąd k-11 i k jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której p(k) jest fałszywe, • czyli p(1),...,p(k-1) są prawdziwe, a zatem p(k) jest prawdziwe, co jest sprzeczne • z założeniem. UWAGA: Pierwsza zasada indukcji matematycznej zakłada, że w każdym kroku indukcyjnym zdanie p(k) jest prawdziwe, jeśli zdanie bezpośrednio je poprzedzające p(k-1) jest prawdziwe. Okazuje się, że możemy założyć, że prawdziwe są wszystkie poprzedniki p(k), stąd druga zasada indukcji.

7. Jak stosować indukcję matematycznąw dowodzeniu twierdzeń 1. Sprawdzamy, czy twierdzenie jest prawdziwe dla bazy indukcji (n=1 lub pewnej małej liczby naturalnej) 2. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej k (założenie indukcyjne). Formułujemy tezę indukcyjną i dowodzimy jej prawdziwości, tzn. dowodzimy, że z założenia indukcyjnego wynika, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby k+1 (krok indukcyjny). Stąd wnioskujemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej.

8. Przykład Twierdzenie (pierwszy wykład) Jeżeli X jest zbiorem n-elementowym, a Y zbiorem m-elementowym, to produkt XY ma n*m elementów. • Dowód: • Jeśli X={x}, Y={y1,...,ym}, to wszystkie elementy produktu są postaci • <x,y1>, <x,y2>,...,<x,ym>. • 2. Załóżmy, że dla X={x1,...,xn} i Y = {y1,...,ym} produkt X  Y ma • n*m elementów. • 3. Dla zbiorów X’=X {x}, Y produkt ma (n+1)*m elementów. • Produkt X`Y składa się z par, w których występuje x i z par, w których x nie • występuje. Par pierwszego rodzaju jest dokładnie m, a par drugiego rodzaju jest tyle, • ile w produkcie X  Y, czyli n*m. Zatem łącznie mamy (n+1)*m par.

9. Rekurencja – kilka słów Definicja Rekurencja jest to metoda definiowania za pomocą indukcji. • Mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeśli: • Określony jest pewien skończony zbiór wyrazów ciągu (zazwyczaj pierwszy wyraz lub kilka pierwszych wyrazów). • Pozostałe wyrazy ciągu zdefiniowane są za pomocą poprzednich wyrazów ciągu (wzór, który je definiuje, nazywamy wzorem rekurencyjnym). • Przykłady: • Silnia(0)=1 Silnia(n)=Silnia(n-1)*n • ( inaczej a1=1 an=n*a(n-1) dla n>1 ) • 2. Ciąg Fibonacciego F(0)=1 F(1)=1 F(n)=F(n-1)+F(n-2) dla n>1 • ( inaczej a1=a2=1 an=a(n-1)+a(n-2) dla n>2 )

10. Niezmiennik pętli Rozpatrujemy pętlę (**) dopóki g wykonuj g – warunek dozoru pętli s s – treść (instrukcja) pętli (treść wykonywana iteracyjnie) koniec Jeśli w pewnej iteracji warunek dozoru nie jest spełniony, to opuszczamy pętlę. • Definicja • Zdanie p jest niezmiennikiem pętli (**) wtedy, gdy spełnia ono następujący warunek: • jeśli zdania p i g (warunek dozoru) są prawdziwe zanim wykonamy krok s, to • zdanie p będzie prawdziwe po wykonaniu s

11. Niezmiennik pętli - cd Przykłady: Rozpatrzmy algorytm dzielenia dwóch liczb całkowitych m>0, n0 (dane wejściowe), w wyniku którego otrzymujemy liczby całkowite q i r takie, że q*n+r=m oraz 0r<n (dane wyjściowe) początek q:=0 r:=m dopóki rn wykonuj q:=q+1 r:=r-n koniec Niezmiennikiem pętli jest tutaj: „q*n+r=m i r0” Niezmiennik gwarantuje, że dla powyższego algorytmu (pętla się kończy (r:=r-n)) otrzymamy poprawne wyniki dla każdych liczb całkowitych.

12. Zasada niezmiennika pętli Twierdzenie (Zasada niezmiennika) Jeśli p jest niezmiennikiem pętli (**) oraz zdanie p jest prawdziwe, kiedy wchodzimy w pętlę, to zdanie p jest prawdziwe po każdej iteracji pętli. Jeśli pętla kończy się, to po jej zakończeniu zdanie p jest prawdziwe, a zdanie g (warunek dozoru) jest fałszywe. Przykłady:Algorytm Euklidesa NWD(m,n) (mn – dane wejściowe, x – NWD(m,n)) początek x:=m; y := n; dopóki y  0wykonuj d:=x x:=y; y:=d mod y koniec x=45 y=12 x=12 y=9 d=45 x=9 y=3 d=12 x=3 y=0 d=9 Niezmiennikiem pętli jest tutaj: NWD(m,n)=NWD(n, m mod n) Korzystamy właśnie z takiego stwierdzenia NWD(m,n)=NWD(n, m mod n)

13. Algorytm Euklidesa inaczej ? Przykłady: Algorytm Euklidesa NWD(m,n) (m,n – dane wejściowe, x=y=NWD(m,n)) początek x:=m; y := n; dopóki x  ywykonuj jeśli x>y to x:=x-y wpp. y:=y-x koniec x=45 y=12 x=33 y=12 x=21 y=12 x=9 y=12 x=9 y=3 x=6 y=3 x=3 y=3 Niezmiennikiem pętli jest tutaj: NWD(m,n)=NWD(x, y)