Kartografia matematyczna

1. Kartografia matematyczna dr inż. Paweł Pędzich p.pedzich@gik.pw.edu.pl GG pok. 329

2. Plan wykładów • Pojęcie powierzchni odniesienia powierzchni fizycznej Ziemi i pojęcie powierzchni oryginału w odwzorowaniu kartograficznym • Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchniw powierzchnię oraz odwzorowania kartograficznego. • Elementy teorii zniekształceń odwzorowawczych: skala główna, skala poszczególna, skala elementarna. Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego • Elementy teorii zniekształceń odwzorowawczych: I i II twierdzenie Tissota, pojęcie elipsy zniekształceń odwzorowawczych • Elementy teorii zniekształceń odwzorowawczych: ekstremalne zniekształcenia długości, elementarna skala zniekształceń pól, zniekształcenia kątów

3. Pojęcie redukcji odwzorowawczych • Klasyfikacja odwzorowań w zależności od rodzaju zniekształceń odwzorowawczych • Klasyfikacja odwzorowań w zależności od kształtu siatek kartograficznych • Odwzorowania ukośne i poprzeczne • Metody konstrukcyjne i analityczne wyznaczania odwzorowań kartograficznych • Podstawy teoretyczne odwzorowań konfremnych • Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii • Odwzorowania elipsoidy obrotowej spłaszczonej na powierzchnię kuli • Odwzorowanie Gaussa-Krügera i jego postaci analityczne

4. Literatura • Jan Panasiuk, Jerzy Balcerzak, Urszula Pokrowska„Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowań kartograficznych” PW 2000 • Jan Panasiuk, Jerzy Balcerzak, „ Wprowadzenie do kartografii matematycznej • Jan Różycki „Kartografia matematyczna” PWN 1973 • Franciszek Biernacki „Podstawy teorii odwzorowań kartograficznych” 1973 • Idzi Gajderowicz „Kartografia matematyczna dla geodetów” UWM 1999 • Bogusław Gdowski „Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami” PW 1997 • Walenty Szpunar „Podstawy geodezji wyższej” PPWK 1982 • Kazimierz Czarnecki „Geodezja współczesna w zarysie” • E.J. Maling „Coordinate systems and map projections”

5. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna • pojęcie powierzchni oryginału w odwzorowaniu kartograficznym • układy współrzędnych

6. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Powierzchnie odniesienia • fizyczna powierzchnia Ziemi • geoida • elipsoida obrotowa spłaszczona • powierzchnia kuli • płaszczyzna

7. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Geoida Ziemia jest zanurzona w przestrzennym polu siły ciężkości. Wynika to z istnienia w otoczeniu powierzchni fizycznej Ziemi określonego stanu rozkładu mas oraz z siły odśrodkowej ruchu obrotowego, a stąd istnienia wokół Ziemi określonego stanu rozkładu sił grawitacyjnych. Suma wymienionych sił nazywa się siłą ciężkości Ziemi. W krótkim interwale czasu, tzw. epoce, pole wektorowe siły ciężkości Ziemi można uznać za stacjonarne. W takim stacjonarnym polu siły ciężkości praca ruchu punktu materialnego o określonej masie nie zależy od drogi ruchu. Zależy tylko od wartości energii potencjalnej ciała w punkcie początkowym i w punkcie końcowym. Wartość potencjału siły ciężkości w danym punkcie (x,y,z) określa się pracą, jaka jest niezbędna do przeniesienia punktu materialnego o masie jednostkowej m po dowolnej drodze od danego punktu, do punktu znajdującego się w nieskończoności.

8. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Geoida W każdym polu wektorowym potencjalnym siły ciężkości istnieją powierzchnie stałego potencjału. Trajektorie ortogonalne tych powierzchni, nazywają się liniami siły ciężkości. Geoida na danym terytorium, a także i na całym globie ziemskim, w bardzo krótkim odstępie czasu jest powierzchnią prawie stałego potencjału siły ciężkości. Geoida jest powierzchnią zamkniętą, otaczającą cały glob ziemski, o strukturze mocno pofałdowanej i na ogół nieregularnej. Stosowanie geoidy jako powierzchni odniesienia jest więc utrudnione. Struktura geometryczna geoidy w dużym przybliżeniu, pokrywa się ze strukturą geometryczną powierzchni elipsoidy trójosiowej. Jednakże spłaszczenie równika elipsoidalnego jest stosunkowo niewielkie. Na obecnym poziomie dokładności pomiarów podstawowych, jest ono praktycznie zaniedbywalne.

9. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Geoida Współcześnie geoidę aproksymuje się powierzchnią elipsoidy obrotowej spłaszczonej. Aproksymacja geoidy powierzchnią elipsoidy jest możliwa do przeprowadzenia tylko wtedy, gdy powierzchnia elipsoidy w stosunku do geoidy jest odpowiednio zorientowana.

10. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Elipsoida obrotowa spłaszczona jako powierzchnia oryginału w odwzorowaniu kartograficznym Elipsoida musi spełniać następujące warunki : • masa elipsoidy równa masie Ziemi • środek elipsoidy znajduje się w środku masy Ziemi • oś obrotu elipsoidy pokrywa się z osią obrotu geoidy • parametr metryczny a i parametr strukturalny e powierzchni elipsoidy dobrany z warunku minimum sumy różnic wartości potencjału na elipsoidzie i na geoidzie w odpowiadających sobie punktach przyporządkowanych przez linie działania siły ciężkości Elipsoidę odniesienia powierzchni fizycznej Ziemi wyznacza się empirycznie na tzw. sieci geodezyjnej zerowego rzędu, poprzez określenie w węzłach tej sieci szerokości geodezyjnych B, azymutów A, długości geodezyjnych L, wykonanie niwelacji precyzyjnej i pomiar przyśpieszenia siły ciężkości, a także obecnie, wykorzystanie parametrów ruchu sztucznych satelitów Ziemi w polu sił ciążenia.

11. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Elipsoida obrotowa spłaszczona - równania Równanie uwikłane Równanie parametryczne

12. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Elipsoida obrotowa spłaszczona – parametry • półosie a i b • mimośród • spłaszczenie • drugi mimośród • drugie spłaszczenie • trzecie spłaszczenie • trzeci mimośród

13. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Elipsoida obrotowa spłaszczona – przekroje normalne główne Przekroje normalne – przekroje zawierające normalną do powierzchni w danym punkcie. • przekrój południkowy posiada najmniejszy promień krzywizny (największa krzywizna) Przekroje normalne główne – przekroje normalne o największej i najmniejszej krzywiźnie. • przekrój poprzeczny posiada największy promień krzywizny (najmniejsza krzywizna)

14. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Elipsoida obrotowa spłaszczona – długość łuku południka W postaci całki W postaci szeregu trygonometrycznego gdzie

15. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Powierzchnia kuli jako powierzchnia oryginału w odwzorowaniu kartograficznym Powierzchnię kuli wykorzystuje się do opracowań małoskalowych. Wyznaczanie promienia kuli • Pole powierzchni kuli równe polu powierzchni elipsoidy • Objętość kuli równa objętości elipsoidy • Średnia arytmetyczna trzech półosi elipsoidy • Średnia geometryczna promieni krzywizny przekrojów głównych

16. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Powierzchnia kuli - równania Równanie uwikłane Równanie parametryczne

17. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych geograficznych • - szerokość geograficzna l- długość geograficzna

18. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych prostokątnych na kuli

19. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych azymutalnych h- wysokość a- azymut

20. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Zależności pomiędzy współrzędnymi azymutalnymi a współrzędnymi geograficznymi

21. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Zależności pomiędzy współrzędnymi azymutalnymi a współrzędnymi geograficznymi Zamiana współrzędnych geograficznych na azymutalne Zamiana współrzędnych azymutalnych na geograficzne

22. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych geodezyjnych B- szerokość geodezyjna L- długość geodezyjna

23. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Szerokość geocentryczna f

24. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Szerokość geocentryczna

25. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych prostokątnych na elipsoidzie

26. Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Współrzędne Soldnera h,x