Teoria sterowania

1. Teoria sterowania

2. Literatura podstawowa 1. Kaczorek T.: Teoria sterowania. Tom 1. Układy liniowe ciągłe i dyskretne, Tom 2. Układy nieliniowe, procesy stochastyczne oraz optymalizacja statyczna i dynamiczna, PWN, Warszawa 1977. 2. Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, Warszawa,1974. 3. Antoniewicz J.: Automatyka.WNT, Warszawa 1973. 4. Findeisen W.: Technika regulacji automatycznej. PWN, Warszawa 1978. 5. Pełczewski W.: Teoria sterowania. Ciągle stacjonarne układy liniowe.WNT, Warszawa 1980. 6. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1980. 7. Amborski K.: Teoria sterowania – podręcznik programowany. PWN, Warszawa 1987. 8. Mazurek J., Vogt H., Żydanowicz W.: Podstawy automatyki, Oficyna Wyd. Pol. Warszawskiej, 2002.

3. Literatura podstawowa c.d 9. Bubnicki Z.: Teoria i algorytmy sterowania. PWN, Warszawa 2002. 10. Amborski, K., Marusak, A.: Teoria sterowania w ćwiczeniach. PWN, Warszawa 1978. 11. Gibson J.E.: Nieliniowe układy sterowania automatycznego. WNT, Warszawa 1968. 12. Szymkat M.: Komputerowe wspomaganie w projektowaniu układów regulacji. WNT, Warszawa 1993.

4. Zarys historii rozwoju teorii i zastosowania układów sterowania w technice • Starożytność - stosowanie regulatorów pływakowych do stabilizacji poziomu cieczy (np. lampa oliwna – Filon około 250r. p.n.e., Heron z Aleksandrii I wiek n.e. Pneumatica – opisuje mechaniczny regulator poziomu cieczy). • OKRES SZTUKI XVIII i XIX w. ETAP MECHANIZACJI PRODUKCJI • (produkcja urządzeń napędowych dla kopalń, warsztatów tkackich, obróbki drewna i metalu oraz środków transportowych, skonstruowanie maszyny parowej (XVIII w.) oraz silnika spalinowego i elektrycznego (XIX w.)) • Pływakowy regulator poziomu wody w kotle (Połzunow, 1765) • Skonstruowanie maszyny parowej (1769) i regulatora odśrodkowego (Watt 1794). Data uznawana za początek rewolucji przemysłowej w Wlk. Brytanii i początek ery mechanizacji produkcji • Idea wytwarzania części zamiennych zastosowana w produkcji muszkietów (Whitney, 1800). Data uznawana często za początek produkcji masowej

5. Opracowanie modelu matematycznego i analiza stabilności regulatora odśrodkowego (Maxwell „O regulatorach” 1868) • Opracowanie metod analizy stabilności układów liniowych (Routh 1877, Hurwitz 1895) i nieliniowych (Lapunow 1892) • OKRES PRZEJŚCIOWY (od pocz. XX w. do II wojny światowej) • WIELKIE WYNALAZKI XX W. • (rozwój telefonii i radiotechniki, wytwarzanie i przesyłanie energii na wielką skalę, rozwój lotnictwa, przemysłu chemicznego i przetwórczego • Pierwsza publiczna linia telefoniczna (1908) • Skonstruowanie żyroskopu i pierwowzoru autopilota (Sperry 1910) • Wprowadzenie zmechanizowanej linii produkcji samochodów (Ford 1913) • Opracowanie i analiza stabilności wzmacniacza elektronicznego ze sprzężeniem zwrotnym (Bode, Black 1927) • Opracowanie metod badania stabilności układu zamkniętego (Nyquist – kryterium częstotliwościowe1932, Michajłow 1938) • Regulacja PID (Callender i in.1938)

6. OKRES NAUKI (od II wojny światowej do dziś). ETAP AUTOAMTYZACJI PRODUKCJI • Lata wojny – systemy radiolokacji i nawigacji, rozwój lotnictwa • Teoria filtracji optymalnej (Wiener 1942). Opracowanie metod nastawiania regulatorów PID (Ziegler, Nichols) • Opracowanie metod analizy częstotliwościowej (Bode 1945, Nichols 1946) • Metoda linii pierwiastkowych (Evans 1948) – teoria autopilota • Opracowanie sterowania numerycznego (NC) obrabiarek (w MIT 1952) • Opracowanie zasady maksimum (Pontriagin 1956) i programowania dynamicznego (Bellman 1957) do sterowania optymalnego • Opracowanie nawigacji inercjalnej (Draper 1960). Filtracja optymalna (Kalman) • Wprowadzenie pierwszego robota przemysłowego Unimat do osługi ciśnieniowej maszyny odlewniczej (na podst. koncepcji G.Devola 1961) • Pierwszy komputer (Ferranti) do sterowania cyfrowego całym procesem chemicznym (zakłady ICI, Anglia 1962)

7. Opracowanie mikroprocesora (Hoff 1969); produkcja pierwszwgo mikroprocesora Intel 4004 (1971) • Opracowanie modeli zmiennych stanu Rozwój metod sterowania optymalnego (lata 70-te) • Pierwszy regulator cyfrowy w rozproszonym systemie Honeywell TDC2000 (1975) • Rozwój metod projektowania sterowania odpornego (robust, lata 80-te) • Nowe metody projektowania sterowania: logika rozmyta, sieci neuronowe (lata 90-te) • Źródła: • Dorf, Bishop: Modern Control Systems, wyd.7, Addison-Wesley, 1995 Franklin, Powell, Emami-Naeini: Feedback Control oj Dynamic Systems, wyd.3, Addison-Wesley, 1994.

9. Podstawowe definicje i pojęcia

10. PROCES wyjście (skutek) wejście (przyczyna) Otwarty układ sterowania – układ, w którym sygnał sterujący oddziałuje na proces poprzez urządzenie sterujące bez wykorzystania sprzężenia zwrotnego. Sygnał wejściowy nie podlegający sterowaniu to zakłócenie. zakłócenie sygnał sterowany PROCES sygnał sterujący (zadany) Urządzenie sterujące

11. a) Sygnał wejściowy Sygnał wejściowy b) Sygnał wyjściowy OBIEKT Sygnał wyjściowy OBIEKT Urządzenie sterujące Rys. Schemat blokowy otwartego układu sterowania: a) ręcznego, b) automatycznego Ze względu na oddziaływanie jednokierunkowe w torze sterowania, wielkość sterująca powinna być dostosowana nie tylko do pożądanej wartości wielkości wyjściowej, ale także do zakłóceń.

12. zakłócenie tor główny urządzenie sterujące PROCES sygnał sterowany Regulator (układ porównujący i formujący) Element wykonaw-czy sygnał zadany sygnał sterujący Czujnik / Przetwornik • Zamknięty układ sterowania (regulacji) – układ, w którym sygnał sterowany (wielkość sterowana) jest mierzony, przesyłany na wejście (sprzężenie zwrotne) i porównywany z sygnałem zadanym. • Typowe elementy funkcjonalne: • w torze głównym: układ porównujący i formujący sterowanie (regulator), wzmacniacz mocy, element wykonawczy (napędowy), • w torze sprzężenia zwrotnego: czujnik, przetwornik pomiarowy  tor sprzężenia zwrotnego

13. Podstawowe określenia: Układ regulacji automatycznej – układ ze sprzężeniem zwrotnym, którego zadaniem jest zapewnienie odpowiednich przebiegów jednej lub kilku wielkości charakteryzujących proces zwanych wielkościami regulowanymi. Obiekt regulacji – proces technologiczny lub urządzenie podlegające regulacji. Regulator – urządzenie, które poprzez odpowiednie kształtowanie wielkości sterującej dąży do otrzymania wymaganego stanu (wymaganej zmienności) wielkości regulowanej.

14. b) Strumień wejściowy e(t) w(t) y(t) u(t) Urządzenie sterujące OBIEKT + - a) Strumień wejściowy e(t) y(t) w(t) OBIEKT u(t) + - Rys. 1.4. Schemat układu regulacji ze sprzężeniem zwrotnym: a) ręcznej, b) automatycznej Sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym polega na tym, że obserwuje się w(t) i y(t) lub tylko ich różnicę e(t) = w(t) - y(t), a następnie tak dobiera wartość sygnału sterującego u(t), aby sygnał e(t) (błąd regulacji)był możliwie bliski zera. W układzie regulacji automatycznej urządzenie sterujące przetwarza sygnał e(t) na wartość sygnału sterującego u(t).

15. Przedmiotem sterowania mogą być różnorodne procesy takie jak np. procesy technologiczne, procesy przetwarzania informacji, procesy zarządzania itp. Automatyka - dyscyplina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktyczną realizacją nadzoru i sterowania obiektami technologicznymi bez udziału lub z ograniczonym udziałem człowieka. Obejmuje całokształt problematyki związanej z automatyzacją procesów technologicznych. Można w niej wyróżnić trzy podstawowe działy: 1. Podstawy teoretyczne automatyki (teoria sterowania). 2. Budowa elementów i urządzeń automatyki. 3. Zastosowanie automatyki w różnych dziedzinach techniki.

18. Klasyfikacja układów sterowania • Ze względu na zadania układu (cel sterowania): • Układy stabilizacji (regulacji stałowartościowej), • Układy śledzące (nadążne), • Układy programowe, • Układy optymalizujące (np. regulacji ekstremalnej), • Układy przełączające (logiczne). • Ze względu na liniowość elementów: liniowe i nieliniowe. • Ze względu na charakter sygnałów: ciągłe i dyskretne (w czasie i/lub co do wartości). • Ze względu na procesy przejściowe: statyczne (bezinercyjne) i dynamiczne. • Ze względu na liczbę wejść i wyjść: jedno- i wielowymiarowe. • Ze względu na charakter zmienności parametrów i sygnałów: deterministyczne i stochastyczne. • Ze względu na zdolność samoczynnego nastrajania: zwykłe i adaptacyjne.

19. Pout-zakłócenie Urządzenie sterujące/wykonawcze Obiekt Θ [C] Zawórgazu/oleju Piec Pomieszczenie Termostat Pin [kW] Przykład: porównanie sterowania w statycznym układzie otwartym i zamkniętym Model sterowania temperaturą pomieszczenia Θzad

20. Obiekt Pin Θ K Obiekt: Pin=1kW -> Θ=10 oC Pin=2kW -> Θ=20 oC => współczynnik wzmocnienia K=10 [oC/kW]

21. Zakłócenie Obiekt Element sterujący Pout Θzad [oC] Θ Pin K=10 + Skalowanie Układ otwarty: Zakłócenie Pout=0 => Θ= Θzad Zakłócenie Pout≠0 => Θ=K(Pin-Pout) np. Pout=0,5kW, Θzad=20oC Θ=K(Θzad ·1/10-Pout)=15oC

22. Piec z termostatem Pout Θzad [oC] K KR=20 Pin Θ e + + PP Układ zamknięty: Zakłócenie Pout=0 => Θ=K[KR(Θzad-Θ)] np. Θzad=20oC, Θ=10[20(Θzad-Θ)], Θ=(200/201)Θzad=19,9oC

23. błąd regulacji e=Θ-Θzad=1/201≈0,5% Zakłócenie Pout≠0 => Θ=K[KR(Θzad-Θ)-Pout] np. Θzad=20oC, Pout=0,5kW Θ=(200/201)Θzad-(10/201)Pout≈19,6oC Zadanie: Rozważyć problem niepewności parametru K opisującego obiekt (np. K=9, czyli błąd 10%)

24. Q Pin 1 1 K t t PROBLEMY 1. Dynamika – trzeba uwzględniać zmiany wielkości w czasie (dynamikę układu). wymuszenieΘ(t)=K(1-e-t/T) 2. Jak zlikwidować błąd ustalony w układzie zamkniętym ?

25. Modele matematyczne obiektów

26. y1(t) u1(t) y2(t) u2(t) yl(t) up(t) MODELE MATEMATYCZNE CIĄGŁYCH UKŁADÓW STEROWANIA Model wielowymiarowego układu ciągłego (p wejść, l wyjść)

27. y u u Układ statyczny (bez pamięci, bezinercyjny) • układ liniowy y=au+b • np. Θ=KPin+ Θ0 • -układ nieliniowy • np. y=arctghx u

28. Przykład: sprężyna -liniowa fs=-kx -nieliniowa fs=-k(x+αx3) (α<<1- słaba nieliniowość)

29. Pin t Θ K·Pin t Układy dynamiczne ciągłe – opisywane zwykle równaniamiróżniczkowymi. Charakteryzują się występowaniem procesów przejściowych. 1) Opis za pomocą zmiennych stanu (wektora stanu)

30. układ n równań pierwszego rzędu algebraiczne równania wyjścia gdzie

31. Wybór zmiennych stanu dla danego układu może być różny. Zwraca się uwagę na: • sens fizyczny i mierzalność zmiennych lub • wygodę opisu matematycznego. • Model liniowy Wymiary macierzy (n nazywamy rzędem układu): Przykład: Napisać równania stanu dla

32. D B C  A A – macierz stanu, B – macierz wejścia, C – macierz wyjścia, D – macierz transmisyjna Macierze zawierają stałe współczynniki dynamiczne układu.

33. u(t) y(t) UD 2) – opis wejście-wyjście za pomocą równania różniczkowego n-tego rzędu (układ jednowymiarowy - SISO) Ogólny model nieliniowy (w postaci uwikłanej): W postaci o rozdzielonych zmiennych:

34. - stałe współczynniki, zależne od struktury i parametrów fizycznych układu - stałe współczynniki, zależne od źródła sygnału wejściowego oraz od struktury i parametrów układu Model liniowy: - warunek realizowalności, n – rząd układu Układy opisane równaniami o stałych współczynnikach nazywają się układami stacjonarnymi. Jeżeli współczynniki te zmieniają się w czasie, układ nazywany jest niestacjonarnym.

35. LUD u(t) y(t) G(s) U(s) Y(s) 3)– opis wejście-wyjście w formie transmitancji operatorowej (tylko dla układów liniowych) Opis taki jest wygodny, ponieważ sprowadzaanalizę układówrealizujących liniowe przekształcenia sygnałów do badania równań algebraicznych zamiast różniczkowych. Transformata Laplace’a (jednostronna):

36. Właściwości transformaty

37. Transformaty Funkcji

39. Dla zerowych warunków początkowych WP (y(0)=y’(0)=…=y(n)(0)=0; układ w stanie spoczynku): G(s) - transmitancja (funkcja przejścia) układu. Jest to opis równoważny opisowi w formie równania różniczkowego n-tego rzędu z WP=0. Transmitancja jest funkcją wymierną wielomianów zmiennej zespolonej s: Znając transmitancję można wyznaczyć odpowiedź układu na dowolny sygnał wejściowy. Transformata sygnału wyjściowego: Y(s)=G(s)·U(s)

40. Dla danego układu transmitancja (tak jak macierze w równaniach stanu) jest wielkością (funkcją) zależną jedynie od struktury fizycznej układu i parametrów układu (współczynniki wielomianów L(s) i M(s) są przeważnie prostymi funkcjami parametrów – pojemności, indukcyjności, rezystancji, masy, ciepła właściwego itp.), a nie zależy od sygnału wejściowego. Transmitancja operatorowa określa właściwości dynamiczne układu. Dla teorii sterowania układy o różnej naturze fizycznej (np. mechaniczny i elektryczny), ale opisywane równaniami matematycznymi o takiej samej strukturze są układami analogicznymi pod względem właściwości dynamicznych (analogami). W równaniach wprowadza się nowe parametry, takie jak współczynniki wzmocnienia, stałe czasowe, które opisują właściwości dynamiczne istotne z punktu widzenia teorii sterowania. Analogie pozwalają na tworzenie i badanie takich samych modeli zamiast układów różniących się fizycznie.

41. x k f m B brak tarcia Modele układów + analogie 1. Układ mechaniczny • Sposoby opisu układu: • równanie różniczkowe

42. b) transmitancja operatorowa:

43. c) równania stanu Zmienne stanu: położenie i prędkość: albo

44. i L R uL uR i u1 C u2 2. Układ elektryczny: Sposoby opisu układu: a) równanie różniczkowe

45. b) transmitancja operatorowa:

46. c) równania stanu Zmienne stanu: napięcie u2 i prąd: albo

47. Linearyzacja nieliniowego modelu układu W praktyce mamy z reguły do czynienia z układami zawierającymi nieliniowości (np. mnożenie zmiennych, nieliniowe charakterystyki statyczne elementów). Analityczne rozwiązanie nieliniowych równań różniczkowych jest możliwe rzadko, opis operatorowy jest niemożliwy. Można wtedy: 1) wyprowadzić lokalnie liniową aproksymację układu, którą można analizować, 2) wyznaczyć komputerowo rozwiązania numeryczne dla szczególnych przypadków (warunków początkowych, wartości parametrów), analiza jakościowa jest nadal trudna.

48. Ogólna postać zmiennych stanu nieliniowego układu wielowymiarowego: (*) Linearyzacja równań w rozważanym punkcie pracy (równowagi) gdzie polega na zastąpieniu wielkości rzeczywistych ich przyrostami

49. u0 Du Dx x0 Charakterystyka statyczna Rozwija się równania (*) w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi i ogranicza do składnika liniowego rozwinięcia, co prowadzi do modelu zlinearyzowanego

50. Współczynniki macierzy zależą od punktu równowagi Warunki początkowe reprezentuje odchylenie początkowe