Utiliser le spectre et la transformée de Fourier

1. Auteur : Jean-Paul Stromboni, Version : jeudi 27 février 2003 Élèves ESSI 1 du module SSI Durée 1h, Amphi Est avec vidéo projecteur Où en est-on ? Dans cette séance, on voit: Utiliser le spectre et la transformée de Fourier Signal numérique Goldwave, Matlab Nous sommes ici ! spectre d’où vient l’idée de la représentation fréquentielle des signaux la définition de la transformée de Fourier (ou TF) d’un signal une liste de propriétés de base de TF plus quelques transformées ce que sont spectre, spectrogramme, et signal à bande limitée pourquoi la transformée de Fourier rapide ou FFT Sous-échantillonner filtrer Découper en fréquence compresser

2. D’où vient la représentation fréquentielle ? L’idée importante : Pour tout signal de représentation temporelle s(t), on sait trouver une représentation en fréquence équivalente, ou spectre S(f). L’origine de la représentation fréquentielle : Pour résoudre l’équation de propagation de la chaleur sur un intervalle de temps T, Joseph Jean-Baptiste Fourier (19ème siècle) a imaginé de remplacer le second membre s(t) de cette équation par une série de Fourier, somme de sinusoïdes ci-dessous, sachant que la solution pour s(t) sinusoïdale était connue :

3. s(t) t T 1/3 1/5 1/9 Prenons l’exemple du signal carré Le signal carré s(t) dessiné ci-dessous peut être décomposé sur la durée d’une période (ici T=1/440s) en série de Fourier (voir à droite) : D’où la représentation fréquentielle de s(t) à compléter :

4. Définition de la transformée de Fourier (TF) Quand T tend vers l’infini, la définition de la série de Fourier tend vers la transformée de Fourier ci-dessous (i2= - 1) : Avec la pulsation :

5. Quelques propriétés de TF • TF est linéaire: TF[produit de convolution] = produit et inversement : Dualité de TF et TF-1 (on permute t et f, et on fait apparaître –f )

6. Quelques transformées de Fourier • La transformée de l’impulsion de Dirac est la fonction unité : • La transformée d’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac Impulsion de Dirac Peigne de Dirac

7. Quelques transformées de Fourier • la transformée du cosinus est constituée de deux raies : Compléter : • La transformée d’un rectangle est un sinus cardinal La fonction rectangle

8. Comment prouver les égalités suivantes ?

9. donne le spectre de s(t) • TF[s(t)] est une quantité complexe a priori, avec un module, une phase, etc … On nomme : • Spectre d’amplitude, ou spectre de s(t) le module de S soit ou en dB • Spectre de phase l’argument de S noté • Spectre de puissance • S(f) est défini pour des fréquences f positives et des fré-quences négatives représentées dans le spectre bilatéral. Du fait des symétries d’amplitude et de phase, on peut représenter seulement les fréquences >0 (monolatéral).

10. Le spectrogramme (ou sonogramme) donne l’évolution temporelle du spectre calculé sur une fenêtre tem-porelle glissante de durée donnée (exemple : 20 à 30ms pour la voix) Spectrogramme de piano_c3.wav (tracé par WaveLab) Cette représentation que l’on peut trouver jolie est peu exploitable, on lui préfère la vue de dessus ci-après.

11. Signal à spectre ou à bande limitée Se dit d’un signal s(t) dont le spectre S(f) est nul au delà d’une fréquence limite FLIM. Sur le spectrogramme de droite tracé par Goldwave, on voit que le signal est à bande limitée FLIM=1000Hz. Signal à bande limitée Bbc.wav

12. Transformée de Fourier Discrète • on définit la transformée de Fourier discrète TFD par : • c’est une fonction périodique de la fréquence f , la période est la fréquence d’échantillonnage : • TFD n’est pas calculable en pratique, car la fréquence varie continûment, et il faudrait considérer une infinité de termes. • La solution adoptée dans l’algorithme de FFT est de : • conserver seulement N termes x(nTe) d’une fenêtre temporelle • calculer M points seulement sur la période de TFD pour les fréquences :

13. Transformée de Fourier Rapide FFT Dans le cas où M=N, si on note : (pour FFT) (pour FFT-1) FFT est-elle périodique ? et FFT-1 ?

14. Pourquoi la FFT est-elle rapide ? • Le cas où N est une puissance de 2 allège le calcul de FFT, du fait des propriétés de périodicité et de symétrie de • donc, l’algorithme de FFT impose • Matlab calcule la fft : faire help fft, et voir l’exemple plot(abs(fft(s,1024))) • un DSP (Digital Signal Processor), est un micro-processeur spécialisé dans le traitement du signal numérique, conçu entre autres pour calculer l’algorithme de FFT.

15. Matlab calcule la FFT comme ci-dessous fe=8000; t=[0:1023]*(1/fe); s=0.5*cos(2*pi*880*t); f=[0:1023]/1024*fe; plot(f,abs(fft(s,1024))) grid fe=8000; t=[0:1023]*(1/fe); s=0.5*cos(2*pi*880*t); f=[-512:511]/1024*fe; spec= fftshift(fft(s,1024)) plot(f,abs(spec)) grid

16.  Pour savoir si vous savez 

17. Annexe :« Pourquoi utiliser le spectre ? » … et ne pas se contenter de la représentation temporelle. • Parce que tout le monde le fait … (conformisme … ou réalisme ?) Dans de nombreux domaines, Hi-fi, multimédia, musique, on utilise des références au spectre et à la fréquence pour définir fonctions et performances, qui veut comprendre doit parler ce langage ! « M’enfin, pourquoi ? Quels sont les atouts de cette représentation fréquentielle ? »

18. Décrire en fréquence est parfois plus pratique que de décrire en temps Soient 512 échantillons d’un signal x(nTe), n= 0 .. 511. Décomposé en série de Fourier, il s’avère que 3 harmoniques suffisent pour le représenter, comme le signal triangle du TD. Transmettre les échantillons c’est transmettre 512 valeurs, alors que transmettre les harmoniques implique moins de 10 valeurs amplitudes, fréquences, et phases. (compression de l’information)

19. Filtre linéaire H(f) Décomposer en séries de Fourier permet de résoudre les problèmes par superposition C’était l’objectif de Fourier comme on l’a dit, cela provient de ce que les fonctions de type : (simplification de certains problèmes) sont fonctions propres des filtres linéaires invariants dans le temps D’où la spécification très utilisée des filtres par leur réponse fréquentielle H(f)

20. Q: «Y a-t’il un risque de perte d’information à passer du temps aux fréquences ? » R: « Non ! Ces deux représentations sont rigoureusement équivalentes, le spectre est unique (comme le signal !) » Parler en temps d’un signal  parler en fréquence Signal rapide, lent  bande large, étroite, … Les capteurs incitent à utiliser le temps, car ils relèvent les signaux au cours du temps, mais ils peuvent être plus ou moins sensibles selon la fréquence. Il faut donc bien considérer une dualité « temps fréquence » du signal, deux façons de le décrire.